- 数学Ⅱ｜微分と積分「導関数と関数の増減」の基本例題解説ページです。
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問題｜導関数と関数の増減
微分と積分 18関数 \(f(x)=x^3-3x\) の導関数を求めて、増減を調べる方法は？また、関数 \(f(x)=x^3+3x\) が常に単調に増加することの証明方法は？
高校数学Ⅱ｜微分と積分
解法のPoint
導関数と関数の増減
Point：導関数と関数の増減
① \(f(x)\) を微分して、導関数 \(f^{\prime}(x)\) を求め、\(f^{\prime}(x)=0\) となる \(x\) の値を求める。
\(\begin{eqnarray}~~~f^{\prime}(x)=3x^2-3&=&0\\[3pt]~~~3(x+1)(x-1)&=&0\\[3pt]~~~x&=&-1~,~1\end{eqnarray}\)
② ①の \(x\) の値の前後での \(f^{\prime}(x)\) の符号と、\(f(x)\) の値を求める。
\(x \lt -1\) のとき、\(f^{\prime}(x) \gt 0\)
\(-1 \lt x \lt 1\) のとき、\(f^{\prime}(x) \lt 0\)
\(1 \lt x\) のとき、\(f^{\prime}(x) \gt 0\)
また、
\(x=-1\) のとき、\(f(-1)=2\)
\(x=1\) のとき、\(f(1)=-2\)
③ 増減表を作り、\(f(x)\) の増減を調べる。
\(\begin{array}{c|ccccc}
x & \cdots & -1 & \cdots & 1 & \cdots \\
\hline
f^{\prime}(x) & + & 0 & – & 0 & + \\
\hline
f(x) & \nearrow & 2 & \searrow & -2 & \nearrow
\end{array}\)
関数 \(f(x)=x^3-3x\) の増減は、
① \(f(x)\) を微分して、導関数 \(f^{\prime}(x)\) を求め、\(f^{\prime}(x)=0\) となる \(x\) の値を求める。
\(\begin{eqnarray}~~~f^{\prime}(x)=3x^2-3&=&0\\[3pt]~~~3(x+1)(x-1)&=&0\\[3pt]~~~x&=&-1~,~1\end{eqnarray}\)
② ①の \(x\) の値の前後での \(f^{\prime}(x)\) の符号と、\(f(x)\) の値を求める。
\(x \lt -1\) のとき、\(f^{\prime}(x) \gt 0\)
\(-1 \lt x \lt 1\) のとき、\(f^{\prime}(x) \lt 0\)
\(1 \lt x\) のとき、\(f^{\prime}(x) \gt 0\)
また、
\(x=-1\) のとき、\(f(-1)=2\)
\(x=1\) のとき、\(f(1)=-2\)
③ 増減表を作り、\(f(x)\) の増減を調べる。
\(\begin{array}{c|ccccc}
x & \cdots & -1 & \cdots & 1 & \cdots \\
\hline
f^{\prime}(x) & + & 0 & – & 0 & + \\
\hline
f(x) & \nearrow & 2 & \searrow & -2 & \nearrow
\end{array}\)
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Point：単調増加と単調減少
① \(f(x)\) を微分して、導関数 \(f^{\prime}(x)\) を求める。
\(f^{\prime}(x)=3x^2+3=3(x^2+1)\)
② 任意の \(x\) について、\(f^{\prime}(x) \gt 0\) となることを示し、常に単調増加であることを示す。
\(f^{\prime}(x)=3(x^2+1) \gt 0\) より、
\(f(x)\) は常に単調に増加
関数 \(f(x)=x^3+3x\) が常に単調に増加することの証明方法は、
① \(f(x)\) を微分して、導関数 \(f^{\prime}(x)\) を求める。
\(f^{\prime}(x)=3x^2+3=3(x^2+1)\)
② 任意の \(x\) について、\(f^{\prime}(x) \gt 0\) となることを示し、常に単調増加であることを示す。
\(f^{\prime}(x)=3(x^2+1) \gt 0\) より、
\(f(x)\) は常に単調に増加
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詳しい解説｜導関数と関数の増減
微分と積分 18
関数 \(f(x)=x^3-3x\) の導関数を求めて、増減を調べる方法は？また、関数 \(f(x)=x^3+3x\) が常に単調に増加することの証明方法は？
高校数学Ⅱ｜微分と積分
\(f(x)=x^3-3x\) を微分すると、
\(\begin{eqnarray}~~~f^{\prime}(x)&=&(x^3)^{\prime}-3 \cdot (x)^{\prime}\\[3pt]~~~&=&3x^2-3\\[3pt]~~~&=&3(x^2-1)\\[3pt]~~~&=&3(x+1)(x-1)\end{eqnarray}\)
\(f^{\prime}(x)=0\) とおくと、
\(\begin{eqnarray}~~~f^{\prime}(x)&=&3(x+1)(x-1)=0\\[3pt]~~~&&x=-1~,~1\end{eqnarray}\)
また、
\(x \lt -1\) のとき、\(f^{\prime}(x) \gt 0\)
\(-1 \lt x \lt 1\) のとき、\(f^{\prime}(x) \lt 0\)
\(1 \lt x\) のとき、\(f^{\prime}(x) \gt 0\)
さらに、
\(x=-1\) のとき、
\(\begin{eqnarray}~~~f(-1)&=&(-1)^3-3 \cdot (-1)\\[3pt]~~~&=&-1+3\\[3pt]~~~&=&2\end{eqnarray}\)
\(x=1\) のとき、
\(\begin{eqnarray}~~~f(1)&=&1^3-3 \cdot 1\\[3pt]~~~&=&1-3\\[3pt]~~~&=&-2\end{eqnarray}\)
よって、\(f^{\prime}(x)\) の符号と \(f(x)\) の増減は、
\(\begin{array}{c|ccccc}
x & \cdots & -1 & \cdots & 1 & \cdots \\
\hline
f^{\prime}(x) & + & 0 & – & 0 & + \\
\hline
f(x) & \nearrow & 2 & \searrow & -2 & \nearrow
\end{array}\)
したがって、\(f(x)\) は
\(x{\small ~≦~}-1\) の区間で増加
\(-1{\small ~≦~}x{\small ~≦~}1\) の区間で減少
\(1{\small ~≦~}x\) の区間で増加
[証明] \(f(x)=x^3+3x\) を微分すると、
\(\begin{eqnarray}~~~f^{\prime}(x)&=&(x^3)^{\prime}+3 \cdot (x)^{\prime}\\[3pt]~~~&=&3x^2+3\\[3pt]~~~&=&3(x^2+1)\end{eqnarray}\)
これより、任意の \(x\) について \(x^2{\small ~≧~}0\) であり、\(x^2+1 \gt 0\) より、
\(f^{\prime}(x)=3(x^2+1) \gt 0\)
したがって、
関数 \(f(x)=x^3+3x\) は常に単調に増加する [終]
