このページは、「関数xⁿや定数関数の微分」の練習問題アーカイブページとなります。
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問題アーカイブ01
問題アーカイブ01次のことを証明せよ。ただし、\(a~,~b\) は定数とする。
\({\small (1)}~\)\(y=(ax+b)^2\) のとき \(y^{\prime}=2a(ax+b)\)
\({\small (2)}~\)\(y=(ax+b)^3\) のとき \(y^{\prime}=3a(ax+b)^2\)
\({\small (1)}~\)\(y=(ax+b)^2\) のとき \(y^{\prime}=2a(ax+b)\)
\({\small (2)}~\)\(y=(ax+b)^3\) のとき \(y^{\prime}=3a(ax+b)^2\)
数研出版｜数学Ⅱ[709] p.204 問題 3
数研出版｜高等学校数学Ⅱ[710] p.194 問題 3
東京書籍｜Advanced数学Ⅱ[701] p.201 問題 9
東京書籍｜Standard数学Ⅱ[702] p.225 Training 6
\({\small (1)}~\)[証明] \(y=(ax+b)^2\) を展開すると、
\(y=a^2x^2+2abx+b^2\)
微分すると、
\(\begin{eqnarray}~~~y^{\prime}&=&a^2 \cdot (x^2)^{\prime}+2ab \cdot (x)^{\prime}+(b^2)^{\prime}
\\[3pt]~~~&=&a^2 \cdot 2x+2ab \cdot 1+0
\\[3pt]~~~&=&2a^2x+2ab
\\[3pt]~~~&=&2a(ax+b)\end{eqnarray}\)
したがって、
\(y=(ax+b)^2\) のとき \(y^{\prime}=2a(ax+b)\) が成り立つ [終]
\({\small (2)}~\)[証明] \(y=(ax+b)^3\) を展開すると、
\(\begin{eqnarray}~~~y&=&(ax+b)^3
\\[3pt]~~~&=&(ax)^3+3\cdot(ax)^2\cdot b+3\cdot(ax)\cdot b^2+b^3
\\[3pt]~~~&=&a^3x^3+3a^2bx^2+3ab^2x+b^3
\end{eqnarray}\)
微分すると、
\(\begin{eqnarray}~~~y^{\prime}&=&a^3 \cdot (x^3)^{\prime}+3a^2b \cdot (x^2)^{\prime}+3ab^2 \cdot (x)^{\prime}+(b^3)^{\prime}
\\[3pt]~~~&=&a^3 \cdot 3x^2+3a^2b \cdot 2x+3ab^2 \cdot 1+0
\\[3pt]~~~&=&3a^3x^2+6a^2bx+3ab^2
\\[3pt]~~~&=&3a(a^2x^2+2abx+b^2)
\\[3pt]~~~&=&3a(ax+b)^2\end{eqnarray}\)
\\[3pt]~~~&=&a^3 \cdot 3x^2+3a^2b \cdot 2x+3ab^2 \cdot 1+0
\\[3pt]~~~&=&3a^3x^2+6a^2bx+3ab^2
\\[3pt]~~~&=&3a(a^2x^2+2abx+b^2)
\\[3pt]~~~&=&3a(ax+b)^2\end{eqnarray}\)
したがって、
\(y=(ax+b)^3\) のとき \(y^{\prime}=3a(ax+b)^2\) が成り立つ [終]
