導関数と微分係数

関数 \(f(x)=2x^2-3x+1\) を微分すると、

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\(\begin{eqnarray}~~~f^{\prime}(x)&=&2(x^2)^{\prime}-3 \cdot (x)^{\prime}+(1)^{\prime}
\\[3pt]~~~&=&2 \cdot 2x-3 \cdot 1+0
\\[3pt]~~~&=&4x-3\end{eqnarray}\)

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よって、導関数は \(f^{\prime}(x)=4x-3\) より、

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\(\begin{eqnarray}~~~f^{\prime}(1)&=&4 \cdot 1-3
\\[3pt]~~~&=&4-3
\\[3pt]~~~&=&1\end{eqnarray}\)

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\(\begin{eqnarray}~~~f^{\prime}(0)&=&4 \cdot 0-3
\\[3pt]~~~&=&0-3
\\[3pt]~~~&=&-3\end{eqnarray}\)

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\(\begin{eqnarray}~~~f^{\prime}(-2)&=&4 \cdot (-2)-3
\\[3pt]~~~&=&-8-3
\\[3pt]~~~&=&-11\end{eqnarray}\)

 
 

関数 \(f(x)=x^3-3x^2\) を微分すると、

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\(\begin{eqnarray}~~~f^{\prime}(x)&=&(x^3)^{\prime}-3 \cdot (x^2)^{\prime}
\\[3pt]~~~&=&3x^2-3 \cdot 2x
\\[3pt]~~~&=&3x^2-6x\end{eqnarray}\)

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\(x=a\) における微分係数が \(9\) より、\(f^{\prime}(a)=9\) であるので、

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\(\begin{eqnarray}~~~f^{\prime}(a)=3a^2-6a&=&9
\\[3pt]~~~3a^2-6a-9&=&0
\\[3pt]~~~3(a^2-2a-3)&=&0
\\[3pt]~~~3(a+1)(a-3)&=&0
\\[3pt]~~~a&=&-1~,~3\end{eqnarray}\)

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したがって、\(a=-1~,~3\) となる