- 数学Ⅱ｜微分と積分「曲線外の点から引いた接線の方程式」の基本例題解説ページです。
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問題｜曲線外の点から引いた接線の方程式
微分と積分 16曲線 \(y=x^2\) に点 \((2~,~-5)\) から引いた接線の方程式の求め方は？また、曲線 \(y=-x^3+3x-2\) に点 \((2~,~-4)\) から引いた接線の方程式の求め方は？
高校数学Ⅱ｜微分と積分
解法のPoint
曲線外の点から引いた接線の方程式
Point：曲線外の点から引いた接線の方程式
① 接点の \(x\) 座標を \(a\) とし、接点の \(y\) 座標を求める。
\(f(x)=x^2\) より、接点 \((a~,~a^2)\)
② \(f(x)\) を微分して、\(f^{\prime}(x)\) より傾き \(f^{\prime}(a)\) を求め、接線の方程式を \(a\) を用いて表す。
\(f^{\prime}(x)=2x\) より、傾き \(f^{\prime}(a)=2a\)
よって、 \(y=2ax-a^2\)
③ 接線の方程式に曲線外の点の座標を代入し、\(a\) の値を求める。
点 \((2~,~-5)\) より、\(-5=4a-a^2\)
よって、\(a=-1~,~5\)
④ \(a\) の値より、接線の方程式を求める。
\(a=-1\) のとき、\(y=-2x-1\)
\(a=5\) のとき、\(y=10x-25\)
曲線外の点から引いた接線の方程式は、
① 接点の \(x\) 座標を \(a\) とし、接点の \(y\) 座標を求める。
\(f(x)=x^2\) より、接点 \((a~,~a^2)\)
② \(f(x)\) を微分して、\(f^{\prime}(x)\) より傾き \(f^{\prime}(a)\) を求め、接線の方程式を \(a\) を用いて表す。
\(f^{\prime}(x)=2x\) より、傾き \(f^{\prime}(a)=2a\)
よって、 \(y=2ax-a^2\)
③ 接線の方程式に曲線外の点の座標を代入し、\(a\) の値を求める。
点 \((2~,~-5)\) より、\(-5=4a-a^2\)
よって、\(a=-1~,~5\)
④ \(a\) の値より、接線の方程式を求める。
\(a=-1\) のとき、\(y=-2x-1\)
\(a=5\) のとき、\(y=10x-25\)
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詳しい解説｜曲線外の点から引いた接線の方程式
微分と積分 16
曲線 \(y=x^2\) に点 \((2~,~-5)\) から引いた接線の方程式の求め方は？また、曲線 \(y=-x^3+3x-2\) に点 \((2~,~-4)\) から引いた接線の方程式の求め方は？
高校数学Ⅱ｜微分と積分
\(f(x)=x^2\) とおく
接点の \(x\) 座標を \(a\) とすると、
\(y\) 座標は、\(f(a)=a^2\)
よって、接点 \((a~,~a^2)\)
次に、\(f(x)\) を微分すると、
\(f^{\prime}(x)=2x\)
\(x=a\) のときが接線の傾きとなるので、
\(f^{\prime}(a)=2a\)
これより、接点 \((a~,~a^2)\)、傾き \(2a\) の接線の方程式は、
\(\begin{eqnarray}~~~y-a^2&=&2a(x-a)
\\[3pt]~~~y&=&2ax-2a^2+a^2
\\[3pt]~~~y&=&2ax-a^2~~~\cdots {\small [\,1\,]}\end{eqnarray}\)
この接線が点 \((2~,~-5)\) を通るので、
\(\begin{eqnarray}~~~-5&=&2a \cdot 2-a^2
\\[3pt]~~~a^2-4a-5&=&0
\\[3pt]~~~(a-5)(a+1)&=&0
\\[3pt]~~~a&=&-1~,~5\end{eqnarray}\)
\(a=-1\) のとき、\({\small [\,1\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~y&=&2 \cdot (-1)x-(-1)^2
\\[3pt]~~~&=&-2x-1\end{eqnarray}\)
\(a=5\) のとき、\({\small [\,1\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~y&=&2 \cdot 5 \cdot x-5^2
\\[3pt]~~~&=&10x-25\end{eqnarray}\)
したがって、
\(y=-2x-1~,~y=10x-25\) となる
\(f(x)=-x^3+3x-2\) とおく
接点の \(x\) 座標を \(a\) とすると、
\(y\) 座標は、\(f(a)=-a^3+3a-2\)
よって、接点 \((a~,~-a^3+3a-2)\)
次に、\(f(x)\) を微分すると、
\(\begin{eqnarray}~~~f^{\prime}(x)&=&-(x^3)^{\prime}+3(x)^{\prime}+(-2)^{\prime}
\\[3pt]~~~&=&-3x^2+3 \cdot 1+0
\\[3pt]~~~&=&-3x^2+3\end{eqnarray}\)
\(x=a\) のときが接線の傾きとなるので、
\(f^{\prime}(a)=-3a^2+3\)
これより、接点 \((a~,~-a^3+3a-2)\)、傾き \(-3a^2+3\) の接線の方程式は、
\(\begin{eqnarray}~~~y-(-a^3+3a-2)&=&(-3a^2+3)(x-a)
\\[3pt]~~~y&=&(-3a^2+3)x+3a^3-3a-a^3+3a-2
\\[3pt]~~~y&=&(-3a^2+3)x+2a^3-2~~~\cdots {\small [\,1\,]}\end{eqnarray}\)
\\[3pt]~~~y&=&(-3a^2+3)x+3a^3-3a-a^3+3a-2
\\[3pt]~~~y&=&(-3a^2+3)x+2a^3-2~~~\cdots {\small [\,1\,]}\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
この接線が点 \((2~,~-4)\) を通るので、
\(\begin{eqnarray}~~~-4&=&(-3a^2+3) \cdot 2+2a^3-2
\\[3pt]~~~-4&=&-6a^2+6+2a^3-2
\\[3pt]~~~-2a^3+6a^2-8&=&0
\\[3pt]~~~a^3-3a^2+4&=&0\end{eqnarray}\)
\(a^3-3a^2+4\) は \(a=-1\) のとき、
\(-1-3+4=0\)
よって、\(a+1\) が因数となる。
\(-1-3+4=0\)
よって、\(a+1\) が因数となる。
\(a^3-3a^2+4\) は \(a+1\) を因数にもつので、割り算すると、
\(\begin{array}{rr}a^2-4a+4\hspace{20pt}\\a+1~)~\overline{a^3-3a^2\phantom{-4a}+4}\\\underline{-~)~a^3+a^2\phantom{-4a+4}}~\,\\-4a^2\phantom{-4a}+4\\\underline{-~)~-4a^2-4a\phantom{+4}}\\4a+4\\\underline{-~)~~4a+4}\\0\end{array}\)
よって、
\(\begin{eqnarray}~~~(a+1)(a^2-4a+4)&=&0
\\[3pt]~~~(a+1)(a-2)^2&=&0
\\[3pt]~~~a&=&-1~,~2\end{eqnarray}\)
\(a=-1\) のとき、\({\small [\,1\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~y&=&\{-3 \cdot (-1)^2+3\}x+2 \cdot (-1)^3-2
\\[3pt]~~~&=&0 \cdot x-2-2
\\[3pt]~~~&=&-4\end{eqnarray}\)
\(a=2\) のとき、\({\small [\,1\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~y&=&(-3 \cdot 2^2+3)x+2 \cdot 2^3-2
\\[3pt]~~~&=&(-12+3)x+16-2
\\[3pt]~~~&=&-9x+14\end{eqnarray}\)
したがって、\(y=-4~,~y=-9x+14\) となる
