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問題アーカイブ01
問題アーカイブ01曲線 \(y=x^3+ax+b\) 上の点 \((1~,~2)\) における曲線の接線が次の条件を満たすとき、定数 \(a~,~b\) の値を、それぞれ求めよ。
\({\small (1)}~\) 原点Oを通る
\({\small (2)}~\) 傾きが4
\({\small (1)}~\) 原点Oを通る
\({\small (2)}~\) 傾きが4
数研出版｜数学Ⅱ[709] p.220 問題 7
\({\small (1)}~\)\(f(x)=x^3+ax+b\) とおく
点 \((1~,~2)\) を代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~2&=&1^3+a \cdot 1+b
\\[3pt]~~~2&=&1+a+b
\\[3pt]~~~a+b&=&1~~~\cdots {\small [\,1\,]}\end{eqnarray}\)
\(f(x)\) を微分すると、
\(\begin{eqnarray}~~~f^{\prime}(x)&=&(x^3)^{\prime}+(ax)^{\prime}+(b)^{\prime}
\\[3pt]~~~&=&3x^2+a \cdot 1+0
\\[3pt]~~~&=&3x^2+a\end{eqnarray}\)
\(x=1\) のときが接線の傾きとなるので、
\(\begin{eqnarray}~~~f^{\prime}(1)&=&3 \cdot 1^2+a
\\[3pt]~~~&=&a+3\end{eqnarray}\)
これより、接点 \((1~,~2)\)、傾き \(a+3\) の接線の方程式は、
\(\begin{eqnarray}~~~y-2&=&(a+3)(x-1)
\\[3pt]~~~y&=&(a+3)x-a-3+2
\\[3pt]~~~y&=&(a+3)x-a-1\end{eqnarray}\)
この接線が原点 \((0~,~0)\) を通るので、
\(\begin{eqnarray}~~~0&=&(a+3) \cdot 0-a-1
\\[3pt]~~~a&=&-1~~~\cdots {\small [\,2\,]}\end{eqnarray}\)
\({\small [\,2\,]}\) を \({\small [\,1\,]}\) に代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~-1+b&=&1
\\[3pt]~~~b&=&2\end{eqnarray}\)
したがって、\(a=-1~,~b=2\) となる
\({\small (2)}~\)\(f(x)=x^3+ax+b\) とおく
点 \((1~,~2)\) を代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~2&=&1^3+a \cdot 1+b
\\[3pt]~~~2&=&1+a+b
\\[3pt]~~~a+b&=&1~~~\cdots {\small [\,1\,]}\end{eqnarray}\)
\(f(x)\) を微分すると、
\(\begin{eqnarray}~~~f^{\prime}(x)&=&(x^3)^{\prime}+(ax)^{\prime}+(b)^{\prime}
\\[3pt]~~~&=&3x^2+a \cdot 1+0
\\[3pt]~~~&=&3x^2+a\end{eqnarray}\)
\(x=1\) のときが接線の傾きとなるので、
\(\begin{eqnarray}~~~f^{\prime}(1)&=&3 \cdot 1^2+a
\\[3pt]~~~&=&a+3\end{eqnarray}\)
接線の傾きが \(4\) となるので、
\(\begin{eqnarray}~~~a+3&=&4
\\[3pt]~~~a&=&1~~~\cdots {\small [\,2\,]}\end{eqnarray}\)
\({\small [\,2\,]}\) を \({\small [\,1\,]}\) に代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~1+b&=&1
\\[3pt]~~~b&=&0\end{eqnarray}\)
したがって、\(a=1~,~b=0\) となる
