- 数学Ⅱ｜微分と積分「傾きの条件と接線の方程式」の基本例題解説ページです。
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問題｜傾きの条件と接線の方程式
微分と積分 15曲線 \(y=x^2\) について、傾き \(-2\) の接線の方程式の求め方は？
高校数学Ⅱ｜微分と積分
解法のPoint
傾きの条件と接線の方程式
Point：傾きの条件と接線の方程式
① \(y=f(x)\) と微分し、導関数 \(f^{\prime}(x)\) を求める。
\(f(x)=x^2\) より、\(f^{\prime}(x)=2x\)
② 接点の \(x\) 座標を \(a\) とおき、傾きの条件から \(a\) の値を求める。
傾き \(-2\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~f^{\prime}(a)=2a&=&-2\\[3pt]~~~a&=&-1\end{eqnarray}\)
③ 接点の \(y\) 座標を求め、接点と傾きから接線の方程式を求める。
\(a=-1\) より、\(f(-1)=(-1)^2=1\)
接点 \((-1~,~1)\) 、傾き \(-2\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~y-1&=&-2\{x-(-1)\}\\[3pt]~~~y&=&-2x-1\end{eqnarray}\)
曲線 \(y=x^2\) の傾き \(-2\) の接線の方程式は、
① \(y=f(x)\) と微分し、導関数 \(f^{\prime}(x)\) を求める。
\(f(x)=x^2\) より、\(f^{\prime}(x)=2x\)
② 接点の \(x\) 座標を \(a\) とおき、傾きの条件から \(a\) の値を求める。
傾き \(-2\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~f^{\prime}(a)=2a&=&-2\\[3pt]~~~a&=&-1\end{eqnarray}\)
③ 接点の \(y\) 座標を求め、接点と傾きから接線の方程式を求める。
\(a=-1\) より、\(f(-1)=(-1)^2=1\)
接点 \((-1~,~1)\) 、傾き \(-2\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~y-1&=&-2\{x-(-1)\}\\[3pt]~~~y&=&-2x-1\end{eqnarray}\)
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詳しい解説｜傾きの条件と接線の方程式
微分と積分 15
曲線 \(y=x^2\) について、傾き \(-2\) の接線の方程式の求め方は？
高校数学Ⅱ｜微分と積分
\(f(x)=x^2\) とおき、微分すると、
\(f^{\prime}(x)=2x\)
この接線の接点の \(x\) 座標を \(a\) とおくと、
\(f^{\prime}(a)\) が傾き \(-2\) となるので、
\(\begin{eqnarray}~~~2 \cdot a&=&-2\\[3pt]~~~a&=&-1\end{eqnarray}\)
接点の \(x\) 座標が \(-1\) のとき \(y\) 座標は、
\(f(-1)=(-1)^2=1\)
よって、接点 \((-1~,~1)\) を通り、傾き \(-2\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~y-1&=&-2\{x-(-1)\}\\[3pt]~~~y&=&-2x-2+1\\[3pt]~~~y&=&-2x-1\end{eqnarray}\)
したがって、接線の方程式は \(y=-2x-1\) となる
