- 数学Ⅱ｜微分と積分「変数がx,y以外の文字の導関数」の基本例題解説ページです。
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問題｜変数がx,y以外の文字の導関数
微分と積分 11半径 \(r\) の球の表面積 \(S\) と体積 \(V\) を \(r\) で微分した式の求め方は？また、\(S\) や \(V\) を \(r\) の関数と考えたとき、\(r=2\) における微分係数の求め方は？
高校数学Ⅱ｜微分と積分
解法のPoint
変数がx,y以外の文字の導関数
Point：変数がx,y以外の文字の導関数
\(s\) が \(t\) の関数 \(s=f(t)\) のときの導関数は、
\(s^{\prime}~,~f^{\prime}(t)~,~\displaystyle \frac{\,ds\,}{\,dt\,}~,~\displaystyle \frac{\,d\,}{\,dt\,}f(t)\)
■ 変数が \(x~,~y\) 以外の文字の導関数
\(s\) が \(t\) の関数 \(s=f(t)\) のときの導関数は、
\(s^{\prime}~,~f^{\prime}(t)~,~\displaystyle \frac{\,ds\,}{\,dt\,}~,~\displaystyle \frac{\,d\,}{\,dt\,}f(t)\)
などで表し、\(s\) を \(t\) で微分するという。
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詳しい解説｜変数がx,y以外の文字の導関数
微分と積分 11
半径 \(r\) の球の表面積 \(S\) と体積 \(V\) を \(r\) で微分した式の求め方は？また、\(S\) や \(V\) を \(r\) の関数と考えたとき、\(r=2\) における微分係数の求め方は？
高校数学Ⅱ｜微分と積分
半径 \(r\) の球の表面積 \(S\) は、
\(S=4\pi r^2\)
これを \(r\) で微分すると、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,dS\,}{\,dr\,}&=&4\pi \cdot (r^2)^{\prime}
\\[3pt]~~~&=&4\pi \cdot 2r
\\[3pt]~~~&=&8\pi r\end{eqnarray}\)
また、\(r=2\) での微分係数は、
\(8\pi {\small ~\times~} 2=16\pi\)
次に、半径 \(r\) の球の体積 \(V\) は、
\(V=\displaystyle \frac{\,4\,}{\,3\,}\pi r^3\)
これを \(r\) で微分すると、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,dV\,}{\,dr\,}&=&\displaystyle \frac{\,4\,}{\,3\,}\pi \cdot (r^3)^{\prime}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,4\,}{\,3\,}\pi \cdot 3r^2
\\[5pt]~~~&=&4\pi r^2\end{eqnarray}\)
また、\(r=2\) での微分係数は、
\(4\pi \cdot 2^2=16\pi\)
