- 数学Ⅱ｜微分と積分「極値の条件と関数の決定」の基本例題解説ページです。
- 目次をクリックすると各セクションへ移動します。
問題｜極値の条件と関数の決定
微分と積分 21関数 \(f(x)=x^3+ax^2+bx+c\) が \(x=-3\) で極大値、\(x=1\) で極小値 \(-4\) をとるとき、定数 \(a~,~b~,~c\) の値と極大値の求め方は？また、3次関数 \(f(x)\) が \(x=0\) で極大値 \(0\) 、\(x=1\) で極小値 \(-1\) をとるとき、関数 \(f(x)\) の求め方は？
高校数学Ⅱ｜微分と積分
解法のPoint
極値の条件と関数の決定
Point：極値の条件と関数の決定
① 関数 \(f(x)\) を微分し、導関数 \(f^{\prime}(x)\) を求める。
\(f(x)=x^3+ax^2+bx+c\) より、
\(f^{\prime}(x)=3x^2+2ax+b\)
② 極値をもつ条件から条件式を立てる。
\(x=-3\) で極大値をとる
\(f^{\prime}(-3)=0\) より、\(6a-b=27\)
\(x=1\) で極小値 \(-4\) をとる
\(f(1)=-4\) より、\(a+b+c=-5\)
\(f^{\prime}(1)=0\) より、\(2a+b=-3\)
\(x=\alpha\) で極値 \(k\) をとる
\(\Rightarrow~f(\alpha)=k\) かつ \(f^{\prime}(\alpha)=0\)
③ 条件式を連立し、未知数を求める。
\(a=3~,~b=-9~,~c=1\)
④ 求めた値を代入した関数 \(f(x)\) と導関数 \(f^{\prime}(x)\) より、増減表を作り、極大値・極小値の条件を満たすか確認する。
\(f^{\prime}(a)=0\) であっても \(x=a\) で極値をとるとは限らないので、逆の確認をする。
極値の条件と関数の決定は、
① 関数 \(f(x)\) を微分し、導関数 \(f^{\prime}(x)\) を求める。
\(f(x)=x^3+ax^2+bx+c\) より、
\(f^{\prime}(x)=3x^2+2ax+b\)
② 極値をもつ条件から条件式を立てる。
\(x=-3\) で極大値をとる
\(f^{\prime}(-3)=0\) より、\(6a-b=27\)
\(x=1\) で極小値 \(-4\) をとる
\(f(1)=-4\) より、\(a+b+c=-5\)
\(f^{\prime}(1)=0\) より、\(2a+b=-3\)
\(x=\alpha\) で極値 \(k\) をとる
\(\Rightarrow~f(\alpha)=k\) かつ \(f^{\prime}(\alpha)=0\)
③ 条件式を連立し、未知数を求める。
\(a=3~,~b=-9~,~c=1\)
④ 求めた値を代入した関数 \(f(x)\) と導関数 \(f^{\prime}(x)\) より、増減表を作り、極大値・極小値の条件を満たすか確認する。
\(f^{\prime}(a)=0\) であっても \(x=a\) で極値をとるとは限らないので、逆の確認をする。
©︎ 2026 教科書より詳しい高校数学 yorikuwa.com
詳しい解説｜極値の条件と関数の決定
微分と積分 21
関数 \(f(x)=x^3+ax^2+bx+c\) が \(x=-3\) で極大値、\(x=1\) で極小値 \(-4\) をとるとき、定数 \(a~,~b~,~c\) の値と極大値の求め方は？また、3次関数 \(f(x)\) が \(x=0\) で極大値 \(0\) 、\(x=1\) で極小値 \(-1\) をとるとき、関数 \(f(x)\) の求め方は？
高校数学Ⅱ｜微分と積分
\(f(x)=x^3+ax^2+bx+c~~~\cdots{\small [\,1\,]}\)
\(f(x)\) を微分すると、
\(\begin{eqnarray}~~~f^{\prime}(x)&=&(x^3)^{\prime}+a(x^2)^{\prime}+b(x)^{\prime}+(c)^{\prime}
\\[3pt]~~~&=&3x^2+a \cdot 2x+b \cdot 1+0
\\[3pt]~~~&=&3x^2+2ax+b~~~\cdots{\small [\,2\,]}\end{eqnarray}\)
\(x=-3\) で極大値をとるので、
\({\small [\,2\,]}\) より \(f^{\prime}(-3)=0\) とすると、
\(\begin{eqnarray}~~~f^{\prime}(-3)=3 \cdot (-3)^2+2a \cdot (-3)+b&=&0
\\[3pt]~~~27-6a+b&=&0
\\[3pt]~~~-6a+b&=&-27
\\[3pt]~~~6a-b&=&27~~~\cdots{\rm [\,A\,]}\end{eqnarray}\)
\\[3pt]~~~27-6a+b&=&0
\\[3pt]~~~-6a+b&=&-27
\\[3pt]~~~6a-b&=&27~~~\cdots{\rm [\,A\,]}\end{eqnarray}\)
\(x=1\) で極小値 \(-4\) をとるので、
\(f(1)=-4\) かつ \(f^{\prime}(1)=0\)
\({\small [\,1\,]}\) より \(f(1)=-4\) とすると、
\(\begin{eqnarray}~~~f(1)=1^3+a \cdot 1^2+b \cdot 1+c&=&-4
\\[3pt]~~~1+a+b+c&=&-4
\\[3pt]~~~a+b+c&=&-5~~~\cdots{\rm [\,B\,]}\end{eqnarray}\)
\\[3pt]~~~1+a+b+c&=&-4
\\[3pt]~~~a+b+c&=&-5~~~\cdots{\rm [\,B\,]}\end{eqnarray}\)
\({\small [\,2\,]}\) より \(f^{\prime}(1)=0\) とすると、
\(\begin{eqnarray}~~~f^{\prime}(1)=3 \cdot 1^2+2a \cdot 1+b&=&0
\\[3pt]~~~3+2a+b&=&0
\\[3pt]~~~2a+b&=&-3~~~\cdots{\rm [\,C\,]}\end{eqnarray}\)
\\[3pt]~~~3+2a+b&=&0
\\[3pt]~~~2a+b&=&-3~~~\cdots{\rm [\,C\,]}\end{eqnarray}\)
\({\rm [\,A\,]}\) と \({\rm [\,C\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~~~
6a-b&=&27\\~~
+\big{)}~~~2a+b&=&-3\\
\hline 8a&=&24
\\[3pt] a&=&3\end{eqnarray}\)
\({\rm [\,C\,]}\) に代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~2 \cdot 3+b&=&-3
\\[3pt]~~~6+b&=&-3
\\[3pt]~~~b&=&-9\end{eqnarray}\)
\({\rm [\,B\,]}\) に代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~3+(-9)+c&=&-5
\\[3pt]~~~-6+c&=&-5
\\[3pt]~~~c&=&1\end{eqnarray}\)
よって、\(a=3~,~b=-9~,~c=1\) のとき、
\({\small [\,1\,]}\) より、
\(f(x)=x^3+3x^2-9x+1~~~\cdots{\small [\,3\,]}\)
\({\small [\,2\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~f^{\prime}(x)&=&3x^2+6x-9
\\[3pt]~~~&=&3(x^2+2x-3)
\\[3pt]~~~&=&3(x+3)(x-1)\end{eqnarray}\)
\(f^{\prime}(x)=0\) となるのは、\(x=-3~,~1\)
よって、この \(x\) の前後での\(f^{\prime}(x)\) の符号は、
\(x \lt -3\) のとき、\(f^{\prime}(x) \gt 0\)
\(-3 \lt x \lt 1\) のとき、\(f^{\prime}(x) \lt 0\)
\(1 \lt x\) のとき、\(f^{\prime}(x) \gt 0\)
さらに、
\(x=-3\) のとき、
\(\begin{eqnarray}~~~f(-3)&=&(-3)^3+3 \cdot (-3)^2-9 \cdot (-3)+1
\\[3pt]~~~&=&-27+27+27+1
\\[3pt]~~~&=&28\end{eqnarray}\)
\\[3pt]~~~&=&-27+27+27+1
\\[3pt]~~~&=&28\end{eqnarray}\)
\(x=1\) のとき、
\(\begin{eqnarray}~~~f(1)&=&1^3+3 \cdot 1^2-9 \cdot 1+1
\\[3pt]~~~&=&1+3-9+1
\\[3pt]~~~&=&-4\end{eqnarray}\)
これより、\(f^{\prime}(x)\) の符号と \(f(x)\) の増減表は、
\(\begin{array}{c|ccccc}
x & \cdots & -3 & \cdots & 1 & \cdots \\
\hline
f^{\prime}(x) & + & 0 & – & 0 & + \\
\hline
f(x) & \nearrow & 28 & \searrow & -4 & \nearrow
\end{array}\)
よって、関数 \({\small [\,3\,]}\) は、
\(x=-3\) で極大値 \(28\)
\(x=1\) で極小値 \(-4\)
となり、条件を満たす
したがって、
\(a=3~,~b=-9~,~c=1\)、極大値は \(28\)
この3次関数を、
\(f(x)=ax^3+bx^2+cx+d~~~\cdots{\small [\,1\,]}\)
として、微分すると、
\(\begin{eqnarray}~~~f^{\prime}(x)&=&a(x^3)^{\prime}+b(x^2)^{\prime}+c(x)^{\prime}+(d)^{\prime}
\\[3pt]~~~&=&a \cdot 3x^2+b \cdot 2x+c \cdot 1+0
\\[3pt]~~~&=&3ax^2+2bx+c~~~\cdots{\small [\,2\,]}\end{eqnarray}\)
\(x=0\) で極大値 \(0\) をとるので、
\(f(0)=0\) かつ \(f^{\prime}(0)=0\)
\({\small [\,1\,]}\) より \(f(0)=0\) とすると、
\(\begin{eqnarray}~~~f(0)=a \cdot 0^3+b \cdot 0^2+c \cdot 0+d&=&0
\\[3pt]~~~d&=&0~~~\cdots{\rm [\,A\,]}\end{eqnarray}\)
\\[3pt]~~~d&=&0~~~\cdots{\rm [\,A\,]}\end{eqnarray}\)
\({\small [\,2\,]}\) より \(f^{\prime}(0)=0\) とすると、
\(\begin{eqnarray}~~~f^{\prime}(0)=3a \cdot 0^2+2b \cdot 0+c&=&0
\\[3pt]~~~c&=&0~~~\cdots{\rm [\,B\,]}\end{eqnarray}\)
\\[3pt]~~~c&=&0~~~\cdots{\rm [\,B\,]}\end{eqnarray}\)
\(x=1\) で極小値 \(-1\) をとるので、
\(f(1)=-1\) かつ \(f^{\prime}(1)=0\)
\({\small [\,1\,]}\) より \(f(1)=-1\) とすると、
\(\begin{eqnarray}~~~f(1)=a \cdot 1^3+b \cdot 1^2+c \cdot 1+d&=&-1
\\[3pt]~~~a+b+c+d&=&-1~~~\cdots{\rm [\,C\,]}\end{eqnarray}\)
\\[3pt]~~~a+b+c+d&=&-1~~~\cdots{\rm [\,C\,]}\end{eqnarray}\)
\({\small [\,2\,]}\) より \(f^{\prime}(1)=0\) とすると、
\(\begin{eqnarray}~~~f^{\prime}(1)=3a \cdot 1^2+2b \cdot 1+c&=&0
\\[3pt]~~~3a+2b+c&=&0~~~\cdots{\rm [\,D\,]}\end{eqnarray}\)
\({\rm [\,A\,]}\) と \({\rm [\,B\,]}\) を \({\rm [\,C\,]}\) と \({\rm [\,D\,]}\) に代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~a+b&=&-1~~~\cdots{\rm [\,E\,]}
\\[3pt]~~~3a+2b&=&0~~~\hspace{13pt}\cdots{\rm [\,F\,]}\end{eqnarray}\)
\({\rm [\,E\,]}{\small \times}2-{\rm [\,F\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~~~
2a+2b&=&-2\\~~
-\big{)}~~~3a+2b&=&0\\
\hline -a&=&-2
\\[3pt] a&=&2\end{eqnarray}\)
\({\rm [\,E\,]}\) に代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~2+b&=&-1
\\[3pt]~~~b&=&-3\end{eqnarray}\)
よって、\(a=2~,~b=-3~,~c=0~,~d=0\) のとき、
\({\small [\,1\,]}\) より、
\(f(x)=2x^3-3x^2~~~\cdots{\small [\,3\,]}\)
\({\small [\,2\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~f^{\prime}(x)&=&6x^2-6x
\\[3pt]~~~&=&6x(x-1)\end{eqnarray}\)
\(f^{\prime}(x)=0\) となるのは、\(x=0~,~1\)
よって、この \(x\) の前後での\(f^{\prime}(x)\) の符号は、
\(x \lt 0\) のとき、\(f^{\prime}(x) \gt 0\)
\(0 \lt x \lt 1\) のとき、\(f^{\prime}(x) \lt 0\)
\(1 \lt x\) のとき、\(f^{\prime}(x) \gt 0\)
さらに、
\(x=0\) のとき、
\(\begin{eqnarray}~~~f(0)&=&2 \cdot 0^3-3 \cdot 0^2
\\[3pt]~~~&=&0\end{eqnarray}\)
\(x=1\) のとき、
\(\begin{eqnarray}~~~f(1)&=&2 \cdot 1^3-3 \cdot 1^2
\\[3pt]~~~&=&2-3
\\[3pt]~~~&=&-1\end{eqnarray}\)
これより、\(f^{\prime}(x)\) の符号と \(f(x)\) の増減表は、
\(\begin{array}{c|ccccc}
x & \cdots & 0 & \cdots & 1 & \cdots \\
\hline
f^{\prime}(x) & + & 0 & – & 0 & + \\
\hline
f(x) & \nearrow & 0 & \searrow & -1 & \nearrow
\end{array}\)
よって、関数 \({\small [\,3\,]}\) は、
\(x=0\) で極大値 \(0\)
\(x=1\) で極小値 \(-1\)
となり、条件を満たす
したがって、\(f(x)=2x^3-3x^2\)
