- 数学Ⅱ｜微分と積分「関数xⁿや定数関数の微分」の基本例題解説ページです。
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問題｜関数xⁿや定数関数の微分
微分と積分 08関数 \(f(x)=x^3-3x^2+5x-1~,~\)\(f(x)=(x-1)(x+3)\) の微分の計算方法は？
高校数学Ⅱ｜微分と積分
解法のPoint
関数xⁿや定数関数の微分
Point：関数xⁿや定数関数の微分
\((x^n)^{\prime}=nx^{n-1}\)
② 次数を1つ下げる。
特に、\((\,x\,)^{\prime}=1 \cdot x^0=1\)
\((\,c\,)^{\prime}=0\)
■ 導関数の性質
\(\small [\,1\,]\) \(y=kf(x)\) のとき、\(y^{\prime}=kf^{\prime}(x)\)
\(x\) に関係のない定数 \(k\) はそのまま。
\(y^{\prime}=f^{\prime}(x)+g^{\prime}(x)\)
関数の和と差は、それぞれの導関数の和と差。
\(y^{\prime}=k \cdot f^{\prime}(x)+l \cdot g^{\prime}(x)\)
■ 関数 \(x^n\) の微分
\((x^n)^{\prime}=nx^{n-1}\)
① 次数の \(n\) を係数にかける。
② 次数を1つ下げる。
特に、\((\,x\,)^{\prime}=1 \cdot x^0=1\)
■ 定数関数 \(c\) の微分
\((\,c\,)^{\prime}=0\)
※ 定数の微分は \(0\) となる。
■ 導関数の性質
\(\small [\,1\,]\) \(y=kf(x)\) のとき、\(y^{\prime}=kf^{\prime}(x)\)
\(x\) に関係のない定数 \(k\) はそのまま。
\(\small [\,2\,]\) \(y=f(x)+g(x)\) のとき、
\(y^{\prime}=f^{\prime}(x)+g^{\prime}(x)\)
関数の和と差は、それぞれの導関数の和と差。
\(\small [\,3\,]\) \(y=kf(x)+l \cdot g(x)\) のとき、
\(y^{\prime}=k \cdot f^{\prime}(x)+l \cdot g^{\prime}(x)\)
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詳しい解説｜関数xⁿや定数関数の微分
微分と積分 08
関数 \(f(x)=x^3-3x^2+5x-1~,~\)\(f(x)=(x-1)(x+3)\) の微分の計算方法は？
高校数学Ⅱ｜微分と積分
\(f(x)=x^3-3x^2+5x-1\) を微分すると、
\(\begin{eqnarray}~~~f^{\prime}(x)&=&(x^3)^{\prime}-3 \cdot (x^2)^{\prime}+5 \cdot x^{\prime}+(-1)^{\prime}
\\[3pt]~~~&=&3x^2-3 \cdot 2x+5 \cdot 1+0
\\[3pt]~~~&=&3x^2-6x+5\end{eqnarray}\)
\(f(x)=(x-1)(x+3)\) を展開すると、
\(f(x)=x^2+2x-3\)
微分すると、
\(\begin{eqnarray}~~~f^{\prime}(x)&=&(x^2)^{\prime}+2 \cdot (x)^{\prime}+(-3)^{\prime}
\\[3pt]~~~&=&2x+2 \cdot 1+0
\\[3pt]~~~&=&2x+2\end{eqnarray}\)
