導関数と3次関数のグラフ

数研出版｜数学Ⅱ[709] p.211 練習13(1)

\(f(x)=2x^3+3x^2\) とおき、\(f(x)\) を微分すると、

---

\(\begin{eqnarray}~~~f^{\prime}(x)&=&2(x^3)^{\prime}+3(x^2)^{\prime}\\[3pt]~~~&=&6x^2+6x\\[3pt]~~~&=&6x(x+1)\end{eqnarray}\)

---

\(f^{\prime}(x)=0\) となる \(x\) の値は、

---

\(\begin{eqnarray}~~~f^{\prime}(x)&=&6x(x+1)=0\\[3pt]~~~&&x=-1~,~0\end{eqnarray}\)

よって、この \(x\) の前後での\(f^{\prime}(x)\) の符号は、

---

　\(x \lt -1\) のとき、\(f^{\prime}(x) \gt 0\)
　\(-1 \lt x \lt 0\) のとき、\(f^{\prime}(x) \lt 0\)
　\(0 \lt x\) のとき、\(f^{\prime}(x) \gt 0\)

---

さらに、

---

　\(x=-1\) のとき、

---

　\(\begin{eqnarray}~~~f(-1)&=&2 \cdot (-1)^3+3 \cdot (-1)^2\\[3pt]~~~&=&-2+3\\[3pt]~~~&=&1\end{eqnarray}\)

---

　\(x=0\) のとき、

---

　\(\begin{eqnarray}~~~f(0)&=&2 \cdot 0^3+3 \cdot 0^2\\[3pt]~~~&=&0\end{eqnarray}\)

---

よって、\(f^{\prime}(x)\) の符号と \(f(x)\) の増減は、

---

　\(\begin{array}{c|ccccc}x & \cdots & -1 & \cdots & 0 & \cdots \\\hline f^{\prime}(x) & + & 0 & – & 0 & + \\\hline f(x) & \nearrow & 1 & \searrow & 0 & \nearrow\end{array}\)

---

これより、

---

　\(x=-1\) のとき、極大値 \(1\)
　\(x=0\) のとき、極小値 \(0\)

---

また、\(y=2x^3+3x^2\) のグラフは、点 \((-1~,~1)~,~\)\((0~,~0)\) を通り、\(y\) 切片が \(0\) より、

---

数研出版｜数学Ⅱ[709] p.211 練習13(2)

\(f(x)=-x^3+x^2+x\) とおき、\(f(x)\) を微分すると、

---

\(\begin{eqnarray}~~~f^{\prime}(x)&=&-(x^3)^{\prime}+(x^2)^{\prime}+(x)^{\prime}\\[3pt]~~~&=&-3x^2+2x+1\\[3pt]~~~&=&-(3x^2-2x-1)\\[3pt]~~~&=&-(3x+1)(x-1)\end{eqnarray}\)

---

\(f^{\prime}(x)=0\) となる \(x\) の値は、

---

\(\begin{eqnarray}~~~f^{\prime}(x)&=&-(3x+1)(x-1)=0\\[3pt]~~~&&x=-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}~,~1\end{eqnarray}\)

よって、この \(x\) の前後での\(f^{\prime}(x)\) の符号は、

---

　\(x \lt -\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\) のとき、\(f^{\prime}(x) \lt 0\)
　\(-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,} \lt x \lt 1\) のとき、\(f^{\prime}(x) \gt 0\)
　\(1 \lt x\) のとき、\(f^{\prime}(x) \lt 0\)

---

さらに、

---

　\(x=-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\) のとき、

---

---

　\(x=1\) のとき、

---

　\(\begin{eqnarray}~~~f(1)&=&-1^3+1^2+1\\[3pt]~~~&=&-1+1+1\\[3pt]~~~&=&1\end{eqnarray}\)

---

よって、\(f^{\prime}(x)\) の符号と \(f(x)\) の増減は、

---

　\(\begin{array}{c|ccccc}x & \cdots & -\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,} & \cdots & 1 & \cdots \\\hline f^{\prime}(x) & – & 0 & + & 0 & – \\\hline f(x) & \searrow & -\displaystyle \frac{\,5\,}{\,27\,} & \nearrow & 1 & \searrow\end{array}\)

---

これより、

---

　\(x=-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\) のとき、極小値 \(-\displaystyle \frac{\,5\,}{\,27\,}\)
　\(x=1\) のとき、極大値 \(1\)

---

また、\(y=-x^3+x^2+x\) のグラフは、点 \(\left(-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}~,~-\displaystyle \frac{\,5\,}{\,27\,}\right)~,~\)\((1~,~1)\) を通り、\(y\) 切片が \(0\) より、

---

数研出版｜数学Ⅱ[709] p.212 練習14(1)

\(f(x)=x^3+6x^2+12x+5\) とおき、\(f(x)\) を微分すると、

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\(\begin{eqnarray}~~~f^{\prime}(x)&=&(x^3)^{\prime}+6(x^2)^{\prime}+12 \cdot (x)^{\prime}\\[3pt]~~~&=&3x^2+12x+12\\[3pt]~~~&=&3(x^2+4x+4)\\[3pt]~~~&=&3(x+2)^2\end{eqnarray}\)

---

\(f^{\prime}(x)=0\) となる \(x\) の値は、

---

\(\begin{eqnarray}~~~f^{\prime}(x)&=&3(x+2)^2=0\\[3pt]~~~&&x=-2\end{eqnarray}\)

よって、この \(x\) の前後での\(f^{\prime}(x)\) の符号は、

---

\(x \neq -2\) で \(f^{\prime}(x) \gt 0\) で、\(f(x)\) は常に単調に増加する

---

さらに、\(x=-2\) のとき、

---

　\(\begin{eqnarray}~~~f(-2)&=&(-2)^3+6 \cdot (-2)^2+12 \cdot (-2)+5\\[3pt]~~~&=&-8+24-24+5\\[3pt]~~~&=&-3\end{eqnarray}\)

---

よって、\(f^{\prime}(x)\) の符号と \(f(x)\) の増減は、

---

　\(\begin{array}{c|ccc}x & \cdots & -2 & \cdots \\\hline f^{\prime}(x) & + & 0 & + \\\hline f(x) & \nearrow & -3 & \nearrow\end{array}\)

---

増減表より、\(x=-2\) の前後で \(f^{\prime}(x)\) の符号が変わらないので、\(f(-2)=-3\) は極値でない

---

また、\(y=x^3+6x^2+12x+5\) のグラフは、点 \((-2~,~-3)\) を通り、\(y\) 切片が \(5\) より、

---

数研出版｜数学Ⅱ[709] p.212 練習14(2)

\(f(x)=2-x^3\) とおき、\(f(x)\) を微分すると、

---

\(\begin{eqnarray}~~~f^{\prime}(x)&=&-(x^3)^{\prime}\\[3pt]~~~&=&-3x^2\end{eqnarray}\)

---

\(f^{\prime}(x)=0\) となる \(x\) の値は、

---

\(\begin{eqnarray}~~~f^{\prime}(x)&=&-3x^2=0\\[3pt]~~~&&x=0\end{eqnarray}\)

よって、この \(x\) の前後での\(f^{\prime}(x)\) の符号は、

---

\(x \neq 0\) で \(f^{\prime}(x) \lt 0\) で、\(f(x)\) は常に単調に減少する

---

さらに、\(x=0\) のとき、

---

　\(\begin{eqnarray}~~~f(0)&=&2-0^3\\[3pt]~~~&=&2\end{eqnarray}\)

---

よって、\(f^{\prime}(x)\) の符号と \(f(x)\) の増減は、

---

　\(\begin{array}{c|ccc}x & \cdots & 0 & \cdots \\\hline f^{\prime}(x) & – & 0 & – \\\hline f(x) & \searrow & 2 & \searrow\end{array}\)

---

増減表より、\(x=0\) の前後で \(f^{\prime}(x)\) の符号が変わらないので、\(f(0)=2\) は極値でない

---

また、\(y=2-x^3\) のグラフは、点 \((0~,~2)\) を通り、\(y\) 切片が \(2\) より、

---

数研出版｜数学Ⅱ[709] p.220 問題 8(1)

\(f(x)=x^3-27x\) とおき、\(f(x)\) を微分すると、

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\(\begin{eqnarray}~~~f^{\prime}(x)&=&(x^3)^{\prime}-27 \cdot (x)^{\prime}\\[3pt]~~~&=&3x^2-27\\[3pt]~~~&=&3(x^2-9)\\[3pt]~~~&=&3(x+3)(x-3)\end{eqnarray}\)

---

\(f^{\prime}(x)=0\) となる \(x\) の値は、

---

\(\begin{eqnarray}~~~f^{\prime}(x)&=&3(x+3)(x-3)=0\\[3pt]~~~&&x=-3~,~3\end{eqnarray}\)

よって、この \(x\) の前後での\(f^{\prime}(x)\) の符号は、

---

　\(x \lt -3\) のとき、\(f^{\prime}(x) \gt 0\)
　\(-3 \lt x \lt 3\) のとき、\(f^{\prime}(x) \lt 0\)
　\(3 \lt x\) のとき、\(f^{\prime}(x) \gt 0\)

---

さらに、

---

　\(x=-3\) のとき、

---

　\(\begin{eqnarray}~~~f(-3)&=&(-3)^3-27 \cdot (-3)\\[3pt]~~~&=&-27+81\\[3pt]~~~&=&54\end{eqnarray}\)

---

　\(x=3\) のとき、

---

　\(\begin{eqnarray}~~~f(3)&=&3^3-27 \cdot 3\\[3pt]~~~&=&27-81\\[3pt]~~~&=&-54\end{eqnarray}\)

---

よって、\(f^{\prime}(x)\) の符号と \(f(x)\) の増減は、

---

　\(\begin{array}{c|ccccc}x & \cdots & -3 & \cdots & 3 & \cdots \\\hline f^{\prime}(x) & + & 0 & – & 0 & + \\\hline f(x) & \nearrow & 54 & \searrow & -54 & \nearrow\end{array}\)

---

これより、

---

　\(x=-3\) のとき、極大値 \(54\)
　\(x=3\) のとき、極小値 \(-54\)

---

また、\(y=x^3-27x\) のグラフは、点 \((-3~,~54)~,~\)\((3~,~-54)\) を通り、\(y\) 切片が \(0\) より、

---

数研出版｜数学Ⅱ[709] p.220 問題 8(2)

\(f(x)=-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}x^3-2x\) とおき、\(f(x)\) を微分すると、

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\(\begin{eqnarray}~~~f^{\prime}(x)&=&-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}(x^3)^{\prime}-2 \cdot (x)^{\prime}\\[5pt]~~~&=&-x^2-2\\[3pt]~~~&=&-(x^2+2)\end{eqnarray}\)

---

ここで、\(x^2+2 \gt 0\) は常に成り立つので、

---

\(f^{\prime}(x)=-(x^2+2) \lt 0\) が常に成り立つ

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よって、\(f^{\prime}(x) \lt 0\) で、\(f(x)\) は常に単調に減少し、極値をもたない

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したがって、\(y=-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}x^3-2x\) のグラフは、\(y\) 切片が \(0\) より、

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数研出版｜高等学校数学Ⅱ[710] p.198 練習16(1)
数研出版｜新編数学Ⅱ[711] p.194 練習16(1)

\(f(x)=x^3-6x^2+9x\) とおき、\(f(x)\) を微分すると、

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\(\begin{eqnarray}~~~f^{\prime}(x)&=&(x^3)^{\prime}-6(x^2)^{\prime}+9 \cdot (x)^{\prime}\\[3pt]~~~&=&3x^2-12x+9\\[3pt]~~~&=&3(x^2-4x+3)\\[3pt]~~~&=&3(x-1)(x-3)\end{eqnarray}\)

---

\(f^{\prime}(x)=0\) となる \(x\) の値は、

---

\(\begin{eqnarray}~~~f^{\prime}(x)&=&3(x-1)(x-3)=0\\[3pt]~~~&&x=1~,~3\end{eqnarray}\)

よって、この \(x\) の前後での\(f^{\prime}(x)\) の符号は、

---

　\(x \lt 1\) のとき、\(f^{\prime}(x) \gt 0\)
　\(1 \lt x \lt 3\) のとき、\(f^{\prime}(x) \lt 0\)
　\(3 \lt x\) のとき、\(f^{\prime}(x) \gt 0\)

---

さらに、

---

　\(x=1\) のとき、

---

　\(\begin{eqnarray}~~~f(1)&=&1^3-6 \cdot 1^2+9 \cdot 1\\[3pt]~~~&=&1-6+9\\[3pt]~~~&=&4\end{eqnarray}\)

---

　\(x=3\) のとき、

---

　\(\begin{eqnarray}~~~f(3)&=&3^3-6 \cdot 3^2+9 \cdot 3\\[3pt]~~~&=&27-54+27\\[3pt]~~~&=&0\end{eqnarray}\)

---

よって、\(f^{\prime}(x)\) の符号と \(f(x)\) の増減は、

---

　\(\begin{array}{c|ccccc}x & \cdots & 1 & \cdots & 3 & \cdots \\\hline f^{\prime}(x) & + & 0 & – & 0 & + \\\hline f(x) & \nearrow & 4 & \searrow & 0 & \nearrow\end{array}\)

---

これより、

---

　\(x=1\) のとき、極大値 \(4\)
　\(x=3\) のとき、極小値 \(0\)

---

また、\(y=x^3-6x^2+9x\) のグラフは、点 \((1~,~4)~,~\)\((3~,~0)\) を通り、\(y\) 切片が \(0\) より、

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数研出版｜高等学校数学Ⅱ[710] p.198 練習16(2)
数研出版｜新編数学Ⅱ[711] p.194 練習16(2)

\(f(x)=-x^3+3x^2+1\) とおき、\(f(x)\) を微分すると、

---

\(\begin{eqnarray}~~~f^{\prime}(x)&=&-(x^3)^{\prime}+3(x^2)^{\prime}\\[3pt]~~~&=&-3x^2+6x\\[3pt]~~~&=&-3x(x-2)\end{eqnarray}\)

---

\(f^{\prime}(x)=0\) となる \(x\) の値は、

---

\(\begin{eqnarray}~~~f^{\prime}(x)&=&-3x(x-2)=0\\[3pt]~~~&&x=0~,~2\end{eqnarray}\)

よって、この \(x\) の前後での\(f^{\prime}(x)\) の符号は、

---

　\(x \lt 0\) のとき、\(f^{\prime}(x) \lt 0\)
　\(0 \lt x \lt 2\) のとき、\(f^{\prime}(x) \gt 0\)
　\(2 \lt x\) のとき、\(f^{\prime}(x) \lt 0\)

---

さらに、

---

　\(x=0\) のとき、

---

　\(\begin{eqnarray}~~~f(0)&=&-0^3+3 \cdot 0^2+1\\[3pt]~~~&=&1\end{eqnarray}\)

---

　\(x=2\) のとき、

---

　\(\begin{eqnarray}~~~f(2)&=&-2^3+3 \cdot 2^2+1\\[3pt]~~~&=&-8+12+1\\[3pt]~~~&=&5\end{eqnarray}\)

---

よって、\(f^{\prime}(x)\) の符号と \(f(x)\) の増減は、

---

　\(\begin{array}{c|ccccc}x & \cdots & 0 & \cdots & 2 & \cdots \\\hline f^{\prime}(x) & – & 0 & + & 0 & – \\\hline f(x) & \searrow & 1 & \nearrow & 5 & \searrow\end{array}\)

---

これより、

---

　\(x=0\) のとき、極小値 \(1\)
　\(x=2\) のとき、極大値 \(5\)

---

また、\(y=-x^3+3x^2+1\) のグラフは、点 \((0~,~1)~,~\)\((2~,~5)\) を通り、\(y\) 切片が \(1\) より、

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数研出版｜高等学校数学Ⅱ[710] p.198 練習17(1)
数研出版｜新編数学Ⅱ[711] p.194 練習17(1)

\(f(x)=-x^3\) を微分すると、

---

\(\begin{eqnarray}~~~f^{\prime}(x)&=&-(x^3)^{\prime}\\[3pt]~~~&=&-3x^2\end{eqnarray}\)

---

\(f^{\prime}(x)=0\) となる \(x\) の値は、

---

\(\begin{eqnarray}~~~f^{\prime}(x)&=&-3x^2=0\\[3pt]~~~&&x=0\end{eqnarray}\)

よって、この \(x\) の前後での\(f^{\prime}(x)\) の符号は、

---

\(x \neq 0\) で \(f^{\prime}(x) \lt 0\) で、\(f(x)\) は常に単調に減少する

---

さらに、\(x=0\) のとき、

---

　\(\begin{eqnarray}~~~f(0)&=&-0^3\\[3pt]~~~&=&0\end{eqnarray}\)

---

よって、\(f^{\prime}(x)\) の符号と \(f(x)\) の増減は、

---

　\(\begin{array}{c|ccc}x & \cdots & 0 & \cdots \\\hline f^{\prime}(x) & – & 0 & – \\\hline f(x) & \searrow & 0 & \searrow\end{array}\)

---

増減表より、\(x=0\) の前後で \(f^{\prime}(x)\) の符号が変わらないので、\(f(0)=0\) は極値でない

---

また、\(y=-x^3\) のグラフは、点 \((0~,~0)\) を通り、\(y\) 切片が \(0\) より、

---

数研出版｜高等学校数学Ⅱ[710] p.198 練習17(2)
数研出版｜新編数学Ⅱ[711] p.194 練習17(2)

\(f(x)=x^3+2x\) を微分すると、

---

\(\begin{eqnarray}~~~f^{\prime}(x)&=&(x^3)^{\prime}+2 \cdot (x)^{\prime}\\[3pt]~~~&=&3x^2+2\end{eqnarray}\)

---

ここで、\(3x^2+2 \gt 0\) は常に成り立つので、

---

\(f^{\prime}(x)=3x^2+2 \gt 0\) が常に成り立つ

---

よって、\(f^{\prime}(x) \gt 0\) で、\(f(x)\) は常に単調に増加し、極値をもたない

---

したがって、\(y=x^3+2x\) のグラフは、\(y\) 切片が \(0\) より、

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数研出版｜新編数学Ⅱ[711] p.194 練習16(3)

\(f(x)=2x^3+6x^2\) とおき、\(f(x)\) を微分すると、

---

\(\begin{eqnarray}~~~f^{\prime}(x)&=&2(x^3)^{\prime}+6(x^2)^{\prime}\\[3pt]~~~&=&6x^2+12x\\[3pt]~~~&=&6x(x+2)\end{eqnarray}\)

---

\(f^{\prime}(x)=0\) となる \(x\) の値は、

---

\(\begin{eqnarray}~~~f^{\prime}(x)&=&6x(x+2)=0\\[3pt]~~~&&x=-2~,~0\end{eqnarray}\)

よって、この \(x\) の前後での\(f^{\prime}(x)\) の符号は、

---

　\(x \lt -2\) のとき、\(f^{\prime}(x) \gt 0\)
　\(-2 \lt x \lt 0\) のとき、\(f^{\prime}(x) \lt 0\)
　\(0 \lt x\) のとき、\(f^{\prime}(x) \gt 0\)

---

さらに、

---

　\(x=-2\) のとき、

---

　\(\begin{eqnarray}~~~f(-2)&=&2 \cdot (-2)^3+6 \cdot (-2)^2\\[3pt]~~~&=&-16+24\\[3pt]~~~&=&8\end{eqnarray}\)

---

　\(x=0\) のとき、

---

　\(\begin{eqnarray}~~~f(0)&=&2 \cdot 0^3+6 \cdot 0^2\\[3pt]~~~&=&0\end{eqnarray}\)

---

よって、\(f^{\prime}(x)\) の符号と \(f(x)\) の増減は、

---

　\(\begin{array}{c|ccccc}x & \cdots & -2 & \cdots & 0 & \cdots \\\hline f^{\prime}(x) & + & 0 & – & 0 & + \\\hline f(x) & \nearrow & 8 & \searrow & 0 & \nearrow\end{array}\)

---

これより、

---

　\(x=-2\) のとき、極大値 \(8\)
　\(x=0\) のとき、極小値 \(0\)

---

また、\(y=2x^3+6x^2\) のグラフは、点 \((-2~,~8)~,~\)\((0~,~0)\) を通り、\(y\) 切片が \(0\) より、

---

数研出版｜新編数学Ⅱ[711] p.194 練習16(4)

\(f(x)=-x^3+x^2\) とおき、\(f(x)\) を微分すると、

---

\(\begin{eqnarray}~~~f^{\prime}(x)&=&-(x^3)^{\prime}+(x^2)^{\prime}\\[3pt]~~~&=&-3x^2+2x\\[3pt]~~~&=&-x(3x-2)\end{eqnarray}\)

---

\(f^{\prime}(x)=0\) となる \(x\) の値は、

---

\(\begin{eqnarray}~~~f^{\prime}(x)&=&-x(3x-2)=0\\[3pt]~~~&&x=0~,~\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\end{eqnarray}\)

よって、この \(x\) の前後での\(f^{\prime}(x)\) の符号は、

---

　\(x \lt 0\) のとき、\(f^{\prime}(x) \lt 0\)
　\(0 \lt x \lt \displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\) のとき、\(f^{\prime}(x) \gt 0\)
　\(\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,} \lt x\) のとき、\(f^{\prime}(x) \lt 0\)

---

さらに、

---

　\(x=0\) のとき、

---

　\(\begin{eqnarray}~~~f(0)&=&-0^3+0^2\\[3pt]~~~&=&0\end{eqnarray}\)

---

　\(x=\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\) のとき、

---

　\(\begin{eqnarray}~~~f\left(\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\right)&=&-\left(\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\right)^3+\left(\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\right)^2\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,8\,}{\,27\,}+\displaystyle \frac{\,4\,}{\,9\,}\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,8\,}{\,27\,}+\displaystyle \frac{\,12\,}{\,27\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,4\,}{\,27\,}\end{eqnarray}\)

---

よって、\(f^{\prime}(x)\) の符号と \(f(x)\) の増減は、

---

　\(\begin{array}{c|ccccc}x & \cdots & 0 & \cdots & \displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,} & \cdots \\\hline f^{\prime}(x) & – & 0 & + & 0 & – \\\hline f(x) & \searrow & 0 & \nearrow & \displaystyle \frac{\,4\,}{\,27\,} & \searrow\end{array}\)

---

これより、

---

　\(x=0\) のとき、極小値 \(0\)
　\(x=\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\) のとき、極大値 \(\displaystyle \frac{\,4\,}{\,27\,}\)

---

また、\(y=-x^3+x^2\) のグラフは、点 \((0~,~0)~,~\)\(\left(\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}~,~\displaystyle \frac{\,4\,}{\,27\,}\right)\) を通り、\(y\) 切片が \(0\) より、

---

東京書籍｜Advanced数学Ⅱ[701] p.209 問6(1)

\(f(x)=x^3-6x\) とおき、\(f(x)\) を微分すると、

---

\(\begin{eqnarray}~~~f^{\prime}(x)&=&(x^3)^{\prime}-6 \cdot (x)^{\prime}\\[3pt]~~~&=&3x^2-6\\[3pt]~~~&=&3(x^2-2)\\[3pt]~~~&=&3(x+\sqrt{2})(x-\sqrt{2})\end{eqnarray}\)

---

\(f^{\prime}(x)=0\) となる \(x\) の値は、

---

\(\begin{eqnarray}~~~f^{\prime}(x)&=&3(x+\sqrt{2})(x-\sqrt{2})=0\\[3pt]~~~&&x=-\sqrt{2}~,~\sqrt{2}\end{eqnarray}\)

よって、この \(x\) の前後での\(f^{\prime}(x)\) の符号は、

---

　\(x \lt -\sqrt{2}\) のとき、\(f^{\prime}(x) \gt 0\)
　\(-\sqrt{2} \lt x \lt \sqrt{2}\) のとき、\(f^{\prime}(x) \lt 0\)
　\(\sqrt{2} \lt x\) のとき、\(f^{\prime}(x) \gt 0\)

---

さらに、

---

　\(x=-\sqrt{2}\) のとき、

---

　\(\begin{eqnarray}~~~f(-\sqrt{2})&=&(-\sqrt{2})^3-6 \cdot (-\sqrt{2})\\[3pt]~~~&=&-2\sqrt{2}+6\sqrt{2}\\[3pt]~~~&=&4\sqrt{2}\end{eqnarray}\)

---

　\(x=\sqrt{2}\) のとき、

---

　\(\begin{eqnarray}~~~f(\sqrt{2})&=&(\sqrt{2})^3-6 \cdot \sqrt{2}\\[3pt]~~~&=&2\sqrt{2}-6\sqrt{2}\\[3pt]~~~&=&-4\sqrt{2}\end{eqnarray}\)

---

よって、\(f^{\prime}(x)\) の符号と \(f(x)\) の増減は、

---

　\(\begin{array}{c|ccccc}x & \cdots & -\sqrt{2} & \cdots & \sqrt{2} & \cdots \\\hline f^{\prime}(x) & + & 0 & – & 0 & + \\\hline f(x) & \nearrow & 4\sqrt{2} & \searrow & -4\sqrt{2} & \nearrow\end{array}\)

---

これより、

---

　\(x=-\sqrt{2}\) のとき、極大値 \(4\sqrt{2}\)
　\(x=\sqrt{2}\) のとき、極小値 \(-4\sqrt{2}\)

---

また、\(y=x^3-6x\) のグラフは、点 \((-\sqrt{2}~,~4\sqrt{2})~,~\)\((\sqrt{2}~,~-4\sqrt{2})\) を通り、\(y\) 切片が \(0\) より、

---

東京書籍｜Advanced数学Ⅱ[701] p.209 問6(2)

\(f(x)=-2x^3+3x^2+4\) とおき、\(f(x)\) を微分すると、

---

\(\begin{eqnarray}~~~f^{\prime}(x)&=&-2(x^3)^{\prime}+3(x^2)^{\prime}\\[3pt]~~~&=&-6x^2+6x\\[3pt]~~~&=&-6x(x-1)\end{eqnarray}\)

---

\(f^{\prime}(x)=0\) となる \(x\) の値は、

---

\(\begin{eqnarray}~~~f^{\prime}(x)&=&-6x(x-1)=0\\[3pt]~~~&&x=0~,~1\end{eqnarray}\)

よって、この \(x\) の前後での\(f^{\prime}(x)\) の符号は、

---

　\(x \lt 0\) のとき、\(f^{\prime}(x) \lt 0\)
　\(0 \lt x \lt 1\) のとき、\(f^{\prime}(x) \gt 0\)
　\(1 \lt x\) のとき、\(f^{\prime}(x) \lt 0\)

---

さらに、

---

　\(x=0\) のとき、

---

　\(\begin{eqnarray}~~~f(0)&=&-2 \cdot 0^3+3 \cdot 0^2+4\\[3pt]~~~&=&4\end{eqnarray}\)

---

　\(x=1\) のとき、

---

　\(\begin{eqnarray}~~~f(1)&=&-2 \cdot 1^3+3 \cdot 1^2+4\\[3pt]~~~&=&-2+3+4\\[3pt]~~~&=&5\end{eqnarray}\)

---

よって、\(f^{\prime}(x)\) の符号と \(f(x)\) の増減は、

---

　\(\begin{array}{c|ccccc}x & \cdots & 0 & \cdots & 1 & \cdots \\\hline f^{\prime}(x) & – & 0 & + & 0 & – \\\hline f(x) & \searrow & 4 & \nearrow & 5 & \searrow\end{array}\)

---

これより、

---

　\(x=0\) のとき、極小値 \(4\)
　\(x=1\) のとき、極大値 \(5\)

---

また、\(y=-2x^3+3x^2+4\) のグラフは、点 \((0~,~4)~,~\)\((1~,~5)\) を通り、\(y\) 切片が \(4\) より、

---

東京書籍｜Advanced数学Ⅱ[701] p.210 問7
東京書籍｜Standard数学Ⅱ[702] p.218 問15(1)

\(f(x)=x^3-3x^2+3x\) を微分すると、

---

\(\begin{eqnarray}~~~f^{\prime}(x)&=&(x^3)^{\prime}-3(x^2)^{\prime}+3 \cdot (x)^{\prime}\\[3pt]~~~&=&3x^2-3 \cdot 2x+3 \cdot 1\\[3pt]~~~&=&3x^2-6x+3\\[3pt]~~~&=&3(x^2-2x+1)\\[3pt]~~~&=&3(x-1)^2\end{eqnarray}\)

---

\(f^{\prime}(x)=0\) となる \(x\) の値は、

---

\(\begin{eqnarray}~~~f^{\prime}(x)&=&3(x-1)^2=0\\[3pt]~~~&&x=1\end{eqnarray}\)

よって、この \(x\) の前後での\(f^{\prime}(x)\) の符号は、

---

\(x \neq 1\) で \(f^{\prime}(x) \gt 0\) で、\(f(x)\) は常に単調に増加する

---

さらに、\(x=1\) のとき、

---

　\(\begin{eqnarray}~~~f(1)&=&1^3-3 \cdot 1^2+3 \cdot 1\\[3pt]~~~&=&1-3+3\\[3pt]~~~&=&1\end{eqnarray}\)

---

よって、\(f^{\prime}(x)\) の符号と \(f(x)\) の増減は、

---

　\(\begin{array}{c|ccc}x & \cdots & 1 & \cdots \\\hline f^{\prime}(x) & + & 0 & + \\\hline f(x) & \nearrow & 1 & \nearrow\end{array}\)

---

増減表より、\(x=1\) の前後で \(f^{\prime}(x)\) の符号が変わらないので、\(f(1)=1\) は極値でない

---

また、\(y=x^3-3x^2+3x\) のグラフは、点 \((1~,~1)\) を通り、\(y\) 切片が \(0\) より、

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東京書籍｜Standard数学Ⅱ[702] p.217 問13(1)

\(f(x)=2x^3-6x+1\) とおき、\(f(x)\) を微分すると、

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\(\begin{eqnarray}~~~f^{\prime}(x)&=&2(x^3)^{\prime}-6 \cdot (x)^{\prime}\\[3pt]~~~&=&6x^2-6\\[3pt]~~~&=&6(x^2-1)\\[3pt]~~~&=&6(x+1)(x-1)\end{eqnarray}\)

---

\(f^{\prime}(x)=0\) となる \(x\) の値は、

---

\(\begin{eqnarray}~~~f^{\prime}(x)&=&6(x+1)(x-1)=0\\[3pt]~~~&&x=-1~,~1\end{eqnarray}\)

よって、この \(x\) の前後での\(f^{\prime}(x)\) の符号は、

---

　\(x \lt -1\) のとき、\(f^{\prime}(x) \gt 0\)
　\(-1 \lt x \lt 1\) のとき、\(f^{\prime}(x) \lt 0\)
　\(1 \lt x\) のとき、\(f^{\prime}(x) \gt 0\)

---

さらに、

---

　\(x=-1\) のとき、

---

　\(\begin{eqnarray}~~~f(-1)&=&2 \cdot (-1)^3-6 \cdot (-1)+1\\[3pt]~~~&=&-2+6+1\\[3pt]~~~&=&5\end{eqnarray}\)

---

　\(x=1\) のとき、

---

　\(\begin{eqnarray}~~~f(1)&=&2 \cdot 1^3-6 \cdot 1+1\\[3pt]~~~&=&2-6+1\\[3pt]~~~&=&-3\end{eqnarray}\)

---

よって、\(f^{\prime}(x)\) の符号と \(f(x)\) の増減は、

---

　\(\begin{array}{c|ccccc}x & \cdots & -1 & \cdots & 1 & \cdots \\\hline f^{\prime}(x) & + & 0 & – & 0 & + \\\hline f(x) & \nearrow & 5 & \searrow & -3 & \nearrow\end{array}\)

---

これより、

---

　\(x=-1\) のとき、極大値 \(5\)
　\(x=1\) のとき、極小値 \(-3\)

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また、\(y=2x^3-6x+1\) のグラフは、点 \((-1~,~5)~,~\)\((1~,~-3)\) を通り、\(y\) 切片が \(1\) より、

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東京書籍｜Standard数学Ⅱ[702] p.217 問13(2)

\(f(x)=-x^3-3x^2+9x+5\) とおき、\(f(x)\) を微分すると、

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\(\begin{eqnarray}~~~f^{\prime}(x)&=&-(x^3)^{\prime}-3(x^2)^{\prime}+9 \cdot (x)^{\prime}\\[3pt]~~~&=&-3x^2-6x+9\\[3pt]~~~&=&-3(x^2+2x-3)\\[3pt]~~~&=&-3(x+3)(x-1)\end{eqnarray}\)

---

\(f^{\prime}(x)=0\) となる \(x\) の値は、

---

\(\begin{eqnarray}~~~f^{\prime}(x)&=&-3(x+3)(x-1)=0\\[3pt]~~~&&x=-3~,~1\end{eqnarray}\)

よって、この \(x\) の前後での\(f^{\prime}(x)\) の符号は、

---

　\(x \lt -3\) のとき、\(f^{\prime}(x) \lt 0\)
　\(-3 \lt x \lt 1\) のとき、\(f^{\prime}(x) \gt 0\)
　\(1 \lt x\) のとき、\(f^{\prime}(x) \lt 0\)

---

さらに、

---

　\(x=-3\) のとき、

---

　\(\begin{eqnarray}~~~f(-3)&=&-(-3)^3-3 \cdot (-3)^2+9 \cdot (-3)+5\\[3pt]~~~&=&27-27-27+5\\[3pt]~~~&=&-22\end{eqnarray}\)

---

　\(x=1\) のとき、

---

　\(\begin{eqnarray}~~~f(1)&=&-1^3-3 \cdot 1^2+9 \cdot 1+5\\[3pt]~~~&=&-1-3+9+5\\[3pt]~~~&=&10\end{eqnarray}\)

---

よって、\(f^{\prime}(x)\) の符号と \(f(x)\) の増減は、

---

　\(\begin{array}{c|ccccc}x & \cdots & -3 & \cdots & 1 & \cdots \\\hline f^{\prime}(x) & – & 0 & + & 0 & – \\\hline f(x) & \searrow & -22 & \nearrow & 10 & \searrow\end{array}\)

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これより、

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　\(x=-3\) のとき、極小値 \(-22\)
　\(x=1\) のとき、極大値 \(10\)

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また、\(y=-x^3-3x^2+9x+5\) のグラフは、点 \((-3~,~-22)~,~\)\((1~,~10)\) を通り、\(y\) 切片が \(5\) より、

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東京書籍｜Standard数学Ⅱ[702] p.218 問15(2)

\(f(x)=x^3+x\) を微分すると、

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\(\begin{eqnarray}~~~f^{\prime}(x)&=&(x^3)^{\prime}+(x)^{\prime}\\[3pt]~~~&=&3x^2+1\end{eqnarray}\)

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ここで、\(3x^2+1 \gt 0\) は常に成り立つので、

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\(f^{\prime}(x)=3x^2+1 \gt 0\) が常に成り立つ

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よって、\(f^{\prime}(x) \gt 0\) で、\(f(x)\) は常に単調に増加し、極値をもたない

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したがって、\(y=x^3+x\) のグラフは、\(y\) 切片が \(0\) より、

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東京書籍｜Standard数学Ⅱ[702] p.226 Training 10(1)

\(f(x)=x^2(2x-3)=2x^3-3x^2\) とおき、\(f(x)\) を微分すると、

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\(\begin{eqnarray}~~~f^{\prime}(x)&=&2(x^3)^{\prime}-3(x^2)^{\prime}\\[3pt]~~~&=&6x^2-6x\\[3pt]~~~&=&6x(x-1)\end{eqnarray}\)

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\(f^{\prime}(x)=0\) となる \(x\) の値は、

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\(\begin{eqnarray}~~~f^{\prime}(x)&=&6x(x-1)=0\\[3pt]~~~&&x=0~,~1\end{eqnarray}\)

よって、この \(x\) の前後での\(f^{\prime}(x)\) の符号は、

---

　\(x \lt 0\) のとき、\(f^{\prime}(x) \gt 0\)
　\(0 \lt x \lt 1\) のとき、\(f^{\prime}(x) \lt 0\)
　\(1 \lt x\) のとき、\(f^{\prime}(x) \gt 0\)

---

さらに、

---

　\(x=0\) のとき、

---

　\(\begin{eqnarray}~~~f(0)&=&2 \cdot 0^3-3 \cdot 0^2\\[3pt]~~~&=&0\end{eqnarray}\)

---

　\(x=1\) のとき、

---

　\(\begin{eqnarray}~~~f(1)&=&2 \cdot 1^3-3 \cdot 1^2\\[3pt]~~~&=&2-3\\[3pt]~~~&=&-1\end{eqnarray}\)

---

よって、\(f^{\prime}(x)\) の符号と \(f(x)\) の増減は、

---

　\(\begin{array}{c|ccccc}x & \cdots & 0 & \cdots & 1 & \cdots \\\hline f^{\prime}(x) & + & 0 & – & 0 & + \\\hline f(x) & \nearrow & 0 & \searrow & -1 & \nearrow\end{array}\)

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これより、

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　\(x=0\) のとき、極大値 \(0\)
　\(x=1\) のとき、極小値 \(-1\)

---

また、\(y=2x^3-3x^2\) のグラフは、点 \((0~,~0)~,~\)\((1~,~-1)\) を通り、\(y\) 切片が \(0\) より、

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東京書籍｜Standard数学Ⅱ[702] p.226 Training 10(2)

\(f(x)=-2x^3+x^2+1\) とおき、\(f(x)\) を微分すると、

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\(\begin{eqnarray}~~~f^{\prime}(x)&=&-2(x^3)^{\prime}+(x^2)^{\prime}\\[3pt]~~~&=&-6x^2+2x\\[3pt]~~~&=&-2x(3x-1)\end{eqnarray}\)

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\(f^{\prime}(x)=0\) となる \(x\) の値は、

---

\(\begin{eqnarray}~~~f^{\prime}(x)&=&-2x(3x-1)=0\\[3pt]~~~&&x=0~,~\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\end{eqnarray}\)

よって、この \(x\) の前後での\(f^{\prime}(x)\) の符号は、

---

　\(x \lt 0\) のとき、\(f^{\prime}(x) \lt 0\)
　\(0 \lt x \lt \displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\) のとき、\(f^{\prime}(x) \gt 0\)
　\(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,} \lt x\) のとき、\(f^{\prime}(x) \lt 0\)

---

さらに、

---

　\(x=0\) のとき、

---

　\(\begin{eqnarray}~~~f(0)&=&-2 \cdot 0^3+0^2+1\\[3pt]~~~&=&1\end{eqnarray}\)

---

　\(x=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\) のとき、

---

---

よって、\(f^{\prime}(x)\) の符号と \(f(x)\) の増減は、

---

　\(\begin{array}{c|ccccc}x & \cdots & 0 & \cdots & \displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,} & \cdots \\\hline f^{\prime}(x) & – & 0 & + & 0 & – \\\hline f(x) & \searrow & 1 & \nearrow & \displaystyle \frac{\,28\,}{\,27\,} & \searrow\end{array}\)

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これより、

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　\(x=0\) のとき、極小値 \(1\)
　\(x=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\) のとき、極大値 \(\displaystyle \frac{\,28\,}{\,27\,}\)

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また、\(y=-2x^3+x^2+1\) のグラフは、点 \((0~,~1)~,~\)\(\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}~,~\displaystyle \frac{\,28\,}{\,27\,}\right)\) を通り、\(y\) 切片が \(1\) より、

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