平均変化率と微分係数が等しい条件

関数 \(f(x)=x^2+x+1\) について、

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　\(x=a\) のとき、\(f(a)=a^2+a+1\)
　\(x=b\) のとき、\(f(b)=b^2+b+1\)

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\(x\) が \(a\) から \(b\) までの平均変化率は、

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\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle \frac{\,f(b)-f(a)\,}{\,b-a\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,(b^2+b+1)-(a^2+a+1)\,}{\,b-a\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,b^2-a^2+b-a\,}{\,b-a\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,(b+a)(b-a)+(b-a)\,}{\,b-a\,}
\\[5pt]~~~&=&b+a+1~~~\cdots {\small [\,1\,]}\end{eqnarray}\)

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次に、\(f(x)\) を \(x\) で微分すると、

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\(\begin{eqnarray}~~~f^{\prime}(x)&=&(x^2)^{\prime}+(x)^{\prime}+(1)^{\prime}
\\[3pt]~~~&=&2x+1\end{eqnarray}\)

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よって、\(x=c\) のとき微分係数 \(f^{\prime}(c)\) は、

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　\(f^{\prime}(c)=2c+1~~~\cdots {\small [\,2\,]}\)

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条件より、\({\small [\,1\,]}\) と \({\small [\,2\,]}\) が等しいので、

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\(\begin{eqnarray}~~~2c+1&=&b+a+1
\\[3pt]~~~2c&=&a+b
\\[3pt]~~~c&=&\displaystyle \frac{\,a+b\,}{\,2\,}\end{eqnarray}\)

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したがって、\(c=\displaystyle \frac{\,a+b\,}{\,2\,}\) となる