導関数と4次関数のグラフ

数研出版｜数学Ⅱ[709] p.213 練習15(1)
数研出版｜高等学校数学Ⅱ[710] p.199 練習18(1)
数研出版｜新編数学Ⅱ[711] p.196 研究 練習2(1)

\(f(x)=3x^4+4x^3-12x^2+5\) とおき、\(f(x)\) を微分すると、

---

\(\begin{eqnarray}~~~f^{\prime}(x)&=&3 \cdot (x^4)^{\prime}+4 \cdot (x^3)^{\prime}-12 \cdot (x^2)^{\prime}\\[3pt]~~~&=&3 \cdot 4x^3+4 \cdot 3x^2-12 \cdot 2x\\[3pt]~~~&=&12x^3+12x^2-24x\\[3pt]~~~&=&12x(x^2+x-2)\\[3pt]~~~&=&12x(x+2)(x-1)\end{eqnarray}\)

---

\(f^{\prime}(x)=0\) となる \(x\) の値は、

---

\(\begin{eqnarray}~~~f^{\prime}(x)&=&12x(x+2)(x-1)=0\\[3pt]~~~&&x=-2~,~0~,~1\end{eqnarray}\)

よって、この \(x\) の前後での \(f^{\prime}(x)\) の符号は、

---

　\(x \lt -2\) のとき、\(f^{\prime}(x) \lt 0\)
　\(-2 \lt x \lt 0\) のとき、\(f^{\prime}(x) \gt 0\)
　\(0 \lt x \lt 1\) のとき、\(f^{\prime}(x) \lt 0\)
　\(1 \lt x\) のとき、\(f^{\prime}(x) \gt 0\)

---

さらに、

---

　\(x=-2\) のとき、

---

---

　\(x=0\) のとき、

---

　\(\begin{eqnarray}~~~f(0)&=&3 \cdot 0^4+4 \cdot 0^3-12 \cdot 0^2+5\\[3pt]~~~&=&5\end{eqnarray}\)

---

　\(x=1\) のとき、

---

　\(\begin{eqnarray}~~~f(1)&=&3 \cdot 1^4+4 \cdot 1^3-12 \cdot 1^2+5\\[3pt]~~~&=&3+4-12+5\\[3pt]~~~&=&0\end{eqnarray}\)

---

よって、\(f^{\prime}(x)\) の符号と \(f(x)\) の増減は、

---

　\(\begin{array}{c|ccccccc}x & \cdots & -2 & \cdots & 0 & \cdots & 1 & \cdots \\\hline f^{\prime}(x) & – & 0 & + & 0 & – & 0 & + \\\hline f(x) & \searrow & -27 & \nearrow & 5 & \searrow & 0 & \nearrow\end{array}\)

---

これより、

---

　\(x=-2\) のとき、極小値 \(-27\)
　\(x=0\) のとき、極大値 \(5\)
　\(x=1\) のとき、極小値 \(0\)

---

また、点 \((-2~,~-27)~,~\)\((0~,~5)~,~\)\((1~,~0)\) を通るので、\(y=3x^4+4x^3-12x^2+5\) のグラフは、

---

数研出版｜数学Ⅱ[709] p.213 練習15(2)

\(f(x)=x^4-8x^2+16\) とおき、\(f(x)\) を微分すると、

---

\(\begin{eqnarray}~~~f^{\prime}(x)&=&(x^4)^{\prime}-8 \cdot (x^2)^{\prime}\\[3pt]~~~&=&4x^3-8 \cdot 2x\\[3pt]~~~&=&4x^3-16x\\[3pt]~~~&=&4x(x^2-4)\\[3pt]~~~&=&4x(x+2)(x-2)\end{eqnarray}\)

---

\(f^{\prime}(x)=0\) となる \(x\) の値は、

---

\(\begin{eqnarray}~~~f^{\prime}(x)&=&4x(x+2)(x-2)=0\\[3pt]~~~&&x=-2~,~0~,~2\end{eqnarray}\)

よって、この \(x\) の前後での \(f^{\prime}(x)\) の符号は、

---

　\(x \lt -2\) のとき、\(f^{\prime}(x) \lt 0\)
　\(-2 \lt x \lt 0\) のとき、\(f^{\prime}(x) \gt 0\)
　\(0 \lt x \lt 2\) のとき、\(f^{\prime}(x) \lt 0\)
　\(2 \lt x\) のとき、\(f^{\prime}(x) \gt 0\)

---

さらに、

---

　\(x=-2\) のとき、

---

　\(\begin{eqnarray}~~~f(-2)&=&(-2)^4-8 \cdot (-2)^2+16\\[3pt]~~~&=&16-8 \cdot 4+16\\[3pt]~~~&=&16-32+16\\[3pt]~~~&=&0\end{eqnarray}\)

---

　\(x=0\) のとき、

---

　\(\begin{eqnarray}~~~f(0)&=&0^4-8 \cdot 0^2+16\\[3pt]~~~&=&16\end{eqnarray}\)

---

　\(x=2\) のとき、

---

　\(\begin{eqnarray}~~~f(2)&=&2^4-8 \cdot 2^2+16\\[3pt]~~~&=&16-8 \cdot 4+16\\[3pt]~~~&=&16-32+16\\[3pt]~~~&=&0\end{eqnarray}\)

---

よって、\(f^{\prime}(x)\) の符号と \(f(x)\) の増減は、

---

　\(\begin{array}{c|ccccccc}x & \cdots & -2 & \cdots & 0 & \cdots & 2 & \cdots \\\hline f^{\prime}(x) & – & 0 & + & 0 & – & 0 & + \\\hline f(x) & \searrow & 0 & \nearrow & 16 & \searrow & 0 & \nearrow\end{array}\)

---

これより、

---

　\(x=-2\) のとき、極小値 \(0\)
　\(x=0\) のとき、極大値 \(16\)
　\(x=2\) のとき、極小値 \(0\)

---

また、点 \((-2~,~0)~,~\)\((0~,~16)~,~\)\((2~,~0)\) を通るので、\(y=x^4-8x^2+16\) のグラフは、

---

数研出版｜数学Ⅱ[709] p.213 練習15(3)

\(f(x)=-x^4+4x^3-4x^2+2\) とおき、\(f(x)\) を微分すると、

---

\(\begin{eqnarray}~~~f^{\prime}(x)&=&-(x^4)^{\prime}+4 \cdot (x^3)^{\prime}-4 \cdot (x^2)^{\prime}\\[3pt]~~~&=&-4x^3+4 \cdot 3x^2-4 \cdot 2x\\[3pt]~~~&=&-4x^3+12x^2-8x\\[3pt]~~~&=&-4x(x^2-3x+2)\\[3pt]~~~&=&-4x(x-1)(x-2)\end{eqnarray}\)

---

\(f^{\prime}(x)=0\) となる \(x\) の値は、

---

\(\begin{eqnarray}~~~f^{\prime}(x)&=&-4x(x-1)(x-2)=0\\[3pt]~~~&&x=0~,~1~,~2\end{eqnarray}\)

よって、この \(x\) の前後での \(f^{\prime}(x)\) の符号は、

---

　\(x \lt 0\) のとき、\(f^{\prime}(x) \gt 0\)
　\(0 \lt x \lt 1\) のとき、\(f^{\prime}(x) \lt 0\)
　\(1 \lt x \lt 2\) のとき、\(f^{\prime}(x) \gt 0\)
　\(2 \lt x\) のとき、\(f^{\prime}(x) \lt 0\)

---

さらに、

---

　\(x=0\) のとき、

---

　\(\begin{eqnarray}~~~f(0)&=&-0^4+4 \cdot 0^3-4 \cdot 0^2+2\\[3pt]~~~&=&2\end{eqnarray}\)

---

　\(x=1\) のとき、

---

　\(\begin{eqnarray}~~~f(1)&=&-1^4+4 \cdot 1^3-4 \cdot 1^2+2\\[3pt]~~~&=&-1+4-4+2\\[3pt]~~~&=&1\end{eqnarray}\)

---

　\(x=2\) のとき、

---

　\(\begin{eqnarray}~~~f(2)&=&-2^4+4 \cdot 2^3-4 \cdot 2^2+2\\[3pt]~~~&=&-16+32-16+2\\[3pt]~~~&=&2\end{eqnarray}\)

---

よって、\(f^{\prime}(x)\) の符号と \(f(x)\) の増減は、

---

　\(\begin{array}{c|ccccccc}x & \cdots & 0 & \cdots & 1 & \cdots & 2 & \cdots \\\hline f^{\prime}(x) & + & 0 & – & 0 & + & 0 & – \\\hline f(x) & \nearrow & 2 & \searrow & 1 & \nearrow & 2 & \searrow\end{array}\)

---

これより、

---

　\(x=0\) のとき、極大値 \(2\)
　\(x=1\) のとき、極小値 \(1\)
　\(x=2\) のとき、極大値 \(2\)

---

また、点 \((0~,~2)~,~\)\((1~,~1)~,~\)\((2~,~2)\) を通るので、\(y=-x^4+4x^3-4x^2+2\) のグラフは、

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数研出版｜数学Ⅱ[709] p.213 練習15(4)

\(f(x)=x^4+2x^3+1\) とおき、\(f(x)\) を微分すると、

---

\(\begin{eqnarray}~~~f^{\prime}(x)&=&(x^4)^{\prime}+2 \cdot (x^3)^{\prime}\\[3pt]~~~&=&4x^3+2 \cdot 3x^2\\[3pt]~~~&=&4x^3+6x^2\\[3pt]~~~&=&2x^2(2x+3)\end{eqnarray}\)

---

\(f^{\prime}(x)=0\) となる \(x\) の値は、

---

\(\begin{eqnarray}~~~f^{\prime}(x)&=&2x^2(2x+3)=0\\[3pt]~~~&&x=-\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}~,~0\end{eqnarray}\)

よって、この \(x\) の前後での \(f^{\prime}(x)\) の符号は、

---

　\(x \lt -\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}\) のとき、\(f^{\prime}(x) \lt 0\)
　\(-\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,} \lt x \lt 0\) のとき、\(f^{\prime}(x) \gt 0\)
　\(0 \lt x\) のとき、\(f^{\prime}(x) \gt 0\)

---

さらに、

---

　\(x=-\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}\) のとき、

---

　\(\begin{eqnarray}~~~f\left(-\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}\right)&=&\left(-\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}\right)^4+2 \cdot \left(-\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}\right)^3+1\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,81\,}{\,16\,}+2 \cdot \left(-\displaystyle \frac{\,27\,}{\,8\,}\right)+1\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,81\,}{\,16\,}-\displaystyle \frac{\,54\,}{\,8\,}+1\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,81\,}{\,16\,}-\displaystyle \frac{\,108\,}{\,16\,}+\displaystyle \frac{\,16\,}{\,16\,}\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,11\,}{\,16\,}\end{eqnarray}\)

---

　\(x=0\) のとき、

---

　\(\begin{eqnarray}~~~f(0)&=&0^4+2 \cdot 0^3+1\\[3pt]~~~&=&1\end{eqnarray}\)

---

よって、\(f^{\prime}(x)\) の符号と \(f(x)\) の増減は、

---

　\(\begin{array}{c|ccccc}x & \cdots & -\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,} & \cdots & 0 & \cdots \\\hline f^{\prime}(x) & – & 0 & + & 0 & + \\\hline f(x) & \searrow & -\displaystyle \frac{\,11\,}{\,16\,} & \nearrow & 1 & \nearrow\end{array}\)

---

増減表より、\(x=-\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}\) のとき、極小値 \(-\displaystyle \frac{\,11\,}{\,16\,}\)

---

また、点 \(\left(-\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}~,~-\displaystyle \frac{\,11\,}{\,16\,}\right)~,~\)\((0~,~1)\) を通るので、\(y=x^4+2x^3+1\) のグラフは、

---

数研出版｜数学Ⅱ[709] p.220 問題 8(3)

\(f(x)=-x^4-\displaystyle \frac{\,4\,}{\,3\,}x^3+4x^2\) とおき、\(f(x)\) を微分すると、

---

\(\begin{eqnarray}~~~f^{\prime}(x)&=&-(x^4)^{\prime}-\displaystyle \frac{\,4\,}{\,3\,} \cdot (x^3)^{\prime}+4 \cdot (x^2)^{\prime}\\[5pt]~~~&=&-4x^3-\displaystyle \frac{\,4\,}{\,3\,} \cdot 3x^2+4 \cdot 2x\\[5pt]~~~&=&-4x^3-4x^2+8x\\[3pt]~~~&=&-4x(x^2+x-2)\\[3pt]~~~&=&-4x(x+2)(x-1)\end{eqnarray}\)

---

\(f^{\prime}(x)=0\) となる \(x\) の値は、

---

\(\begin{eqnarray}~~~f^{\prime}(x)&=&-4x(x+2)(x-1)=0\\[3pt]~~~&&x=-2~,~0~,~1\end{eqnarray}\)

よって、この \(x\) の前後での \(f^{\prime}(x)\) の符号は、

---

　\(x \lt -2\) のとき、\(f^{\prime}(x) \gt 0\)
　\(-2 \lt x \lt 0\) のとき、\(f^{\prime}(x) \lt 0\)
　\(0 \lt x \lt 1\) のとき、\(f^{\prime}(x) \gt 0\)
　\(1 \lt x\) のとき、\(f^{\prime}(x) \lt 0\)

---

さらに、

---

　\(x=-2\) のとき、

---

　\(\begin{eqnarray}~~~f(-2)&=&-(-2)^4-\displaystyle \frac{\,4\,}{\,3\,} \cdot (-2)^3+4 \cdot (-2)^2\\[5pt]~~~&=&-16-\displaystyle \frac{\,4\,}{\,3\,} \cdot (-8)+4 \cdot 4\\[5pt]~~~&=&-16+\displaystyle \frac{\,32\,}{\,3\,}+16\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,32\,}{\,3\,}\end{eqnarray}\)

---

　\(x=0\) のとき、

---

　\(\begin{eqnarray}~~~f(0)&=&-0^4-\displaystyle \frac{\,4\,}{\,3\,} \cdot 0^3+4 \cdot 0^2\\[5pt]~~~&=&0\end{eqnarray}\)

---

　\(x=1\) のとき、

---

　\(\begin{eqnarray}~~~f(1)&=&-1^4-\displaystyle \frac{\,4\,}{\,3\,} \cdot 1^3+4 \cdot 1^2\\[5pt]~~~&=&-1-\displaystyle \frac{\,4\,}{\,3\,}+4\\[5pt]~~~&=&3-\displaystyle \frac{\,4\,}{\,3\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,5\,}{\,3\,}\end{eqnarray}\)

---

よって、\(f^{\prime}(x)\) の符号と \(f(x)\) の増減は、

---

　\(\begin{array}{c|ccccccc}x & \cdots & -2 & \cdots & 0 & \cdots & 1 & \cdots \\\hline f^{\prime}(x) & + & 0 & – & 0 & + & 0 & – \\\hline f(x) & \nearrow & \displaystyle \frac{\,32\,}{\,3\,} & \searrow & 0 & \nearrow & \displaystyle \frac{\,5\,}{\,3\,} & \searrow\end{array}\)

---

これより、

---

　\(x=-2\) のとき、極大値 \(\displaystyle \frac{\,32\,}{\,3\,}\)
　\(x=0\) のとき、極小値 \(0\)
　\(x=1\) のとき、極大値 \(\displaystyle \frac{\,5\,}{\,3\,}\)

---

また、点 \(\left(-2~,~\displaystyle \frac{\,32\,}{\,3\,}\right)~,~\)\((0~,~0)~,~\)\(\left(1~,~\displaystyle \frac{\,5\,}{\,3\,}\right)\) を通るので、\(y=-x^4-\displaystyle \frac{\,4\,}{\,3\,}x^3+4x^2\) のグラフは、

---

数研出版｜高等学校数学Ⅱ[710] p.199 練習18(2)
数研出版｜新編数学Ⅱ[711] p.196 研究 練習2(2)

\(f(x)=x^4-8x^2+2\) とおき、\(f(x)\) を微分すると、

---

\(\begin{eqnarray}~~~f^{\prime}(x)&=&(x^4)^{\prime}-8 \cdot (x^2)^{\prime}\\[3pt]~~~&=&4x^3-8 \cdot 2x\\[3pt]~~~&=&4x^3-16x\\[3pt]~~~&=&4x(x^2-4)\\[3pt]~~~&=&4x(x+2)(x-2)\end{eqnarray}\)

---

\(f^{\prime}(x)=0\) となる \(x\) の値は、

---

\(\begin{eqnarray}~~~f^{\prime}(x)&=&4x(x+2)(x-2)=0\\[3pt]~~~&&x=-2~,~0~,~2\end{eqnarray}\)

よって、この \(x\) の前後での \(f^{\prime}(x)\) の符号は、

---

　\(x \lt -2\) のとき、\(f^{\prime}(x) \lt 0\)
　\(-2 \lt x \lt 0\) のとき、\(f^{\prime}(x) \gt 0\)
　\(0 \lt x \lt 2\) のとき、\(f^{\prime}(x) \lt 0\)
　\(2 \lt x\) のとき、\(f^{\prime}(x) \gt 0\)

---

さらに、

---

　\(x=-2\) のとき、

---

　\(\begin{eqnarray}~~~f(-2)&=&(-2)^4-8 \cdot (-2)^2+2\\[3pt]~~~&=&16-8 \cdot 4+2\\[3pt]~~~&=&16-32+2\\[3pt]~~~&=&-14\end{eqnarray}\)

---

　\(x=0\) のとき、

---

　\(\begin{eqnarray}~~~f(0)&=&0^4-8 \cdot 0^2+2\\[3pt]~~~&=&2\end{eqnarray}\)

---

　\(x=2\) のとき、

---

　\(\begin{eqnarray}~~~f(2)&=&2^4-8 \cdot 2^2+2\\[3pt]~~~&=&16-8 \cdot 4+2\\[3pt]~~~&=&16-32+2\\[3pt]~~~&=&-14\end{eqnarray}\)

---

よって、\(f^{\prime}(x)\) の符号と \(f(x)\) の増減は、

---

　\(\begin{array}{c|ccccccc}x & \cdots & -2 & \cdots & 0 & \cdots & 2 & \cdots \\\hline f^{\prime}(x) & – & 0 & + & 0 & – & 0 & + \\\hline f(x) & \searrow & -14 & \nearrow & 2 & \searrow & -14 & \nearrow\end{array}\)

---

これより、

---

　\(x=-2\) のとき、極小値 \(-14\)
　\(x=0\) のとき、極大値 \(2\)
　\(x=2\) のとき、極小値 \(-14\)

---

また、点 \((-2~,~-14)~,~\)\((0~,~2)~,~\)\((2~,~-14)\) を通るので、\(y=x^4-8x^2+2\) のグラフは、

---

数研出版｜高等学校数学Ⅱ[710] p.199 練習18(3)

\(f(x)=-x^4+4x^3-4x^2\) とおき、\(f(x)\) を微分すると、

---

\(\begin{eqnarray}~~~f^{\prime}(x)&=&-(x^4)^{\prime}+4 \cdot (x^3)^{\prime}-4 \cdot (x^2)^{\prime}\\[3pt]~~~&=&-4x^3+4 \cdot 3x^2-4 \cdot 2x\\[3pt]~~~&=&-4x^3+12x^2-8x\\[3pt]~~~&=&-4x(x^2-3x+2)\\[3pt]~~~&=&-4x(x-1)(x-2)\end{eqnarray}\)

---

\(f^{\prime}(x)=0\) となる \(x\) の値は、

---

\(\begin{eqnarray}~~~f^{\prime}(x)&=&-4x(x-1)(x-2)=0\\[3pt]~~~&&x=0~,~1~,~2\end{eqnarray}\)

よって、この \(x\) の前後での \(f^{\prime}(x)\) の符号は、

---

　\(x \lt 0\) のとき、\(f^{\prime}(x) \gt 0\)
　\(0 \lt x \lt 1\) のとき、\(f^{\prime}(x) \lt 0\)
　\(1 \lt x \lt 2\) のとき、\(f^{\prime}(x) \gt 0\)
　\(2 \lt x\) のとき、\(f^{\prime}(x) \lt 0\)

---

さらに、

---

　\(x=0\) のとき、

---

　\(\begin{eqnarray}~~~f(0)&=&-0^4+4 \cdot 0^3-4 \cdot 0^2\\[3pt]~~~&=&0\end{eqnarray}\)

---

　\(x=1\) のとき、

---

　\(\begin{eqnarray}~~~f(1)&=&-1^4+4 \cdot 1^3-4 \cdot 1^2\\[3pt]~~~&=&-1+4-4\\[3pt]~~~&=&-1\end{eqnarray}\)

---

　\(x=2\) のとき、

---

　\(\begin{eqnarray}~~~f(2)&=&-2^4+4 \cdot 2^3-4 \cdot 2^2\\[3pt]~~~&=&-16+32-16\\[3pt]~~~&=&0\end{eqnarray}\)

---

よって、\(f^{\prime}(x)\) の符号と \(f(x)\) の増減は、

---

　\(\begin{array}{c|ccccccc}x & \cdots & 0 & \cdots & 1 & \cdots & 2 & \cdots \\\hline f^{\prime}(x) & + & 0 & – & 0 & + & 0 & – \\\hline f(x) & \nearrow & 0 & \searrow & -1 & \nearrow & 0 & \searrow\end{array}\)

---

これより、

---

　\(x=0\) のとき、極大値 \(0\)
　\(x=1\) のとき、極小値 \(-1\)
　\(x=2\) のとき、極大値 \(0\)

---

また、点 \((0~,~0)~,~\)\((1~,~-1)~,~\)\((2~,~0)\) を通るので、\(y=-x^4+4x^3-4x^2\) のグラフは、

---

数研出版｜高等学校数学Ⅱ[710] p.199 練習18(4)

\(f(x)=x^4-4x^3+12\) とおき、\(f(x)\) を微分すると、

---

\(\begin{eqnarray}~~~f^{\prime}(x)&=&(x^4)^{\prime}-4 \cdot (x^3)^{\prime}\\[3pt]~~~&=&4x^3-4 \cdot 3x^2\\[3pt]~~~&=&4x^3-12x^2\\[3pt]~~~&=&4x^2(x-3)\end{eqnarray}\)

---

\(f^{\prime}(x)=0\) となる \(x\) の値は、

---

\(\begin{eqnarray}~~~f^{\prime}(x)&=&4x^2(x-3)=0\\[3pt]~~~&&x=0~,~3\end{eqnarray}\)

よって、この \(x\) の前後での \(f^{\prime}(x)\) の符号は、

---

　\(x \lt 0\) のとき、\(f^{\prime}(x) \lt 0\)
　\(0 \lt x \lt 3\) のとき、\(f^{\prime}(x) \lt 0\)
　\(3 \lt x\) のとき、\(f^{\prime}(x) \gt 0\)

---

さらに、

---

　\(x=0\) のとき、

---

　\(\begin{eqnarray}~~~f(0)&=&0^4-4 \cdot 0^3+12\\[3pt]~~~&=&12\end{eqnarray}\)

---

　\(x=3\) のとき、

---

　\(\begin{eqnarray}~~~f(3)&=&3^4-4 \cdot 3^3+12\\[3pt]~~~&=&81-108+12\\[3pt]~~~&=&-15\end{eqnarray}\)

---

よって、\(f^{\prime}(x)\) の符号と \(f(x)\) の増減は、

---

　\(\begin{array}{c|ccccc}x & \cdots & 0 & \cdots & 3 & \cdots \\\hline f^{\prime}(x) & – & 0 & – & 0 & + \\\hline f(x) & \searrow & 12 & \searrow & -15 & \nearrow\end{array}\)

---

増減表より、\(x=3\) のとき、極小値 \(-15\)

---

また、点 \((0~,~12)~,~\)\((3~,~-15)\) を通るので、\(y=x^4-4x^3+12\) のグラフは、

---

東京書籍｜Advanced数学Ⅱ[701] p.211 問8(1)

\(f(x)=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}x^4+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}x^3-x^2\) とおき、\(f(x)\) を微分すると、

---

\(\begin{eqnarray}~~~f^{\prime}(x)&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,} \cdot (x^4)^{\prime}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,} \cdot (x^3)^{\prime}-(x^2)^{\prime}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,} \cdot 4x^3+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,} \cdot 3x^2-2x\\[5pt]~~~&=&x^3+x^2-2x\\[3pt]~~~&=&x(x^2+x-2)\\[3pt]~~~&=&x(x+2)(x-1)\end{eqnarray}\)

---

\(f^{\prime}(x)=0\) となる \(x\) の値は、

---

\(\begin{eqnarray}~~~f^{\prime}(x)&=&x(x+2)(x-1)=0\\[3pt]~~~&&x=-2~,~0~,~1\end{eqnarray}\)

よって、この \(x\) の前後での \(f^{\prime}(x)\) の符号は、

---

　\(x \lt -2\) のとき、\(f^{\prime}(x) \lt 0\)
　\(-2 \lt x \lt 0\) のとき、\(f^{\prime}(x) \gt 0\)
　\(0 \lt x \lt 1\) のとき、\(f^{\prime}(x) \lt 0\)
　\(1 \lt x\) のとき、\(f^{\prime}(x) \gt 0\)

---

さらに、

---

　\(x=-2\) のとき、

---

　\(\begin{eqnarray}~~~f(-2)&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,} \cdot (-2)^4+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,} \cdot (-2)^3-(-2)^2\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,} \cdot 16+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,} \cdot (-8)-4\\[5pt]~~~&=&4-\displaystyle \frac{\,8\,}{\,3\,}-4\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,8\,}{\,3\,}\end{eqnarray}\)

---

　\(x=0\) のとき、

---

　\(\begin{eqnarray}~~~f(0)&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,} \cdot 0^4+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,} \cdot 0^3-0^2\\[5pt]~~~&=&0\end{eqnarray}\)

---

　\(x=1\) のとき、

---

　\(\begin{eqnarray}~~~f(1)&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,} \cdot 1^4+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,} \cdot 1^3-1^2\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}-1\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,3\,}{\,12\,}+\displaystyle \frac{\,4\,}{\,12\,}-\displaystyle \frac{\,12\,}{\,12\,}\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,5\,}{\,12\,}\end{eqnarray}\)

---

よって、\(f^{\prime}(x)\) の符号と \(f(x)\) の増減は、

---

　\(\begin{array}{c|ccccccc}x & \cdots & -2 & \cdots & 0 & \cdots & 1 & \cdots \\\hline f^{\prime}(x) & – & 0 & + & 0 & – & 0 & + \\\hline f(x) & \searrow & -\displaystyle \frac{\,8\,}{\,3\,} & \nearrow & 0 & \searrow & -\displaystyle \frac{\,5\,}{\,12\,} & \nearrow\end{array}\)

---

これより、

---

　\(x=-2\) のとき、極小値 \(-\displaystyle \frac{\,8\,}{\,3\,}\)
　\(x=0\) のとき、極大値 \(0\)
　\(x=1\) のとき、極小値 \(-\displaystyle \frac{\,5\,}{\,12\,}\)

---

また、点 \(\left(-2~,~-\displaystyle \frac{\,8\,}{\,3\,}\right)~,~\)\((0~,~0)~,~\)\(\left(1~,~-\displaystyle \frac{\,5\,}{\,12\,}\right)\) を通るので、\(y=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}x^4+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}x^3-x^2\) のグラフは、

---

東京書籍｜Advanced数学Ⅱ[701] p.211 問8(2)

\(f(x)=x^4-2x^3\) とおき、\(f(x)\) を微分すると、

---

\(\begin{eqnarray}~~~f^{\prime}(x)&=&(x^4)^{\prime}-2 \cdot (x^3)^{\prime}\\[3pt]~~~&=&4x^3-2 \cdot 3x^2\\[3pt]~~~&=&4x^3-6x^2\\[3pt]~~~&=&2x^2(2x-3)\end{eqnarray}\)

---

\(f^{\prime}(x)=0\) となる \(x\) の値は、

---

\(\begin{eqnarray}~~~f^{\prime}(x)&=&2x^2(2x-3)=0\\[3pt]~~~&&x=0~,~\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}\end{eqnarray}\)

よって、この \(x\) の前後での \(f^{\prime}(x)\) の符号は、

---

　\(x \lt 0\) のとき、\(f^{\prime}(x) \lt 0\)
　\(0 \lt x \lt \displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}\) のとき、\(f^{\prime}(x) \lt 0\)
　\(\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,} \lt x\) のとき、\(f^{\prime}(x) \gt 0\)

---

さらに、

---

　\(x=0\) のとき、

---

　\(\begin{eqnarray}~~~f(0)&=&0^4-2 \cdot 0^3\\[3pt]~~~&=&0\end{eqnarray}\)

---

　\(x=\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}\) のとき、

---

　\(\begin{eqnarray}~~~f\left(\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}\right)&=&\left(\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}\right)^4-2 \cdot \left(\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}\right)^3\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,81\,}{\,16\,}-2 \cdot \displaystyle \frac{\,27\,}{\,8\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,81\,}{\,16\,}-\displaystyle \frac{\,54\,}{\,8\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,81\,}{\,16\,}-\displaystyle \frac{\,108\,}{\,16\,}\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,27\,}{\,16\,}\end{eqnarray}\)

---

よって、\(f^{\prime}(x)\) の符号と \(f(x)\) の増減は、

---

　\(\begin{array}{c|ccccc}x & \cdots & 0 & \cdots & \displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,} & \cdots \\\hline f^{\prime}(x) & – & 0 & – & 0 & + \\\hline f(x) & \searrow & 0 & \searrow & -\displaystyle \frac{\,27\,}{\,16\,} & \nearrow\end{array}\)

---

増減表より、\(x=\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}\) のとき、極小値 \(-\displaystyle \frac{\,27\,}{\,16\,}\)

---

また、点 \((0~,~0)~,~\)\(\left(\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}~,~-\displaystyle \frac{\,27\,}{\,16\,}\right)\) を通るので、\(y=x^4-2x^3\) のグラフは、

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東京書籍｜Standard数学Ⅱ[702] p.219 Challenge 問1(1)

\(f(x)=x^4-4x^3-3\) とおき、\(f(x)\) を微分すると、

---

\(\begin{eqnarray}~~~f^{\prime}(x)&=&(x^4)^{\prime}-4 \cdot (x^3)^{\prime}\\[3pt]~~~&=&4x^3-4 \cdot 3x^2\\[3pt]~~~&=&4x^3-12x^2\\[3pt]~~~&=&4x^2(x-3)\end{eqnarray}\)

---

\(f^{\prime}(x)=0\) となる \(x\) の値は、

---

\(\begin{eqnarray}~~~f^{\prime}(x)&=&4x^2(x-3)=0\\[3pt]~~~&&x=0~,~3\end{eqnarray}\)

よって、この \(x\) の前後での \(f^{\prime}(x)\) の符号は、

---

　\(x \lt 0\) のとき、\(f^{\prime}(x) \lt 0\)
　\(0 \lt x \lt 3\) のとき、\(f^{\prime}(x) \lt 0\)
　\(3 \lt x\) のとき、\(f^{\prime}(x) \gt 0\)

---

さらに、

---

　\(x=0\) のとき、

---

　\(\begin{eqnarray}~~~f(0)&=&0^4-4 \cdot 0^3-3\\[3pt]~~~&=&-3\end{eqnarray}\)

---

　\(x=3\) のとき、

---

　\(\begin{eqnarray}~~~f(3)&=&3^4-4 \cdot 3^3-3\\[3pt]~~~&=&81-108-3\\[3pt]~~~&=&-30\end{eqnarray}\)

---

よって、\(f^{\prime}(x)\) の符号と \(f(x)\) の増減は、

---

　\(\begin{array}{c|ccccc}x & \cdots & 0 & \cdots & 3 & \cdots \\\hline f^{\prime}(x) & – & 0 & – & 0 & + \\\hline f(x) & \searrow & -3 & \searrow & -30 & \nearrow\end{array}\)

---

増減表より、\(x=3\) のとき、極小値 \(-30\)

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また、点 \((0~,~-3)~,~\)\((3~,~-30)\) を通るので、\(y=x^4-4x^3-3\) のグラフは、

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東京書籍｜Standard数学Ⅱ[702] p.219 Challenge 問1(2)

\(f(x)=x^4-4x-5\) とおき、\(f(x)\) を微分すると、

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\(\begin{eqnarray}~~~f^{\prime}(x)&=&(x^4)^{\prime}-4 \cdot (x)^{\prime}\\[3pt]~~~&=&4x^3-4\\[3pt]~~~&=&4(x^3-1)\\[3pt]~~~&=&4(x-1)(x^2+x+1)\end{eqnarray}\)

---

\(f^{\prime}(x)=0\) となる \(x\) の値は、

---

\(\begin{eqnarray}~~~f^{\prime}(x)&=&4(x-1)(x^2+x+1)=0\end{eqnarray}\)

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ここで、\(x^2+x+1=0\) の判別式は、

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\(\begin{eqnarray}~~~D&=&1^2-4 \cdot 1 \cdot 1\\[3pt]~~~&=&1-4\\[3pt]~~~&=&-3 \lt 0\end{eqnarray}\)

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よって、\(x^2+x+1=0\) は実数解をもたないので、

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\(x=1\)

よって、この \(x\) の前後での \(f^{\prime}(x)\) の符号は、

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　\(x \lt 1\) のとき、\(f^{\prime}(x) \lt 0\)
　\(1 \lt x\) のとき、\(f^{\prime}(x) \gt 0\)

---

さらに、

---

　\(x=1\) のとき、

---

　\(\begin{eqnarray}~~~f(1)&=&1^4-4 \cdot 1-5\\[3pt]~~~&=&1-4-5\\[3pt]~~~&=&-8\end{eqnarray}\)

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よって、\(f^{\prime}(x)\) の符号と \(f(x)\) の増減は、

---

　\(\begin{array}{c|ccc}x & \cdots & 1 & \cdots \\\hline f^{\prime}(x) & – & 0 & + \\\hline f(x) & \searrow & -8 & \nearrow\end{array}\)

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これより、\(x=1\) のとき、極小値 \(-8\)

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また、点 \((1~,~-8)\) を通り、\(y\) 切片が \(-5\) より、\(y=x^4-4x-5\) のグラフは、

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東京書籍｜Standard数学Ⅱ[702] p.219 Challenge 問1(3)

\(f(x)=x^3(x+4)=x^4+4x^3\) とおき、\(f(x)\) を微分すると、

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\(\begin{eqnarray}~~~f^{\prime}(x)&=&(x^4)^{\prime}+4 \cdot (x^3)^{\prime}\\[3pt]~~~&=&4x^3+4 \cdot 3x^2\\[3pt]~~~&=&4x^3+12x^2\\[3pt]~~~&=&4x^2(x+3)\end{eqnarray}\)

---

\(f^{\prime}(x)=0\) となる \(x\) の値は、

---

\(\begin{eqnarray}~~~f^{\prime}(x)&=&4x^2(x+3)=0\\[3pt]~~~&&x=-3~,~0\end{eqnarray}\)

よって、この \(x\) の前後での \(f^{\prime}(x)\) の符号は、

---

　\(x \lt -3\) のとき、\(f^{\prime}(x) \lt 0\)
　\(-3 \lt x \lt 0\) のとき、\(f^{\prime}(x) \gt 0\)
　\(0 \lt x\) のとき、\(f^{\prime}(x) \gt 0\)

---

さらに、

---

　\(x=-3\) のとき、

---

　\(\begin{eqnarray}~~~f(-3)&=&(-3)^4+4 \cdot (-3)^3\\[3pt]~~~&=&81+4 \cdot (-27)\\[3pt]~~~&=&81-108\\[3pt]~~~&=&-27\end{eqnarray}\)

---

　\(x=0\) のとき、

---

　\(\begin{eqnarray}~~~f(0)&=&0^4+4 \cdot 0^3\\[3pt]~~~&=&0\end{eqnarray}\)

---

よって、\(f^{\prime}(x)\) の符号と \(f(x)\) の増減は、

---

　\(\begin{array}{c|ccccc}x & \cdots & -3 & \cdots & 0 & \cdots \\\hline f^{\prime}(x) & – & 0 & + & 0 & + \\\hline f(x) & \searrow & -27 & \nearrow & 0 & \nearrow\end{array}\)

---

増減表より、\(x=-3\) のとき、極小値 \(-27\)

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また、点 \((-3~,~-27)~,~\)\((0~,~0)\) を通るので、\(y=x^3(x+4)\) のグラフは、

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東京書籍｜Standard数学Ⅱ[702] p.219 Challenge 問1(4)

\(f(x)=-3x^4-4x^3+12x^2-15\) とおき、\(f(x)\) を微分すると、

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\(\begin{eqnarray}~~~f^{\prime}(x)&=&-3 \cdot (x^4)^{\prime}-4 \cdot (x^3)^{\prime}+12 \cdot (x^2)^{\prime}\\[3pt]~~~&=&-3 \cdot 4x^3-4 \cdot 3x^2+12 \cdot 2x\\[3pt]~~~&=&-12x^3-12x^2+24x\\[3pt]~~~&=&-12x(x^2+x-2)\\[3pt]~~~&=&-12x(x+2)(x-1)\end{eqnarray}\)

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\(f^{\prime}(x)=0\) となる \(x\) の値は、

---

\(\begin{eqnarray}~~~f^{\prime}(x)&=&-12x(x+2)(x-1)=0\\[3pt]~~~&&x=-2~,~0~,~1\end{eqnarray}\)

よって、この \(x\) の前後での \(f^{\prime}(x)\) の符号は、

---

　\(x \lt -2\) のとき、\(f^{\prime}(x) \gt 0\)
　\(-2 \lt x \lt 0\) のとき、\(f^{\prime}(x) \lt 0\)
　\(0 \lt x \lt 1\) のとき、\(f^{\prime}(x) \gt 0\)
　\(1 \lt x\) のとき、\(f^{\prime}(x) \lt 0\)

---

さらに、

---

　\(x=-2\) のとき、

---

---

　\(x=0\) のとき、

---

　\(\begin{eqnarray}~~~f(0)&=&-3 \cdot 0^4-4 \cdot 0^3+12 \cdot 0^2-15\\[3pt]~~~&=&-15\end{eqnarray}\)

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　\(x=1\) のとき、

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　\(\begin{eqnarray}~~~f(1)&=&-3 \cdot 1^4-4 \cdot 1^3+12 \cdot 1^2-15\\[3pt]~~~&=&-3-4+12-15\\[3pt]~~~&=&-10\end{eqnarray}\)

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よって、\(f^{\prime}(x)\) の符号と \(f(x)\) の増減は、

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これより、

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　\(x=-2\) のとき、極大値 \(17\)
　\(x=0\) のとき、極小値 \(-15\)
　\(x=1\) のとき、極大値 \(-10\)

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また、点 \((-2~,~17)~,~\)\((0~,~-15)~,~\)\((1~,~-10)\) を通るので、\(y=-3x^4-4x^3+12x^2-15\) のグラフは、

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