このページは、「曲線外の点から引いた接線の方程式」の練習問題アーカイブページとなります。
この問題の解き方の詳細は↓
曲線外の点から引いた接線の方程式 で確認できます。
問題アーカイブ01
問題アーカイブ01次の曲線に、与えられた点から引いた接線の方程式と、接点の座標を求めよ。
\({\small (1)}~\) 曲線 \(y=x^2-3x~,~\) \((3~,~-4)\)
\({\small (2)}~\) 曲線 \(y=x^3~,~\) \((-1~,~-5)\)
\({\small (1)}~\) 曲線 \(y=x^2-3x~,~\) \((3~,~-4)\)
\({\small (2)}~\) 曲線 \(y=x^3~,~\) \((-1~,~-5)\)
数研出版｜数学Ⅱ[709] p.206 練習11
\({\small (1)}~\)\(f(x)=x^2-3x\) とおく
接点の \(x\) 座標を \(a\) とすると、
\(y\) 座標は、\(f(a)=a^2-3a\)
よって、接点 \((a~,~a^2-3a)\)
次に、\(f(x)\) を微分すると、
\(f^{\prime}(x)=2x-3\)
\(x=a\) のときが接線の傾きとなるので、
\(f^{\prime}(a)=2a-3\)
これより、接点 \((a~,~a^2-3a)\)、傾き \(2a-3\) の接線の方程式は、
\(\begin{eqnarray}~~~y-(a^2-3a)&=&(2a-3)(x-a)
\\[3pt]~~~y&=&(2a-3)x-2a^2+3a+a^2-3a
\\[3pt]~~~y&=&(2a-3)x-a^2~~~\cdots {\small [\,1\,]}\end{eqnarray}\)
\\[3pt]~~~y&=&(2a-3)x-2a^2+3a+a^2-3a
\\[3pt]~~~y&=&(2a-3)x-a^2~~~\cdots {\small [\,1\,]}\end{eqnarray}\)
この接線が点 \((3~,~-4)\) を通るので、
\(\begin{eqnarray}~~~-4&=&(2a-3) \cdot 3-a^2
\\[3pt]~~~-4&=&6a-9-a^2
\\[3pt]~~~a^2-6a+5&=&0
\\[3pt]~~~(a-1)(a-5)&=&0
\\[3pt]~~~a&=&1~,~5\end{eqnarray}\)
\(a=1\) のとき、\({\small [\,1\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~y&=&(2 \cdot 1-3)x-1^2
\\[3pt]~~~&=&-x-1\end{eqnarray}\)
接点は、\((1~,~1^2-3 \cdot 1)=(1~,~-2)\)
\(a=5\) のとき、\({\small [\,1\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~y&=&(2 \cdot 5-3)x-5^2
\\[3pt]~~~&=&7x-25\end{eqnarray}\)
接点は、\((5~,~5^2-3 \cdot 5)=(5~,~10)\)
したがって、
接線の方程式は \(y=-x-1~,~y=7x-25\)
接点の座標は \((1~,~-2)~,~(5~,~10)\) となる
\({\small (2)}~\)\(f(x)=x^3\) とおく
接点の \(x\) 座標を \(a\) とすると、
\(y\) 座標は、\(f(a)=a^3\)
よって、接点 \((a~,~a^3)\)
次に、\(f(x)\) を微分すると、
\(f^{\prime}(x)=3x^2\)
\(x=a\) のときが接線の傾きとなるので、
\(f^{\prime}(a)=3a^2\)
これより、接点 \((a~,~a^3)\)、傾き \(3a^2\) の接線の方程式は、
\(\begin{eqnarray}~~~y-a^3&=&3a^2(x-a)
\\[3pt]~~~y&=&3a^2x-3a^3+a^3
\\[3pt]~~~y&=&3a^2x-2a^3~~~\cdots {\small [\,1\,]}\end{eqnarray}\)
この接線が点 \((-1~,~-5)\) を通るので、
\(\begin{eqnarray}~~~-5&=&3a^2 \cdot (-1)-2a^3
\\[3pt]~~~-5&=&-3a^2-2a^3
\\[3pt]~~~2a^3+3a^2-5&=&0\end{eqnarray}\)
\(2a^3+3a^2-5\) は \(a=1\) のとき、
\(2+3-5=0\)
よって、\(a-1\) が因数となる。
\(2a^3+3a^2-5\) は \(a-1\) を因数にもつので、割り算すると、
\(\begin{array}{rr}2a^2+5a+5\hspace{20pt}\\a-1~)~\overline{2a^3+3a^2\phantom{+5a}-5}\\\underline{-~)~2a^3-2a^2\phantom{+5a-5}}\\5a^2\phantom{+5a}-5\\\underline{-~)~5a^2-5a\phantom{-5}}\\5a-5\\\underline{-~)~~5a-5}\\0\end{array}\)
よって、
\(\begin{eqnarray}~~~(a-1)(2a^2+5a+5)&=&0\end{eqnarray}\)
\(2a^2+5a+5=0\) の判別式は、
\(D=5^2-4 \cdot 2 \cdot 5=25-40=-15 \lt 0\)
これより、\(2a^2+5a+5=0\) は実数解をもたない。
よって、解は \(a=1\)
\(a=1\) のとき、\({\small [\,1\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~y&=&3 \cdot 1^2 \cdot x-2 \cdot 1^3
\\[3pt]~~~&=&3x-2\end{eqnarray}\)
接点は、\((1~,~1^3)=(1~,~1)\)
したがって、
接線の方程式は \(y=3x-2\)
接点の座標は \((1~,~1)\) となる
問題アーカイブ02
問題アーカイブ02次の接線の方程式を求めよ。
\({\small (1)}~\) 関数 \(y=x^2+1\) のグラフに点 \({\rm C}(-1~,~-7)\) から引いた接線
\({\small (2)}~\) 関数 \(y=x^2-2x+4\) のグラフに原点 \({\rm O}\) から引いた接線
\({\small (1)}~\) 関数 \(y=x^2+1\) のグラフに点 \({\rm C}(-1~,~-7)\) から引いた接線
\({\small (2)}~\) 関数 \(y=x^2-2x+4\) のグラフに原点 \({\rm O}\) から引いた接線
数研出版｜高等学校数学Ⅱ[710] p.193 練習14
数研出版｜新編数学Ⅱ[711] p.189 練習14
\({\small (1)}~\)\(f(x)=x^2+1\) とおく
接点の \(x\) 座標を \(a\) とすると、
\(y\) 座標は、\(f(a)=a^2+1\)
よって、接点 \((a~,~a^2+1)\)
次に、\(f(x)\) を微分すると、
\(f^{\prime}(x)=2x\)
\(x=a\) のときが接線の傾きとなるので、
\(f^{\prime}(a)=2a\)
これより、接点 \((a~,~a^2+1)\)、傾き \(2a\) の接線の方程式は、
\(\begin{eqnarray}~~~y-(a^2+1)&=&2a(x-a)
\\[3pt]~~~y&=&2ax-2a^2+a^2+1
\\[3pt]~~~y&=&2ax-a^2+1~~~\cdots {\small [\,1\,]}\end{eqnarray}\)
この接線が点 \({\rm C}(-1~,~-7)\) を通るので、
\(\begin{eqnarray}~~~-7&=&2a \cdot (-1)-a^2+1
\\[3pt]~~~-7&=&-2a-a^2+1
\\[3pt]~~~a^2+2a-8&=&0
\\[3pt]~~~(a+4)(a-2)&=&0
\\[3pt]~~~a&=&-4~,~2\end{eqnarray}\)
\(a=-4\) のとき、\({\small [\,1\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~y&=&2 \cdot (-4)x-(-4)^2+1
\\[3pt]~~~&=&-8x-16+1
\\[3pt]~~~&=&-8x-15\end{eqnarray}\)
\(a=2\) のとき、\({\small [\,1\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~y&=&2 \cdot 2x-2^2+1
\\[3pt]~~~&=&4x-4+1
\\[3pt]~~~&=&4x-3\end{eqnarray}\)
したがって、\(y=-8x-15~,~y=4x-3\) となる
\({\small (2)}~\)\(f(x)=x^2-2x+4\) とおく
接点の \(x\) 座標を \(a\) とすると、
\(y\) 座標は、\(f(a)=a^2-2a+4\)
よって、接点 \((a~,~a^2-2a+4)\)
次に、\(f(x)\) を微分すると、
\(f^{\prime}(x)=2x-2\)
\(x=a\) のときが接線の傾きとなるので、
\(f^{\prime}(a)=2a-2\)
これより、接点 \((a~,~a^2-2a+4)\)、傾き \(2a-2\) の接線の方程式は、
\(\begin{eqnarray}~~~y-(a^2-2a+4)&=&(2a-2)(x-a)
\\[3pt]~~~y&=&(2a-2)x-2a^2+2a+a^2-2a+4
\\[3pt]~~~y&=&(2a-2)x-a^2+4~~~\cdots {\small [\,1\,]}\end{eqnarray}\)
\\[3pt]~~~y&=&(2a-2)x-2a^2+2a+a^2-2a+4
\\[3pt]~~~y&=&(2a-2)x-a^2+4~~~\cdots {\small [\,1\,]}\end{eqnarray}\)
この接線が原点 \({\rm O}(0~,~0)\) を通るので、
\(\begin{eqnarray}~~~0&=&(2a-2) \cdot 0-a^2+4
\\[3pt]~~~a^2-4&=&0
\\[3pt]~~~(a+2)(a-2)&=&0
\\[3pt]~~~a&=&-2~,~2\end{eqnarray}\)
\(a=-2\) のとき、\({\small [\,1\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~y&=&\{2 \cdot (-2)-2\}x-(-2)^2+4
\\[3pt]~~~&=&-6x-4+4
\\[3pt]~~~&=&-6x\end{eqnarray}\)
\(a=2\) のとき、\({\small [\,1\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~y&=&(2 \cdot 2-2)x-2^2+4
\\[3pt]~~~&=&2x-4+4
\\[3pt]~~~&=&2x\end{eqnarray}\)
したがって、\(y=-6x~,~y=2x\) となる
問題アーカイブ03
問題アーカイブ03関数 \(y=x^3+2\) のグラフに点 \({\rm C}(1~,~2)\) から引いた接線の方程式を求めよ。
数研出版｜高等学校数学Ⅱ[710] p.194 問題 6
数研出版｜新編数学Ⅱ[711] p.190 問題 3
\(f(x)=x^3+2\) とおく
接点の \(x\) 座標を \(a\) とすると、
\(y\) 座標は、\(f(a)=a^3+2\)
よって、接点 \((a~,~a^3+2)\)
次に、\(f(x)\) を微分すると、
\(f^{\prime}(x)=3x^2\)
\(x=a\) のときが接線の傾きとなるので、
\(f^{\prime}(a)=3a^2\)
これより、接点 \((a~,~a^3+2)\)、傾き \(3a^2\) の接線の方程式は、
\(\begin{eqnarray}~~~y-(a^3+2)&=&3a^2(x-a)
\\[3pt]~~~y&=&3a^2x-3a^3+a^3+2
\\[3pt]~~~y&=&3a^2x-2a^3+2~~~\cdots {\small [\,1\,]}\end{eqnarray}\)
この接線が点 \({\rm C}(1~,~2)\) を通るので、
\(\begin{eqnarray}~~~2&=&3a^2 \cdot 1-2a^3+2
\\[3pt]~~~2a^3-3a^2&=&0
\\[3pt]~~~a^2(2a-3)&=&0
\\[5pt]~~~a&=&0~,~\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}\end{eqnarray}\)
\(a=0\) のとき、\({\small [\,1\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~y&=&3 \cdot 0^2 \cdot x-2 \cdot 0^3+2
\\[3pt]~~~&=&2\end{eqnarray}\)
\(a=\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}\) のとき、\({\small [\,1\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~y&=&3 \cdot \left(\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}\right)^2x-2 \cdot \left(\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}\right)^3+2
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,27\,}{\,4\,}x-\displaystyle \frac{\,27\,}{\,4\,}+2
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,27\,}{\,4\,}x-\displaystyle \frac{\,19\,}{\,4\,}\end{eqnarray}\)
したがって、\(y=2~,~y=\displaystyle \frac{\,27\,}{\,4\,}x-\displaystyle \frac{\,19\,}{\,4\,}\) となる
問題アーカイブ04
問題アーカイブ04点 \({\rm A}(-1~,~-7)\) から曲線 \(y=x^2+1\) に引いた接線の方程式を求めよ。
東京書籍｜Advanced数学Ⅱ[701] p.205 問3
\(f(x)=x^2+1\) とおく
接点の \(x\) 座標を \(a\) とすると、
\(y\) 座標は、\(f(a)=a^2+1\)
よって、接点 \((a~,~a^2+1)\)
次に、\(f(x)\) を微分すると、
\(f^{\prime}(x)=2x\)
\(x=a\) のときが接線の傾きとなるので、
\(f^{\prime}(a)=2a\)
これより、接点 \((a~,~a^2+1)\)、傾き \(2a\) の接線の方程式は、
\(\begin{eqnarray}~~~y-(a^2+1)&=&2a(x-a)
\\[3pt]~~~y&=&2ax-2a^2+a^2+1
\\[3pt]~~~y&=&2ax-a^2+1~~~\cdots {\small [\,1\,]}\end{eqnarray}\)
この接線が点 \({\rm A}(-1~,~-7)\) を通るので、
\(\begin{eqnarray}~~~-7&=&2a \cdot (-1)-a^2+1
\\[3pt]~~~-7&=&-2a-a^2+1
\\[3pt]~~~a^2+2a-8&=&0
\\[3pt]~~~(a+4)(a-2)&=&0
\\[3pt]~~~a&=&-4~,~2\end{eqnarray}\)
\(a=-4\) のとき、\({\small [\,1\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~y&=&2 \cdot (-4)x-(-4)^2+1
\\[3pt]~~~&=&-8x-16+1
\\[3pt]~~~&=&-8x-15\end{eqnarray}\)
\(a=2\) のとき、\({\small [\,1\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~y&=&2 \cdot 2x-2^2+1
\\[3pt]~~~&=&4x-4+1
\\[3pt]~~~&=&4x-3\end{eqnarray}\)
したがって、\(y=-8x-15~,~y=4x-3\) となる
問題アーカイブ05
問題アーカイブ05点 \(\left(-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}~,~\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\right)\) から曲線 \(y=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}x^3-2x^2+2x\) に引いた接線の方程式を求めよ。
東京書籍｜Advanced数学Ⅱ[701] p.244 練習問題A 6
\(f(x)=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}x^3-2x^2+2x\) とおく
接点の \(x\) 座標を \(a\) とすると、
\(y\) 座標は、\(f(a)=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}a^3-2a^2+2a\)
よって、接点 \(\left(a~,~\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}a^3-2a^2+2a\right)\)
次に、\(f(x)\) を微分すると、
\(f^{\prime}(x)=x^2-4x+2\)
\(x=a\) のときが接線の傾きとなるので、
\(f^{\prime}(a)=a^2-4a+2\)
これより、接点 \(\left(a~,~\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}a^3-2a^2+2a\right)\)、傾き \(a^2-4a+2\) の接線の方程式は、
\(\begin{eqnarray}~~~y-\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}a^3-2a^2+2a\right)&=&(a^2-4a+2)(x-a)
\\[5pt]~~~y&=&(a^2-4a+2)x-a^3+4a^2-2a+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}a^3-2a^2+2a
\\[5pt]~~~y&=&(a^2-4a+2)x-\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}a^3+2a^2~~~\cdots {\small [\,1\,]}\end{eqnarray}\)
\\[5pt]~~~y&=&(a^2-4a+2)x-a^3+4a^2-2a+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}a^3-2a^2+2a
\\[5pt]~~~y&=&(a^2-4a+2)x-\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}a^3+2a^2~~~\cdots {\small [\,1\,]}\end{eqnarray}\)
この接線が点 \(\left(-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}~,~\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\right)\) を通るので、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}&=&(a^2-4a+2) \cdot \left(-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\right)-\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}a^3+2a^2
\\[5pt]~~~\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}&=&-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}a^2+\displaystyle \frac{\,4\,}{\,3\,}a-\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}-\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}a^3+2a^2
\\[5pt]~~~1&=&-a^2+4a-2-2a^3+6a^2
\\[3pt]~~~2a^3-5a^2-4a+3&=&0\end{eqnarray}\)
\\[5pt]~~~\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}&=&-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}a^2+\displaystyle \frac{\,4\,}{\,3\,}a-\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}-\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}a^3+2a^2
\\[5pt]~~~1&=&-a^2+4a-2-2a^3+6a^2
\\[3pt]~~~2a^3-5a^2-4a+3&=&0\end{eqnarray}\)
\(2a^3-5a^2-4a+3\) は \(a=3\) のとき、
\(54-45-12+3=0\)
よって、\(a-3\) が因数となる。
\(2a^3-5a^2-4a+3\) は \(a-3\) を因数にもつので、割り算すると、
\(\begin{array}{rr}2a^2+a-1\hspace{20pt}\\a-3~)~\overline{2a^3-5a^2-4a+3}\\\underline{-~)~2a^3-6a^2\phantom{-4a+3}}~\,\\a^2-4a+3\\\underline{-~)~a^2-3a\phantom{+3}}\\-a+3\\\underline{-~)~-a+3}\\0\end{array}\)
よって、
\(\begin{eqnarray}~~~(a-3)(2a^2+a-1)&=&0
\\[3pt]~~~(a-3)(2a-1)(a+1)&=&0
\\[3pt]~~~a&=&-1~,~\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}~,~3\end{eqnarray}\)
\(a=-1\) のとき、\({\small [\,1\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~y&=&\{(-1)^2-4 \cdot (-1)+2\}x-\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,} \cdot (-1)^3+2 \cdot (-1)^2
\\[5pt]~~~&=&7x+\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}+2
\\[5pt]~~~&=&7x+\displaystyle \frac{\,8\,}{\,3\,}\end{eqnarray}\)
\\[5pt]~~~&=&7x+\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}+2
\\[5pt]~~~&=&7x+\displaystyle \frac{\,8\,}{\,3\,}\end{eqnarray}\)
\(a=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\) のとき、\({\small [\,1\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~y&=&\left\{\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\right)^2-4 \cdot \displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}+2\right\}x-\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,} \cdot \left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\right)^3+2 \cdot \left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\right)^2
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}x-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,12\,}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}x+\displaystyle \frac{\,5\,}{\,12\,}\end{eqnarray}\)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}x-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,12\,}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}x+\displaystyle \frac{\,5\,}{\,12\,}\end{eqnarray}\)
\(a=3\) のとき、\({\small [\,1\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~y&=&(3^2-4 \cdot 3+2)x-\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,} \cdot 3^3+2 \cdot 3^2
\\[5pt]~~~&=&-x-18+18
\\[5pt]~~~&=&-x\end{eqnarray}\)
したがって、
\(y=7x+\displaystyle \frac{\,8\,}{\,3\,}~,~y=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}x+\displaystyle \frac{\,5\,}{\,12\,}~,~y=-x\) となる
問題アーカイブ06
問題アーカイブ06点 \({\rm A}(-1~,~-2)\) から曲線 \(y=x^2+1\) へ引いた接線の方程式を求めよ。
東京書籍｜Standard数学Ⅱ[702] p.213 問12
\(f(x)=x^2+1\) とおく
接点の \(x\) 座標を \(a\) とすると、
\(y\) 座標は、\(f(a)=a^2+1\)
よって、接点 \((a~,~a^2+1)\)
次に、\(f(x)\) を微分すると、
\(f^{\prime}(x)=2x\)
\(x=a\) のときが接線の傾きとなるので、
\(f^{\prime}(a)=2a\)
これより、接点 \((a~,~a^2+1)\)、傾き \(2a\) の接線の方程式は、
\(\begin{eqnarray}~~~y-(a^2+1)&=&2a(x-a)
\\[3pt]~~~y&=&2ax-2a^2+a^2+1
\\[3pt]~~~y&=&2ax-a^2+1~~~\cdots {\small [\,1\,]}\end{eqnarray}\)
この接線が点 \({\rm A}(-1~,~-2)\) を通るので、
\(\begin{eqnarray}~~~-2&=&2a \cdot (-1)-a^2+1
\\[3pt]~~~-2&=&-2a-a^2+1
\\[3pt]~~~a^2+2a-3&=&0
\\[3pt]~~~(a+3)(a-1)&=&0
\\[3pt]~~~a&=&-3~,~1\end{eqnarray}\)
\(a=-3\) のとき、\({\small [\,1\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~y&=&2 \cdot (-3)x-(-3)^2+1
\\[3pt]~~~&=&-6x-9+1
\\[3pt]~~~&=&-6x-8\end{eqnarray}\)
\(a=1\) のとき、\({\small [\,1\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~y&=&2 \cdot 1 \cdot x-1^2+1
\\[3pt]~~~&=&2x\end{eqnarray}\)
したがって、\(y=-6x-8~,~y=2x\) となる
問題アーカイブ07
問題アーカイブ07点 \({\rm A}(3~,~-4)\) から曲線 \(y=x^2-3x\) へ引いた接線の方程式を求めよ。
東京書籍｜Standard数学Ⅱ[702] p.225 Training 8
\(f(x)=x^2-3x\) とおく
接点の \(x\) 座標を \(a\) とすると、
\(y\) 座標は、\(f(a)=a^2-3a\)
よって、接点 \((a~,~a^2-3a)\)
次に、\(f(x)\) を微分すると、
\(f^{\prime}(x)=2x-3\)
\(x=a\) のときが接線の傾きとなるので、
\(f^{\prime}(a)=2a-3\)
これより、接点 \((a~,~a^2-3a)\)、傾き \(2a-3\) の接線の方程式は、
\(\begin{eqnarray}~~~y-(a^2-3a)&=&(2a-3)(x-a)
\\[3pt]~~~y&=&(2a-3)x-2a^2+3a+a^2-3a
\\[3pt]~~~y&=&(2a-3)x-a^2~~~\cdots {\small [\,1\,]}\end{eqnarray}\)
\\[3pt]~~~y&=&(2a-3)x-2a^2+3a+a^2-3a
\\[3pt]~~~y&=&(2a-3)x-a^2~~~\cdots {\small [\,1\,]}\end{eqnarray}\)
この接線が点 \({\rm A}(3~,~-4)\) を通るので、
\(\begin{eqnarray}~~~-4&=&(2a-3) \cdot 3-a^2
\\[3pt]~~~-4&=&6a-9-a^2
\\[3pt]~~~a^2-6a+5&=&0
\\[3pt]~~~(a-1)(a-5)&=&0
\\[3pt]~~~a&=&1~,~5\end{eqnarray}\)
\(a=1\) のとき、\({\small [\,1\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~y&=&(2 \cdot 1-3)x-1^2
\\[3pt]~~~&=&-x-1\end{eqnarray}\)
\(a=5\) のとき、\({\small [\,1\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~y&=&(2 \cdot 5-3)x-5^2
\\[3pt]~~~&=&7x-25\end{eqnarray}\)
したがって、\(y=-x-1~,~y=7x-25\) となる
