- 数学Ⅱ｜微分と積分「微分係数の値と関数の決定」の基本例題解説ページです。
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問題｜微分係数の値と関数の決定
微分と積分 102次関数 \(f(x)\) が \(f(1)=0~,~\)\(f^{\prime}(1)=1~,~\)\(f^{\prime}(0)=-3\) を満たすとき、\(f(x)\) の求め方は？また、3次関数 \(f(x)=ax^3+bx^2-2\) が \(f^{\prime}(1)=0~,~\)\(f^{\prime}(2)=12\) を満たすとき、\(f(x)\) の求め方は？
高校数学Ⅱ｜微分と積分
解法のPoint
微分係数の値と関数の決定
Point：微分係数の値と関数の決定
① 関数 \(f(x)\) を文字でおき、微分して導関数 \(f^{\prime}(x)\) を求める。
\(f(x)=ax^2+bx+c~~~\cdots {\small [\,1\,]}\) とおくと、
\(f^{\prime}(x)=2ax+b~~~\cdots {\small [\,2\,]}\)
② 関数 \(f(x)\) や導関数 \(f^{\prime}(x)\) の値の条件から、条件式を立てる。
\(f(1)=0\) より、 \(a+b+c=0\)
\(f^{\prime}(1)=1\) より、 \(2a+b=1\)
\(f^{\prime}(0)=-3\) より、 \(b=-3\)
③ 条件式を連立して未知数を求め、関数を決定する。
\(a=2~,~b=-3~,~c=1\) より、
\(f(x)=2x^2-3x+1\)
微分係数の値が条件のときの関数の決定は、
① 関数 \(f(x)\) を文字でおき、微分して導関数 \(f^{\prime}(x)\) を求める。
\(f(x)=ax^2+bx+c~~~\cdots {\small [\,1\,]}\) とおくと、
\(f^{\prime}(x)=2ax+b~~~\cdots {\small [\,2\,]}\)
② 関数 \(f(x)\) や導関数 \(f^{\prime}(x)\) の値の条件から、条件式を立てる。
\(f(1)=0\) より、 \(a+b+c=0\)
\(f^{\prime}(1)=1\) より、 \(2a+b=1\)
\(f^{\prime}(0)=-3\) より、 \(b=-3\)
③ 条件式を連立して未知数を求め、関数を決定する。
\(a=2~,~b=-3~,~c=1\) より、
\(f(x)=2x^2-3x+1\)
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詳しい解説｜微分係数の値と関数の決定
微分と積分 10
2次関数 \(f(x)\) が \(f(1)=0~,~\)\(f^{\prime}(1)=1~,~\)\(f^{\prime}(0)=-3\) を満たすとき、\(f(x)\) の求め方は？また、3次関数 \(f(x)=ax^3+bx^2-2\) が \(f^{\prime}(1)=0~,~\)\(f^{\prime}(2)=12\) を満たすとき、\(f(x)\) の求め方は？
高校数学Ⅱ｜微分と積分
2次関数 \(f(x)\) を、
\(\begin{eqnarray}~~~f(x)=ax^2+bx+c~~~\cdots {\small [\,1\,]}\end{eqnarray}\)
とおき、微分すると、
\(\begin{eqnarray}~~~f^{\prime}(x)&=&a(x^2)^{\prime}+b(x)^{\prime}+(c)^{\prime}
\\[3pt]~~~&=&a \cdot 2x+b \cdot 1+0
\\[3pt]~~~&=&2ax+b~~~\hspace{10pt}\cdots {\small [\,2\,]}\end{eqnarray}\)
\({\small [\,1\,]}\) と \(f(1)=0\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~f(1)=a \cdot 1^2+b \cdot 1+c&=&0
\\[3pt]~~~a+b+c&=&0~~~\cdots {\small [\,\rm A\,]}\end{eqnarray}\)
\({\small [\,2\,]}\) と \(f^{\prime}(1)=1\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~f^{\prime}(1)=2a \cdot 1+b&=&1
\\[3pt]~~~2a+b&=&1~~~\cdots {\small [\,\rm B\,]}\end{eqnarray}\)
\({\small [\,2\,]}\) と \(f^{\prime}(0)=-3\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~f^{\prime}(0)=2a \cdot 0+b&=&-3
\\[3pt]~~~b&=&-3~~~\cdots {\small [\,\rm C\,]}\end{eqnarray}\)
\({\small [\,\rm C\,]}\) と \({\small [\,\rm B\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~2a-3&=&1
\\[3pt]~~~2a&=&4
\\[3pt]~~~a&=&2\end{eqnarray}\)
\({\small [\,\rm A\,]}\) に代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~2+(-3)+c&=&0
\\[3pt]~~~-1+c&=&0
\\[3pt]~~~c&=&1\end{eqnarray}\)
したがって、
\(a=2~,~b=-3~,~c=1\) と \({\small [\,1\,]}\) に代入して、
\(\begin{eqnarray}~~~f(x)=2x^2-3x+1\end{eqnarray}\)
\(\begin{eqnarray}~~~f(x)=ax^3+bx^2-2~~~\cdots {\small [\,1\,]}\end{eqnarray}\)
この3次関数を微分すると、
\(\begin{eqnarray}~~~f^{\prime}(x)&=&a(x^3)^{\prime}+b(x^2)^{\prime}+(-2)^{\prime}
\\[3pt]~~~&=&a \cdot 3x^2+b \cdot 2x+0
\\[3pt]~~~&=&3ax^2+2bx~~~\hspace{10pt}\cdots {\small [\,2\,]}\end{eqnarray}\)
\({\small [\,2\,]}\) と \(f^{\prime}(1)=0\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~3a \cdot 1^2+2b \cdot 1&=&0
\\[3pt]~~~3a+2b&=&0~~~\cdots {\small [\,\rm A\,]}\end{eqnarray}\)
\({\small [\,2\,]}\) と \(f^{\prime}(2)=12\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~3a \cdot 2^2+2b \cdot 2&=&12
\\[3pt]~~~12a+4b&=&12
\\[3pt]~~~3a+b&=&3~~~\cdots {\small [\,\rm B\,]}\end{eqnarray}\)
\({\small [\,\rm A\,]}-{\small [\,\rm B\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~~~
3a+2b&=&0 \\~~
-~\big{)}~~~~3a+b&=&3\\
\hline b&=&-3\end{eqnarray}\)
\({\small [\,\rm A\,]}\) に代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~3a+2(-3)&=&0
\\[3pt]~~~3a-6&=&0
\\[3pt]~~~3a&=&6
\\[3pt]~~~a&=&2\end{eqnarray}\)
したがって、
\(a=2~,~b=-3\) を \({\small [\,1\,]}\) に代入して、
\(\begin{eqnarray}~~~f(x)=2x^3-3x^2-2\end{eqnarray}\)
