- 数学Ⅱ｜微分と積分「関数f(x)と導関数f'(x)を含む等式」の基本例題解説ページです。
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問題｜関数f(x)と導関数f'(x)を含む等式
微分と積分 12☆関数 \(f(x)=x^2+ax+b\) が等式 \(2f(x)=(x-1)f^{\prime}(x)+4\) を満たすとき、\(f(x)\) の求め方は？
高校数学Ⅱ｜微分と積分
解法のPoint
関数f(x)と導関数f'(x)を含む等式
Point：関数f(x)と導関数f'(x)を含む等式
① 関数 \(f(x)\) を微分して導関数 \(f^{\prime}(x)\) を求める。
\(f(x)=x^2+ax+b\) より、
\(f^{\prime}(x)=2x+a\)
② 等式に \(f(x)\) と \(f^{\prime}(x)\) を代入し、\(x\) の恒等式として係数比較して未知数を求める。
関数 \(f(x)\) と導関数 \(f^{\prime}(x)\) を含む等式は、
① 関数 \(f(x)\) を微分して導関数 \(f^{\prime}(x)\) を求める。
\(f(x)=x^2+ax+b\) より、
\(f^{\prime}(x)=2x+a\)
② 等式に \(f(x)\) と \(f^{\prime}(x)\) を代入し、\(x\) の恒等式として係数比較して未知数を求める。
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詳しい解説｜関数f(x)と導関数f'(x)を含む等式
微分と積分 12☆
関数 \(f(x)=x^2+ax+b\) が等式 \(2f(x)=(x-1)f^{\prime}(x)+4\) を満たすとき、\(f(x)\) の求め方は？
高校数学Ⅱ｜微分と積分
この2次関数 \(f(x)\) を、
\(f(x)=x^2+ax+b~~~\cdots {\small [\,1\,]}\)
とおき、微分すると、
\(\begin{eqnarray}~~~f^{\prime}(x)&=&(x^2)^{\prime}+a(x)^{\prime}+(b)^{\prime}
\\[3pt]~~~&=&(2x)+a \cdot 1+0
\\[3pt]~~~&=&2x+a~~~\hspace{10pt}\cdots {\small [\,2\,]}\end{eqnarray}\)
等式 \(2f(x)=(x-1)f^{\prime}(x)+4\) に \({\small [\,1\,]}\) と \({\small [\,2\,]}\) を代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~2(x^2+ax+b)&=&(x-1) \cdot (2x+a)+4
\\[3pt]~~~2x^2+2ax+2b&=&2x^2+ax-2x-a+4
\\[3pt]~~~2x^2+2ax+2b&=&2x^2+(a-2)x+(-a+4)\end{eqnarray}\)
\\[3pt]~~~2x^2+2ax+2b&=&2x^2+ax-2x-a+4
\\[3pt]~~~2x^2+2ax+2b&=&2x^2+(a-2)x+(-a+4)\end{eqnarray}\)
\(x\) はすべての実数の恒等式より、係数を比較すると、
\(\begin{eqnarray}~~~ \left\{~\begin{array}{l}
2a=a-2~~~~~~~~\cdots {\small [\,1\,]} \\
2b=-a+4~~~~~\cdots {\small [\,2\,]}
\end{array}\right.\end{eqnarray}\)
\({\small [\,1\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~2a&=&a-2
\\[3pt]~~~2a-a&=&-2
\\[3pt]~~~a&=&-2\end{eqnarray}\)
\({\small [\,2\,]}\) に代入して
\(\begin{eqnarray}~~~2b&=&-(-2)+4
\\[3pt]~~~2b&=&2+4
\\[3pt]~~~2b&=&6
\\[3pt]~~~b&=&3\end{eqnarray}\)
したがって、\(f(x)=x^2-2x+3\) となる
