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問題｜接線の条件と曲線の決定
微分と積分 17☆曲線 \(y=x^2+ax+b\) 上の点 \((1~,~1)\) の接線が原点を通るとき、定数 \(a~,~b\) の値の求め方は？
高校数学Ⅱ｜微分と積分
解法のPoint
接線の条件と曲線の決定
Point：接線の条件と曲線の決定
\(f(x)=x^2+ax+b\)
① 接点の座標から条件を立てる。
接点 \((1~,~1)\) より、
\(1=1^2+a \cdot 1+b\)
\(~\Leftrightarrow ~a+b=0~~~\cdots {\small [\,1\,]}\)
② \(f(x)\) を微分し、接点における接線の方程式を求める。
\(f^{\prime}(x)=2x+a\) より、傾き \(a+2\)
接線の方程式は、\(y=(a+2)x-a-1\)
③ この接線が原点の座標を代入し、条件式より \(a\) と \(b\) の値を求める。
点 \((0~,~0)\) を代入して
\(a=-1~~~\cdots {\small [\,2\,]}\)
\({\small [\,1\,]}\) より、\(b=1\)
接線の条件と曲線の決定
\(f(x)=x^2+ax+b\)
① 接点の座標から条件を立てる。
接点 \((1~,~1)\) より、
\(1=1^2+a \cdot 1+b\)
\(~\Leftrightarrow ~a+b=0~~~\cdots {\small [\,1\,]}\)
② \(f(x)\) を微分し、接点における接線の方程式を求める。
\(f^{\prime}(x)=2x+a\) より、傾き \(a+2\)
接線の方程式は、\(y=(a+2)x-a-1\)
③ この接線が原点の座標を代入し、条件式より \(a\) と \(b\) の値を求める。
点 \((0~,~0)\) を代入して
\(a=-1~~~\cdots {\small [\,2\,]}\)
\({\small [\,1\,]}\) より、\(b=1\)
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詳しい解説｜接線の条件と曲線の決定
微分と積分 17☆
曲線 \(y=x^2+ax+b\) 上の点 \((1~,~1)\) の接線が原点を通るとき、定数 \(a~,~b\) の値の求め方は？
高校数学Ⅱ｜微分と積分
\(f(x)=x^2+ax+b\) とおく
点 \((1~,~1)\) を代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~1&=&1^2+a \cdot 1+b
\\[3pt]~~~1&=&1+a+b
\\[3pt]~~~a+b&=&0~~~\cdots {\small [\,1\,]}\end{eqnarray}\)
\(f(x)\) を微分すると、
\(\begin{eqnarray}~~~f^{\prime}(x)&=&(x^2)^{\prime}+(ax)^{\prime}+(b)^{\prime}
\\[3pt]~~~&=&2x+a \cdot 1+0
\\[3pt]~~~&=&2x+a\end{eqnarray}\)
\(x=1\) のときが接線の傾きとなるので、
\(\begin{eqnarray}~~~f^{\prime}(1)&=&2 \cdot 1+a
\\[3pt]~~~&=&a+2\end{eqnarray}\)
これより、接点 \((1~,~1)\)、傾き \(a+2\) の接線の方程式は、
\(\begin{eqnarray}~~~y-1&=&(a+2)(x-1)
\\[3pt]~~~y&=&(a+2)x-a-2+1
\\[3pt]~~~y&=&(a+2)x-a-1\end{eqnarray}\)
この接線が原点 \((0~,~0)\) を通るので、
\(\begin{eqnarray}~~~0&=&(a+2) \cdot 0-a-1
\\[3pt]~~~a&=&-1~~~\cdots {\small [\,2\,]}\end{eqnarray}\)
\({\small [\,2\,]}\) を \({\small [\,1\,]}\) に代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~-1+b&=&0
\\[3pt]~~~b&=&1\end{eqnarray}\)
したがって、\(a=-1~,~b=1\) となる
