平均変化率と微分係数が等しい条件

数研出版｜数学Ⅱ[709] p.204 問題 2

\({\small (1)}~\)関数 \(f(x)=x^2-x+1\) について、

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　\(x=a\) のとき、\(f(a)=a^2-a+1\)
　\(x=b\) のとき、\(f(b)=b^2-b+1\)

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\(x\) が \(a\) から \(b\) までの平均変化率は、

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\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle \frac{\,f(b)-f(a)\,}{\,b-a\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,(b^2-b+1)-(a^2-a+1)\,}{\,b-a\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,b^2-a^2-b+a\,}{\,b-a\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,(b+a)(b-a)-(b-a)\,}{\,b-a\,}
\\[5pt]~~~&=&b+a-1~~~\cdots {\small [\,1\,]}\end{eqnarray}\)

 
 

\({\small (2)}~\)[証明] \(f(x)\) を \(x\) で微分すると、

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\(\begin{eqnarray}~~~f^{\prime}(x)&=&(x^2)^{\prime}-(x)^{\prime}+(1)^{\prime}
\\[3pt]~~~&=&2x-1\end{eqnarray}\)

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よって、\(x=c\) のとき微分係数 \(f^{\prime}(c)\) は、

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　\(f^{\prime}(c)=2c-1~~~\cdots {\small [\,2\,]}\)

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条件より、\({\small [\,1\,]}\) と \({\small [\,2\,]}\) が等しいので、

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\(\begin{eqnarray}~~~2c-1&=&b+a-1
\\[3pt]~~~2c&=&a+b
\\[3pt]~~~c&=&\displaystyle \frac{\,a+b\,}{\,2\,}\end{eqnarray}\)

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したがって、\(c=\displaystyle \frac{\,a+b\,}{\,2\,}\) となる [終]

東京書籍｜Advanced数学Ⅱ[701] p.201 問題 7

関数 \(f(x)=x^2+1\) について、

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　\(x=a\) のとき、\(f(a)=a^2+1\)
　\(x=b\) のとき、\(f(b)=b^2+1\)

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\(x\) が \(a\) から \(b\) までの平均変化率は、

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\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle \frac{\,f(b)-f(a)\,}{\,b-a\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,(b^2+1)-(a^2+1)\,}{\,b-a\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,b^2-a^2\,}{\,b-a\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,(b+a)(b-a)\,}{\,b-a\,}
\\[5pt]~~~&=&b+a~~~\cdots {\small [\,1\,]}\end{eqnarray}\)

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次に、\(f(x)\) を \(x\) で微分すると、

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\(\begin{eqnarray}~~~f^{\prime}(x)&=&(x^2)^{\prime}+(1)^{\prime}
\\[3pt]~~~&=&2x\end{eqnarray}\)

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よって、\(x=c\) のとき微分係数 \(f^{\prime}(c)\) は、

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　\(f^{\prime}(c)=2c~~~\cdots {\small [\,2\,]}\)

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条件より、\({\small [\,1\,]}\) と \({\small [\,2\,]}\) が等しいので、

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\(\begin{eqnarray}~~~2c&=&b+a
\\[3pt]~~~c&=&\displaystyle \frac{\,a+b\,}{\,2\,}\end{eqnarray}\)

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したがって、\(c=\displaystyle \frac{\,a+b\,}{\,2\,}\) となる

東京書籍｜Standard数学Ⅱ[702] p.248 Level Up 1

関数 \(f(x)=-2x^2+18\) について、

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　\(x=-2\) のとき、\(f(-2)=-2 \cdot (-2)^2+18=-8+18=10\)
　\(x=a\) のとき、\(f(a)=-2a^2+18\)

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\(-2\) から \(a\) までの平均変化率は、

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\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle \frac{\,f(a)-f(-2)\,}{\,a-(-2)\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,(-2a^2+18)-10\,}{\,a+2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,-2a^2+8\,}{\,a+2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,-2(a^2-4)\,}{\,a+2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,-2(a+2)(a-2)\,}{\,a+2\,}
\\[5pt]~~~&=&-2(a-2)
\\[3pt]~~~&=&-2a+4~~~\cdots {\small [\,1\,]}\end{eqnarray}\)

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次に、\(f(x)\) を \(x\) で微分すると、

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\(\begin{eqnarray}~~~f^{\prime}(x)&=&-2 \cdot 2x
\\[3pt]~~~&=&-4x\end{eqnarray}\)

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よって、\(x=1\) のとき微分係数 \(f^{\prime}(1)\) は、

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　\(f^{\prime}(1)=-4 \cdot 1=-4~~~\cdots {\small [\,2\,]}\)

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条件より、\({\small [\,1\,]}\) と \({\small [\,2\,]}\) が等しいので、

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\(\begin{eqnarray}~~~-2a+4&=&-4
\\[3pt]~~~-2a&=&-8
\\[3pt]~~~a&=&4\end{eqnarray}\)

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したがって、\(a=4\) となる