- 数学Ⅱ｜微分と積分「導関数と3次関数のグラフ」の基本例題解説ページです。
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問題｜導関数と3次関数のグラフ
微分と積分 19関数 \(y=x^3-3x\) の極値の求め方とグラフの描き方は？また、関数 \(y=x^3-3x^2+3x\) のグラフの描き方は？
高校数学Ⅱ｜微分と積分
解法のPoint
導関数と3次関数のグラフ
Point：導関数と3次関数のグラフ
① \(f(x)\) を微分して、導関数 \(f^{\prime}(x)\) を求め、\(f^{\prime}(x)=0\) となる \(x\) の値を求める。
\(\begin{eqnarray}~~~f^{\prime}(x)=3x^2-3&=&0\\[3pt]~~~3(x+1)(x-1)&=&0\\[3pt]~~~x&=&-1~,~1\end{eqnarray}\)
② ①の \(x\) の値の前後での \(f^{\prime}(x)\) の符号と、\(f(x)\) の値を求める。
\(x \lt -1\) のとき、\(f^{\prime}(x) \gt 0\)
\(-1 \lt x \lt 1\) のとき、\(f^{\prime}(x) \lt 0\)
\(1 \lt x\) のとき、\(f^{\prime}(x) \gt 0\)
また、
\(x=-1\) のとき、\(f(-1)=2\)
\(x=1\) のとき、\(f(1)=-2\)
③ 増減表を作り、極大値と極小値を求め、\(y=f(x)\) のグラフを描く。
\(\begin{array}{c|ccccc}
x & \cdots & -1 & \cdots & 1 & \cdots \\
\hline
f^{\prime}(x) & + & 0 & – & 0 & + \\
\hline
f(x) & \nearrow & 2 & \searrow & -2 & \nearrow
\end{array}\)
\(x=-1\) のとき、極大値 \(2\)
\(x=1\) のとき、極小値 \(-2\)
\(x=a\) の前後で \(f^{\prime}(a)\) の符号が
正から負に変化 → \(f(a)\) は極大値
負から正に変化 → \(f(a)\) は極小値
3次関数 \(f(x)=x^3-3x\) のグラフは、
① \(f(x)\) を微分して、導関数 \(f^{\prime}(x)\) を求め、\(f^{\prime}(x)=0\) となる \(x\) の値を求める。
\(\begin{eqnarray}~~~f^{\prime}(x)=3x^2-3&=&0\\[3pt]~~~3(x+1)(x-1)&=&0\\[3pt]~~~x&=&-1~,~1\end{eqnarray}\)
② ①の \(x\) の値の前後での \(f^{\prime}(x)\) の符号と、\(f(x)\) の値を求める。
\(x \lt -1\) のとき、\(f^{\prime}(x) \gt 0\)
\(-1 \lt x \lt 1\) のとき、\(f^{\prime}(x) \lt 0\)
\(1 \lt x\) のとき、\(f^{\prime}(x) \gt 0\)
また、
\(x=-1\) のとき、\(f(-1)=2\)
\(x=1\) のとき、\(f(1)=-2\)
③ 増減表を作り、極大値と極小値を求め、\(y=f(x)\) のグラフを描く。
\(\begin{array}{c|ccccc}
x & \cdots & -1 & \cdots & 1 & \cdots \\
\hline
f^{\prime}(x) & + & 0 & – & 0 & + \\
\hline
f(x) & \nearrow & 2 & \searrow & -2 & \nearrow
\end{array}\)
\(x=-1\) のとき、極大値 \(2\)
\(x=1\) のとき、極小値 \(-2\)
\(x=a\) の前後で \(f^{\prime}(a)\) の符号が
正から負に変化 → \(f(a)\) は極大値
負から正に変化 → \(f(a)\) は極小値
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Point：極値をもたない3次関数のグラフ
関数 \(f(x)=x^3-3x^2+3x\)
① \(f(x)\) を微分して、導関数 \(f^{\prime}(x)\) を求め、\(f^{\prime}(x)=0\) となる \(x\) の値を求める。
\(\begin{eqnarray}~~~f^{\prime}(x)=3x^2-6x+3&=&0\\[3pt]~~~3(x-1)^2&=&0\\[3pt]~~~x&=&1\end{eqnarray}\)
② ①の \(x\) の値の前後での \(f^{\prime}(x)\) の符号と、\(f(x)\) の値を求める。
\(x=1\) の前後でどちらも \(f^{\prime}(x) \gt 0\) となり、\(f(x)\) は常に増加する。
また、\(x=1\) のとき、\(f(1)=1\)。
③ 増減表を作り、グラフを描く。
\(\begin{array}{c|ccc}x & \cdots & 1 & \cdots \\\hline f^{\prime}(x) & + & 0 & + \\\hline f(x) & \nearrow & 1 & \nearrow\end{array}\)
\(x=1\) のとき \(f(1)\) は極値でない。
※ \(x=a\) の前後で \(f^{\prime}(a)\) の符号が変わらないとき \(f(a)\) は極値でない。
極値をもたない、3次関数のグラフは、
関数 \(f(x)=x^3-3x^2+3x\)
① \(f(x)\) を微分して、導関数 \(f^{\prime}(x)\) を求め、\(f^{\prime}(x)=0\) となる \(x\) の値を求める。
\(\begin{eqnarray}~~~f^{\prime}(x)=3x^2-6x+3&=&0\\[3pt]~~~3(x-1)^2&=&0\\[3pt]~~~x&=&1\end{eqnarray}\)
② ①の \(x\) の値の前後での \(f^{\prime}(x)\) の符号と、\(f(x)\) の値を求める。
\(x=1\) の前後でどちらも \(f^{\prime}(x) \gt 0\) となり、\(f(x)\) は常に増加する。
また、\(x=1\) のとき、\(f(1)=1\)。
③ 増減表を作り、グラフを描く。
\(\begin{array}{c|ccc}x & \cdots & 1 & \cdots \\\hline f^{\prime}(x) & + & 0 & + \\\hline f(x) & \nearrow & 1 & \nearrow\end{array}\)
\(x=1\) のとき \(f(1)\) は極値でない。
※ \(x=a\) の前後で \(f^{\prime}(a)\) の符号が変わらないとき \(f(a)\) は極値でない。
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詳しい解説｜導関数と3次関数のグラフ
微分と積分 19
関数 \(y=x^3-3x\) の極値の求め方とグラフの描き方は？また、関数 \(y=x^3-3x^2+3x\) のグラフの描き方は？
高校数学Ⅱ｜微分と積分
\(f(x)=x^3-3x\) とおき、\(f(x)\) を微分すると、
\(\begin{eqnarray}~~~f^{\prime}(x)&=&(x^3)^{\prime}-3 \cdot (x)^{\prime}\\[3pt]~~~&=&3x^2-3\\[3pt]~~~&=&3(x^2-1)\\[3pt]~~~&=&3(x+1)(x-1)\end{eqnarray}\)
\(f^{\prime}(x)=0\) となる \(x\) の値は、
\(\begin{eqnarray}~~~f^{\prime}(x)&=&3(x+1)(x-1)=0\\[3pt]~~~&&x=-1~,~1\end{eqnarray}\)
2次関数 \(y=f^{\prime}(x)\) のグラフより、
よって、この \(x\) の前後での\(f^{\prime}(x)\) の符号は、
\(x \lt -1\) のとき、\(f^{\prime}(x) \gt 0\)
\(-1 \lt x \lt 1\) のとき、\(f^{\prime}(x) \lt 0\)
\(1 \lt x\) のとき、\(f^{\prime}(x) \gt 0\)
さらに、
\(x=-1\) のとき、
\(\begin{eqnarray}~~~f(-1)&=&(-1)^3-3 \cdot (-1)\\[3pt]~~~&=&-1+3\\[3pt]~~~&=&2\end{eqnarray}\)
\(x=1\) のとき、
\(\begin{eqnarray}~~~f(1)&=&1^3-3 \cdot 1\\[3pt]~~~&=&1-3\\[3pt]~~~&=&-2\end{eqnarray}\)
よって、\(f^{\prime}(x)\) の符号と \(f(x)\) の増減は、
\(\begin{array}{c|ccccc}x & \cdots & -1 & \cdots & 1 & \cdots \\\hline f^{\prime}(x) & + & 0 & – & 0 & + \\\hline f(x) & \nearrow & 2 & \searrow & -2 & \nearrow\end{array}\)
これより、
\(x=-1\) のとき、極大値 \(2\)
\(x=1\) のとき、極小値 \(-2\)
また、\(y=x^3-3x\) のグラフは、点 \((-1~,~2)~,~\)\((1~,~-2)\) を通り、\(y\) 切片が \(0\) より、
\(f(x)=x^3-3x^2+3x\) について、\(f(x)\) を微分すると、
\(\begin{eqnarray}~~~f^{\prime}(x)&=&(x^3)^{\prime}-3(x^2)^{\prime}+3 \cdot (x)^{\prime}\\[3pt]~~~&=&3x^2-3 \cdot 2x+3 \cdot 1\\[3pt]~~~&=&3x^2-6x+3\\[3pt]~~~&=&3(x^2-2x+1)\\[3pt]~~~&=&3(x-1)^2\end{eqnarray}\)
\(f^{\prime}(x)=0\) となる \(x\) の値は、
\(\begin{eqnarray}~~~f^{\prime}(x)&=&3(x-1)^2=0\\[3pt]~~~&&x=1\end{eqnarray}\)
2次関数 \(y=f^{\prime}(x)\) のグラフより、
\(x \neq 1\) で \(f^{\prime}(x) \gt 0\)
よって、この \(x\) の前後での\(f^{\prime}(x)\) の符号は、
\(x \neq 1\) で \(f^{\prime}(x) \gt 0\) で、\(f(x)\) は常に単調に増加する
さらに、\(x=1\) のとき、
\(\begin{eqnarray}~~~f(1)&=&1^3-3 \cdot 1^2+3 \cdot 1\\[3pt]~~~&=&1-3+3\\[3pt]~~~&=&1\end{eqnarray}\)
よって、\(f^{\prime}(x)\) の符号と \(f(x)\) の増減は、
\(\begin{array}{c|ccc}x & \cdots & 1 & \cdots \\\hline f^{\prime}(x) & + & 0 & + \\\hline f(x) & \nearrow & 1 & \nearrow\end{array}\)
増減表より、\(x=1\) の前後で \(f^{\prime}(x)\) の符号が変わらないので、\(f(1)=1\) は極値でない
また、\(y=x^3-3x^2+3x\) のグラフは、点 \((1~,~1)\) を通り、\(y\) 切片が \(0\) より、
