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極値の条件と関数の決定 で確認できます。
目次
問題アーカイブ01
問題アーカイブ01関数 \(f(x)=x^3+ax^2+bx+c\) が \(x=-1\) で極大値 \(5\) をとり、\(x=1\) で極小値をとるように、定数 \(a~,~b~,~c\) の値を定めよ。また、極小値を求めよ。
数研出版｜数学Ⅱ[709] p.214 練習16
\(f(x)=x^3+ax^2+bx+c~~~\cdots{\small [\,1\,]}\)
\(f(x)\) を微分すると、
\(\begin{eqnarray}~~~f^{\prime}(x)&=&(x^3)^{\prime}+a(x^2)^{\prime}+b(x)^{\prime}+(c)^{\prime}
\\[3pt]~~~&=&3x^2+a \cdot 2x+b \cdot 1+0
\\[3pt]~~~&=&3x^2+2ax+b~~~\cdots{\small [\,2\,]}\end{eqnarray}\)
\(x=-1\) で極大値 \(5\) をとるので、
\(f(-1)=5\) かつ \(f^{\prime}(-1)=0\)
\({\small [\,2\,]}\) より \(f^{\prime}(-1)=0\) とすると、
\(\begin{eqnarray}~~~f^{\prime}(-1)=3 \cdot (-1)^2+2a \cdot (-1)+b&=&0
\\[3pt]~~~3-2a+b&=&0
\\[3pt]~~~-2a+b&=&-3
\\[3pt]~~~2a-b&=&3~~~\cdots{\rm [\,A\,]}\end{eqnarray}\)
\\[3pt]~~~3-2a+b&=&0
\\[3pt]~~~-2a+b&=&-3
\\[3pt]~~~2a-b&=&3~~~\cdots{\rm [\,A\,]}\end{eqnarray}\)
\({\small [\,1\,]}\) より \(f(-1)=5\) とすると、
\(\begin{eqnarray}~~~f(-1)=(-1)^3+a \cdot (-1)^2+b \cdot (-1)+c&=&5
\\[3pt]~~~-1+a-b+c&=&5
\\[3pt]~~~a-b+c&=&6~~~\cdots{\rm [\,B\,]}\end{eqnarray}\)
\\[3pt]~~~-1+a-b+c&=&5
\\[3pt]~~~a-b+c&=&6~~~\cdots{\rm [\,B\,]}\end{eqnarray}\)
\(x=1\) で極小値をとるので、
\({\small [\,2\,]}\) より \(f^{\prime}(1)=0\) とすると、
\(\begin{eqnarray}~~~f^{\prime}(1)=3 \cdot 1^2+2a \cdot 1+b&=&0
\\[3pt]~~~3+2a+b&=&0
\\[3pt]~~~2a+b&=&-3~~~\cdots{\rm [\,C\,]}\end{eqnarray}\)
\\[3pt]~~~3+2a+b&=&0
\\[3pt]~~~2a+b&=&-3~~~\cdots{\rm [\,C\,]}\end{eqnarray}\)
\({\rm [\,A\,]}\) と \({\rm [\,C\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~~~
2a-b&=&3\\~~
+\big{)}~~~2a+b&=&-3\\
\hline 4a&=&0
\\[3pt] a&=&0\end{eqnarray}\)
\({\rm [\,C\,]}\) に代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~2 \cdot 0+b&=&-3
\\[3pt]~~~b&=&-3\end{eqnarray}\)
\({\rm [\,B\,]}\) に代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~0-(-3)+c&=&6
\\[3pt]~~~3+c&=&6
\\[3pt]~~~c&=&3\end{eqnarray}\)
よって、\(a=0~,~b=-3~,~c=3\) のとき、
\({\small [\,1\,]}\) より、
\(f(x)=x^3-3x+3~~~\cdots{\small [\,3\,]}\)
\({\small [\,2\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~f^{\prime}(x)&=&3x^2-3
\\[3pt]~~~&=&3(x^2-1)
\\[3pt]~~~&=&3(x+1)(x-1)\end{eqnarray}\)
\(f^{\prime}(x)=0\) となるのは、\(x=-1~,~1\)
よって、この \(x\) の前後での\(f^{\prime}(x)\) の符号は、
\(x \lt -1\) のとき、\(f^{\prime}(x) \gt 0\)
\(-1 \lt x \lt 1\) のとき、\(f^{\prime}(x) \lt 0\)
\(1 \lt x\) のとき、\(f^{\prime}(x) \gt 0\)
さらに、
\(x=-1\) のとき、
\(\begin{eqnarray}~~~f(-1)&=&(-1)^3-3 \cdot (-1)+3
\\[3pt]~~~&=&-1+3+3
\\[3pt]~~~&=&5\end{eqnarray}\)
\(x=1\) のとき、
\(\begin{eqnarray}~~~f(1)&=&1^3-3 \cdot 1+3
\\[3pt]~~~&=&1-3+3
\\[3pt]~~~&=&1\end{eqnarray}\)
これより、\(f^{\prime}(x)\) の符号と \(f(x)\) の増減表は、
\(\begin{array}{c|ccccc}
x & \cdots & -1 & \cdots & 1 & \cdots \\
\hline
f^{\prime}(x) & + & 0 & – & 0 & + \\
\hline
f(x) & \nearrow & 5 & \searrow & 1 & \nearrow
\end{array}\)
よって、関数 \({\small [\,3\,]}\) は、
\(x=-1\) で極大値 \(5\)
\(x=1\) で極小値 \(1\)
となり、条件を満たす
したがって、
\(a=0~,~b=-3~,~c=3\)、極小値は \(1\)
問題アーカイブ02
問題アーカイブ02\(f(x)\) は3次関数で、\(x=0\) で極小値 \(0\) をとり、\(x=2\) で極大値 \(4\) をとる。\(f(x)\) を求めよ。
数研出版｜数学Ⅱ[709] p.220 問題 9
この3次関数を、
\(f(x)=ax^3+bx^2+cx+d~~~\cdots{\small [\,1\,]}\)
として、微分すると、
\(\begin{eqnarray}~~~f^{\prime}(x)&=&a(x^3)^{\prime}+b(x^2)^{\prime}+c(x)^{\prime}+(d)^{\prime}
\\[3pt]~~~&=&a \cdot 3x^2+b \cdot 2x+c \cdot 1+0
\\[3pt]~~~&=&3ax^2+2bx+c~~~\cdots{\small [\,2\,]}\end{eqnarray}\)
\(x=0\) で極小値 \(0\) をとるので、
\(f(0)=0\) かつ \(f^{\prime}(0)=0\)
\({\small [\,1\,]}\) より \(f(0)=0\) とすると、
\(\begin{eqnarray}~~~f(0)=a \cdot 0^3+b \cdot 0^2+c \cdot 0+d&=&0
\\[3pt]~~~d&=&0~~~\cdots{\rm [\,A\,]}\end{eqnarray}\)
\\[3pt]~~~d&=&0~~~\cdots{\rm [\,A\,]}\end{eqnarray}\)
\({\small [\,2\,]}\) より \(f^{\prime}(0)=0\) とすると、
\(\begin{eqnarray}~~~f^{\prime}(0)=3a \cdot 0^2+2b \cdot 0+c&=&0
\\[3pt]~~~c&=&0~~~\cdots{\rm [\,B\,]}\end{eqnarray}\)
\\[3pt]~~~c&=&0~~~\cdots{\rm [\,B\,]}\end{eqnarray}\)
\(x=2\) で極大値 \(4\) をとるので、
\(f(2)=4\) かつ \(f^{\prime}(2)=0\)
\({\small [\,1\,]}\) より \(f(2)=4\) とすると、
\(\begin{eqnarray}~~~f(2)=a \cdot 2^3+b \cdot 2^2+c \cdot 2+d&=&4
\\[3pt]~~~8a+4b+2c+d&=&4~~~\cdots{\rm [\,C\,]}\end{eqnarray}\)
\\[3pt]~~~8a+4b+2c+d&=&4~~~\cdots{\rm [\,C\,]}\end{eqnarray}\)
\({\small [\,2\,]}\) より \(f^{\prime}(2)=0\) とすると、
\(\begin{eqnarray}~~~f^{\prime}(2)=3a \cdot 2^2+2b \cdot 2+c&=&0
\\[3pt]~~~12a+4b+c&=&0~~~\cdots{\rm [\,D\,]}\end{eqnarray}\)
\\[3pt]~~~12a+4b+c&=&0~~~\cdots{\rm [\,D\,]}\end{eqnarray}\)
\({\rm [\,A\,]}\) と \({\rm [\,B\,]}\) を \({\rm [\,C\,]}\) と \({\rm [\,D\,]}\) に代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~8a+4b&=&4
\\[3pt]~~~2a+b&=&1~~~\cdots{\rm [\,E\,]}
\\[3pt]~~~12a+4b&=&0
\\[3pt]~~~3a+b&=&0~~~\cdots{\rm [\,F\,]}\end{eqnarray}\)
\({\rm [\,E\,]}-{\rm [\,F\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~~~
2a+b&=&1\\~~
-\big{)}~~~3a+b&=&0\\
\hline -a&=&1
\\[3pt] a&=&-1\end{eqnarray}\)
\({\rm [\,F\,]}\) に代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~3 \cdot (-1)+b&=&0
\\[3pt]~~~-3+b&=&0
\\[3pt]~~~b&=&3\end{eqnarray}\)
よって、\(a=-1~,~b=3~,~c=0~,~d=0\) のとき、
\({\small [\,1\,]}\) より、
\(f(x)=-x^3+3x^2~~~\cdots{\small [\,3\,]}\)
\({\small [\,2\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~f^{\prime}(x)&=&-3x^2+6x
\\[3pt]~~~&=&-3x(x-2)\end{eqnarray}\)
\(f^{\prime}(x)=0\) となるのは、\(x=0~,~2\)
よって、この \(x\) の前後での\(f^{\prime}(x)\) の符号は、
\(x \lt 0\) のとき、\(f^{\prime}(x) \lt 0\)
\(0 \lt x \lt 2\) のとき、\(f^{\prime}(x) \gt 0\)
\(2 \lt x\) のとき、\(f^{\prime}(x) \lt 0\)
さらに、
\(x=0\) のとき、
\(\begin{eqnarray}~~~f(0)&=&-0^3+3 \cdot 0^2
\\[3pt]~~~&=&0\end{eqnarray}\)
\(x=2\) のとき、
\(\begin{eqnarray}~~~f(2)&=&-2^3+3 \cdot 2^2
\\[3pt]~~~&=&-8+12
\\[3pt]~~~&=&4\end{eqnarray}\)
これより、\(f^{\prime}(x)\) の符号と \(f(x)\) の増減表は、
\(\begin{array}{c|ccccc}
x & \cdots & 0 & \cdots & 2 & \cdots \\
\hline
f^{\prime}(x) & – & 0 & + & 0 & – \\
\hline
f(x) & \searrow & 0 & \nearrow & 4 & \searrow
\end{array}\)
よって、関数 \({\small [\,3\,]}\) は、
\(x=0\) で極小値 \(0\)
\(x=2\) で極大値 \(4\)
となり、条件を満たす
したがって、\(f(x)=-x^3+3x^2\)
問題アーカイブ03
問題アーカイブ03関数 \(f(x)=x^3+ax^2-9x+b\) が \(x=-1\) で極大値 \(8\) をとるように、定数 \(a~,~b\) の値を定めよ。また、極小値を求めよ。
数研出版｜高等学校数学Ⅱ[710] p.200 練習19
数研出版｜新編数学Ⅱ[711] p.195 練習18
\(f(x)=x^3+ax^2-9x+b~~~\cdots{\small [\,1\,]}\)
\(f(x)\) を微分すると、
\(\begin{eqnarray}~~~f^{\prime}(x)&=&(x^3)^{\prime}+a(x^2)^{\prime}-(9x)^{\prime}+(b)^{\prime}
\\[3pt]~~~&=&3x^2+a \cdot 2x-9+0
\\[3pt]~~~&=&3x^2+2ax-9~~~\cdots{\small [\,2\,]}\end{eqnarray}\)
\(x=-1\) で極大値 \(8\) をとるので、
\(f(-1)=8\) かつ \(f^{\prime}(-1)=0\)
\({\small [\,2\,]}\) より \(f^{\prime}(-1)=0\) とすると、
\(\begin{eqnarray}~~~f^{\prime}(-1)=3 \cdot (-1)^2+2a \cdot (-1)-9&=&0
\\[3pt]~~~3-2a-9&=&0
\\[3pt]~~~-2a-6&=&0
\\[3pt]~~~a&=&-3~~~\cdots{\rm [\,A\,]}\end{eqnarray}\)
\\[3pt]~~~3-2a-9&=&0
\\[3pt]~~~-2a-6&=&0
\\[3pt]~~~a&=&-3~~~\cdots{\rm [\,A\,]}\end{eqnarray}\)
\({\small [\,1\,]}\) より \(f(-1)=8\) とすると、
\(\begin{eqnarray}~~~f(-1)=(-1)^3+a \cdot (-1)^2-9 \cdot (-1)+b&=&8
\\[3pt]~~~-1+a+9+b&=&8
\\[3pt]~~~a+b&=&0~~~\cdots{\rm [\,B\,]}\end{eqnarray}\)
\\[3pt]~~~-1+a+9+b&=&8
\\[3pt]~~~a+b&=&0~~~\cdots{\rm [\,B\,]}\end{eqnarray}\)
\({\rm [\,A\,]}\) を \({\rm [\,B\,]}\) に代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~-3+b&=&0
\\[3pt]~~~b&=&3\end{eqnarray}\)
よって、\(a=-3~,~b=3\) のとき、
\({\small [\,1\,]}\) より、
\(f(x)=x^3-3x^2-9x+3~~~\cdots{\small [\,3\,]}\)
\({\small [\,2\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~f^{\prime}(x)&=&3x^2-6x-9
\\[3pt]~~~&=&3(x^2-2x-3)
\\[3pt]~~~&=&3(x+1)(x-3)\end{eqnarray}\)
\(f^{\prime}(x)=0\) となるのは、\(x=-1~,~3\)
よって、この \(x\) の前後での\(f^{\prime}(x)\) の符号は、
\(x \lt -1\) のとき、\(f^{\prime}(x) \gt 0\)
\(-1 \lt x \lt 3\) のとき、\(f^{\prime}(x) \lt 0\)
\(3 \lt x\) のとき、\(f^{\prime}(x) \gt 0\)
さらに、
\(x=-1\) のとき、
\(\begin{eqnarray}~~~f(-1)&=&(-1)^3-3 \cdot (-1)^2-9 \cdot (-1)+3
\\[3pt]~~~&=&-1-3+9+3
\\[3pt]~~~&=&8\end{eqnarray}\)
\(x=3\) のとき、
\(\begin{eqnarray}~~~f(3)&=&3^3-3 \cdot 3^2-9 \cdot 3+3
\\[3pt]~~~&=&27-27-27+3
\\[3pt]~~~&=&-24\end{eqnarray}\)
これより、\(f^{\prime}(x)\) の符号と \(f(x)\) の増減表は、
\(\begin{array}{c|ccccc}
x & \cdots & -1 & \cdots & 3 & \cdots \\
\hline
f^{\prime}(x) & + & 0 & – & 0 & + \\
\hline
f(x) & \nearrow & 8 & \searrow & -24 & \nearrow
\end{array}\)
よって、関数 \({\small [\,3\,]}\) は、
\(x=-1\) で極大値 \(8\)
\(x=3\) で極小値 \(-24\)
となり、条件を満たす
したがって、
\(a=-3~,~b=3\)、極小値は \(-24\)
問題アーカイブ04
問題アーカイブ04関数 \(f(x)=x^3+ax^2+bx+c\) が、\(x=-3\) で極大値をとり、\(x=1\) で極小値 \(-12\) をとるように、定数 \(a~,~b~,~c\) の値を定めよ。
数研出版｜高等学校数学Ⅱ[710] p.207 問題 9
\(f(x)=x^3+ax^2+bx+c~~~\cdots{\small [\,1\,]}\)
\(f(x)\) を微分すると、
\(\begin{eqnarray}~~~f^{\prime}(x)&=&(x^3)^{\prime}+a(x^2)^{\prime}+b(x)^{\prime}+(c)^{\prime}
\\[3pt]~~~&=&3x^2+a \cdot 2x+b \cdot 1+0
\\[3pt]~~~&=&3x^2+2ax+b~~~\cdots{\small [\,2\,]}\end{eqnarray}\)
\(x=-3\) で極大値をとるので、
\({\small [\,2\,]}\) より \(f^{\prime}(-3)=0\) とすると、
\(\begin{eqnarray}~~~f^{\prime}(-3)=3 \cdot (-3)^2+2a \cdot (-3)+b&=&0
\\[3pt]~~~27-6a+b&=&0
\\[3pt]~~~-6a+b&=&-27
\\[3pt]~~~6a-b&=&27~~~\cdots{\rm [\,A\,]}\end{eqnarray}\)
\\[3pt]~~~27-6a+b&=&0
\\[3pt]~~~-6a+b&=&-27
\\[3pt]~~~6a-b&=&27~~~\cdots{\rm [\,A\,]}\end{eqnarray}\)
\(x=1\) で極小値 \(-12\) をとるので、
\(f(1)=-12\) かつ \(f^{\prime}(1)=0\)
\({\small [\,1\,]}\) より \(f(1)=-12\) とすると、
\(\begin{eqnarray}~~~f(1)=1^3+a \cdot 1^2+b \cdot 1+c&=&-12
\\[3pt]~~~1+a+b+c&=&-12
\\[3pt]~~~a+b+c&=&-13~~~\cdots{\rm [\,B\,]}\end{eqnarray}\)
\\[3pt]~~~1+a+b+c&=&-12
\\[3pt]~~~a+b+c&=&-13~~~\cdots{\rm [\,B\,]}\end{eqnarray}\)
\({\small [\,2\,]}\) より \(f^{\prime}(1)=0\) とすると、
\(\begin{eqnarray}~~~f^{\prime}(1)=3 \cdot 1^2+2a \cdot 1+b&=&0
\\[3pt]~~~3+2a+b&=&0
\\[3pt]~~~2a+b&=&-3~~~\cdots{\rm [\,C\,]}\end{eqnarray}\)
\\[3pt]~~~3+2a+b&=&0
\\[3pt]~~~2a+b&=&-3~~~\cdots{\rm [\,C\,]}\end{eqnarray}\)
\({\rm [\,A\,]}\) と \({\rm [\,C\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~~~
6a-b&=&27\\~~
+\big{)}~~~2a+b&=&-3\\
\hline 8a&=&24
\\[3pt] a&=&3\end{eqnarray}\)
\({\rm [\,C\,]}\) に代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~2 \cdot 3+b&=&-3
\\[3pt]~~~6+b&=&-3
\\[3pt]~~~b&=&-9\end{eqnarray}\)
\({\rm [\,B\,]}\) に代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~3+(-9)+c&=&-13
\\[3pt]~~~-6+c&=&-13
\\[3pt]~~~c&=&-7\end{eqnarray}\)
よって、\(a=3~,~b=-9~,~c=-7\) のとき、
\({\small [\,1\,]}\) より、
\(f(x)=x^3+3x^2-9x-7~~~\cdots{\small [\,3\,]}\)
\({\small [\,2\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~f^{\prime}(x)&=&3x^2+6x-9
\\[3pt]~~~&=&3(x^2+2x-3)
\\[3pt]~~~&=&3(x+3)(x-1)\end{eqnarray}\)
\(f^{\prime}(x)=0\) となるのは、\(x=-3~,~1\)
よって、この \(x\) の前後での\(f^{\prime}(x)\) の符号は、
\(x \lt -3\) のとき、\(f^{\prime}(x) \gt 0\)
\(-3 \lt x \lt 1\) のとき、\(f^{\prime}(x) \lt 0\)
\(1 \lt x\) のとき、\(f^{\prime}(x) \gt 0\)
さらに、
\(x=-3\) のとき、
\(\begin{eqnarray}~~~f(-3)&=&(-3)^3+3 \cdot (-3)^2-9 \cdot (-3)-7
\\[3pt]~~~&=&-27+27+27-7
\\[3pt]~~~&=&20\end{eqnarray}\)
\\[3pt]~~~&=&-27+27+27-7
\\[3pt]~~~&=&20\end{eqnarray}\)
\(x=1\) のとき、
\(\begin{eqnarray}~~~f(1)&=&1^3+3 \cdot 1^2-9 \cdot 1-7
\\[3pt]~~~&=&1+3-9-7
\\[3pt]~~~&=&-12\end{eqnarray}\)
これより、\(f^{\prime}(x)\) の符号と \(f(x)\) の増減表は、
\(\begin{array}{c|ccccc}
x & \cdots & -3 & \cdots & 1 & \cdots \\
\hline
f^{\prime}(x) & + & 0 & – & 0 & + \\
\hline
f(x) & \nearrow & 20 & \searrow & -12 & \nearrow
\end{array}\)
よって、関数 \({\small [\,3\,]}\) は、
\(x=-3\) で極大値 \(20\)
\(x=1\) で極小値 \(-12\)
となり、条件を満たす
したがって、
\(a=3~,~b=-9~,~c=-7\)
問題アーカイブ05
問題アーカイブ05関数 \(f(x)=x^3+ax^2+bx+1\) が、\(x=-1\) で極大値を、\(x=3\) で極小値をとるように、定数 \(a~,~b\) の値を定めよ。また、極値を求めよ。
数研出版｜新編数学Ⅱ[711] p.201 補充問題 5
\(f(x)=x^3+ax^2+bx+1~~~\cdots{\small [\,1\,]}\)
\(f(x)\) を微分すると、
\(\begin{eqnarray}~~~f^{\prime}(x)&=&(x^3)^{\prime}+a(x^2)^{\prime}+b(x)^{\prime}+(1)^{\prime}
\\[3pt]~~~&=&3x^2+a \cdot 2x+b \cdot 1+0
\\[3pt]~~~&=&3x^2+2ax+b~~~\cdots{\small [\,2\,]}\end{eqnarray}\)
\(x=-1\) で極大値をとるので、
\({\small [\,2\,]}\) より \(f^{\prime}(-1)=0\) とすると、
\(\begin{eqnarray}~~~f^{\prime}(-1)=3 \cdot (-1)^2+2a \cdot (-1)+b&=&0
\\[3pt]~~~3-2a+b&=&0
\\[3pt]~~~-2a+b&=&-3
\\[3pt]~~~2a-b&=&3~~~\cdots{\rm [\,A\,]}\end{eqnarray}\)
\\[3pt]~~~3-2a+b&=&0
\\[3pt]~~~-2a+b&=&-3
\\[3pt]~~~2a-b&=&3~~~\cdots{\rm [\,A\,]}\end{eqnarray}\)
\(x=3\) で極小値をとるので、
\({\small [\,2\,]}\) より \(f^{\prime}(3)=0\) とすると、
\(\begin{eqnarray}~~~f^{\prime}(3)=3 \cdot 3^2+2a \cdot 3+b&=&0
\\[3pt]~~~27+6a+b&=&0
\\[3pt]~~~6a+b&=&-27~~~\cdots{\rm [\,B\,]}\end{eqnarray}\)
\\[3pt]~~~27+6a+b&=&0
\\[3pt]~~~6a+b&=&-27~~~\cdots{\rm [\,B\,]}\end{eqnarray}\)
\({\rm [\,A\,]}\) と \({\rm [\,B\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~~~
2a-b&=&3\\~~
+\big{)}~~~6a+b&=&-27\\
\hline 8a&=&-24
\\[3pt] a&=&-3\end{eqnarray}\)
\({\rm [\,B\,]}\) に代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~6 \cdot (-3)+b&=&-27
\\[3pt]~~~-18+b&=&-27
\\[3pt]~~~b&=&-9\end{eqnarray}\)
よって、\(a=-3~,~b=-9\) のとき、
\({\small [\,1\,]}\) より、
\(f(x)=x^3-3x^2-9x+1~~~\cdots{\small [\,3\,]}\)
\({\small [\,2\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~f^{\prime}(x)&=&3x^2-6x-9
\\[3pt]~~~&=&3(x^2-2x-3)
\\[3pt]~~~&=&3(x+1)(x-3)\end{eqnarray}\)
\(f^{\prime}(x)=0\) となるのは、\(x=-1~,~3\)
よって、この \(x\) の前後での\(f^{\prime}(x)\) の符号は、
\(x \lt -1\) のとき、\(f^{\prime}(x) \gt 0\)
\(-1 \lt x \lt 3\) のとき、\(f^{\prime}(x) \lt 0\)
\(3 \lt x\) のとき、\(f^{\prime}(x) \gt 0\)
さらに、
\(x=-1\) のとき、
\(\begin{eqnarray}~~~f(-1)&=&(-1)^3-3 \cdot (-1)^2-9 \cdot (-1)+1
\\[3pt]~~~&=&-1-3+9+1
\\[3pt]~~~&=&6\end{eqnarray}\)
\(x=3\) のとき、
\(\begin{eqnarray}~~~f(3)&=&3^3-3 \cdot 3^2-9 \cdot 3+1
\\[3pt]~~~&=&27-27-27+1
\\[3pt]~~~&=&-26\end{eqnarray}\)
これより、\(f^{\prime}(x)\) の符号と \(f(x)\) の増減表は、
\(\begin{array}{c|ccccc}
x & \cdots & -1 & \cdots & 3 & \cdots \\
\hline
f^{\prime}(x) & + & 0 & – & 0 & + \\
\hline
f(x) & \nearrow & 6 & \searrow & -26 & \nearrow
\end{array}\)
よって、関数 \({\small [\,3\,]}\) は、
\(x=-1\) で極大値 \(6\)
\(x=3\) で極小値 \(-26\)
となり、条件を満たす
したがって、
\(a=-3~,~b=-9\)、極大値は \(6\)、極小値は \(-26\)
問題アーカイブ06
問題アーカイブ06関数 \(f(x)=-x^3+ax^2+bx\) が \(x=-1\) で極小値、\(x=2\) で極大値をとるような定数 \(a~,~b\) の値を求めよ。また、そのときの極値を求めよ。
東京書籍｜Advanced数学Ⅱ[701] p.212 問9
\(f(x)=-x^3+ax^2+bx~~~\cdots{\small [\,1\,]}\)
\(f(x)\) を微分すると、
\(\begin{eqnarray}~~~f^{\prime}(x)&=&-(x^3)^{\prime}+a(x^2)^{\prime}+b(x)^{\prime}
\\[3pt]~~~&=&-3x^2+a \cdot 2x+b \cdot 1
\\[3pt]~~~&=&-3x^2+2ax+b~~~\cdots{\small [\,2\,]}\end{eqnarray}\)
\(x=-1\) で極小値をとるので、
\({\small [\,2\,]}\) より \(f^{\prime}(-1)=0\) とすると、
\(\begin{eqnarray}~~~f^{\prime}(-1)=-3 \cdot (-1)^2+2a \cdot (-1)+b&=&0
\\[3pt]~~~-3-2a+b&=&0
\\[3pt]~~~-2a+b&=&3~~~\cdots{\rm [\,A\,]}\end{eqnarray}\)
\\[3pt]~~~-3-2a+b&=&0
\\[3pt]~~~-2a+b&=&3~~~\cdots{\rm [\,A\,]}\end{eqnarray}\)
\(x=2\) で極大値をとるので、
\({\small [\,2\,]}\) より \(f^{\prime}(2)=0\) とすると、
\(\begin{eqnarray}~~~f^{\prime}(2)=-3 \cdot 2^2+2a \cdot 2+b&=&0
\\[3pt]~~~-12+4a+b&=&0
\\[3pt]~~~4a+b&=&12~~~\cdots{\rm [\,B\,]}\end{eqnarray}\)
\\[3pt]~~~-12+4a+b&=&0
\\[3pt]~~~4a+b&=&12~~~\cdots{\rm [\,B\,]}\end{eqnarray}\)
\({\rm [\,B\,]}-{\rm [\,A\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~~~
4a+b&=&12\\~~
-\big{)}~~~-2a+b&=&3\\
\hline 6a&=&9
\\[5pt] a&=&\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}\end{eqnarray}\)
\({\rm [\,A\,]}\) に代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~-2 \cdot \displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}+b&=&3
\\[5pt]~~~-3+b&=&3
\\[3pt]~~~b&=&6\end{eqnarray}\)
よって、\(a=\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}~,~b=6\) のとき、
\({\small [\,1\,]}\) より、
\(f(x)=-x^3+\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}x^2+6x~~~\cdots{\small [\,3\,]}\)
\({\small [\,2\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~f^{\prime}(x)&=&-3x^2+3x+6
\\[3pt]~~~&=&-3(x^2-x-2)
\\[3pt]~~~&=&-3(x+1)(x-2)\end{eqnarray}\)
\(f^{\prime}(x)=0\) となるのは、\(x=-1~,~2\)
よって、この \(x\) の前後での\(f^{\prime}(x)\) の符号は、
\(x \lt -1\) のとき、\(f^{\prime}(x) \lt 0\)
\(-1 \lt x \lt 2\) のとき、\(f^{\prime}(x) \gt 0\)
\(2 \lt x\) のとき、\(f^{\prime}(x) \lt 0\)
さらに、
\(x=-1\) のとき、
\(\begin{eqnarray}~~~f(-1)&=&-(-1)^3+\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,} \cdot (-1)^2+6 \cdot (-1)
\\[5pt]~~~&=&1+\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}-6
\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,7\,}{\,2\,}\end{eqnarray}\)
\(x=2\) のとき、
\(\begin{eqnarray}~~~f(2)&=&-2^3+\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,} \cdot 2^2+6 \cdot 2
\\[5pt]~~~&=&-8+6+12
\\[3pt]~~~&=&10\end{eqnarray}\)
これより、\(f^{\prime}(x)\) の符号と \(f(x)\) の増減表は、
\(\begin{array}{c|ccccc}
x & \cdots & -1 & \cdots & 2 & \cdots \\
\hline
f^{\prime}(x) & – & 0 & + & 0 & – \\
\hline
f(x) & \searrow & \vphantom{\frac{\,0\,}{\,0\,}}-\displaystyle \frac{\,7\,}{\,2\,} & \nearrow & 10 & \searrow
\end{array}\)
よって、関数 \({\small [\,3\,]}\) は、
\(x=-1\) で極小値 \(-\displaystyle \frac{\,7\,}{\,2\,}\)
\(x=2\) で極大値 \(10\)
となり、条件を満たす
したがって、
\(a=\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}~,~b=6\)、極小値は \(-\displaystyle \frac{\,7\,}{\,2\,}\)、極大値は \(10\)
問題アーカイブ07
問題アーカイブ07関数 \(f(x)=-x^4+2ax^2+3\) が \(x=1\) において極値をとるとき、定数 \(a\) の値を求めよ。また、\(y=f(x)\) のグラフをかけ。
東京書籍｜Advanced数学Ⅱ[701] p.11 問
\(f(x)=-x^4+2ax^2+3~~~\cdots{\small [\,1\,]}\)
\(f(x)\) を微分すると、
\(\begin{eqnarray}~~~f^{\prime}(x)&=&-(x^4)^{\prime}+2a(x^2)^{\prime}+(3)^{\prime}
\\[3pt]~~~&=&-4x^3+2a \cdot 2x+0
\\[3pt]~~~&=&-4x^3+4ax~~~\cdots{\small [\,2\,]}\end{eqnarray}\)
\(x=1\) で極値をとるので、
\({\small [\,2\,]}\) より \(f^{\prime}(1)=0\) とすると、
\(\begin{eqnarray}~~~f^{\prime}(1)&=&-4 \cdot 1^3+4a \cdot 1=0
\\[3pt]~~~&&-4+4a=0
\\[3pt]~~~&&a=1\end{eqnarray}\)
よって、\(a=1\) のとき、
\(f(x)=-x^4+2x^2+3\) とおき、\(f(x)\) を微分すると、
\(\begin{eqnarray}~~~f^{\prime}(x)&=&-(x^4)^{\prime}+2 \cdot (x^2)^{\prime}+(3)^{\prime}
\\[3pt]~~~&=&-4x^3+2 \cdot 2x
\\[3pt]~~~&=&-4x^3+4x
\\[3pt]~~~&=&-4x(x^2-1)
\\[3pt]~~~&=&-4x(x+1)(x-1)\end{eqnarray}\)
\(f^{\prime}(x)=0\) となる \(x\) の値は、
\(\begin{eqnarray}~~~f^{\prime}(x)&=&-4x(x+1)(x-1)=0
\\[3pt]~~~&&x=-1~,~0~,~1\end{eqnarray}\)
\(y=f^{\prime}(x)\) のグラフより、
よって、この \(x\) の前後での \(f^{\prime}(x)\) の符号は、
\(x \lt -1\) のとき、\(f^{\prime}(x) \gt 0\)
\(-1 \lt x \lt 0\) のとき、\(f^{\prime}(x) \lt 0\)
\(0 \lt x \lt 1\) のとき、\(f^{\prime}(x) \gt 0\)
\(1 \lt x\) のとき、\(f^{\prime}(x) \lt 0\)
さらに、
\(x=-1\) のとき、
\(\begin{eqnarray}~~~f(-1)&=&-(-1)^4+2 \cdot (-1)^2+3
\\[3pt]~~~&=&-1+2+3
\\[3pt]~~~&=&4\end{eqnarray}\)
\(x=0\) のとき、
\(\begin{eqnarray}~~~f(0)&=&-0^4+2 \cdot 0^2+3
\\[3pt]~~~&=&3\end{eqnarray}\)
\(x=1\) のとき、
\(\begin{eqnarray}~~~f(1)&=&-1^4+2 \cdot 1^2+3
\\[3pt]~~~&=&-1+2+3
\\[3pt]~~~&=&4\end{eqnarray}\)
よって、\(f^{\prime}(x)\) の符号と \(f(x)\) の増減は、
\(\begin{array}{c|ccccccc}x & \cdots & -1 & \cdots & 0 & \cdots & 1 & \cdots \\\hline f^{\prime}(x) & + & 0 & – & 0 & + & 0 & – \\\hline f(x) & \nearrow & 4 & \searrow & 3 & \nearrow & 4 & \searrow\end{array}\)
これより、
\(x=-1\) のとき、極大値 \(4\)
\(x=0\) のとき、極小値 \(3\)
\(x=1\) のとき、極大値 \(4\)
したがって、\(a=1\)
また、点 \((-1~,~4)~,~\)\((0~,~3)~,~\)\((1~,~4)\) を通るので、\(y=-x^4+2x^2+3\) のグラフは、
問題アーカイブ08
問題アーカイブ083次関数 \(f(x)=x^3+3ax^2+b\) が \(x=-2\) で極大値 \(6\) をとるような定数 \(a~,~b\) の値を求めよ。また、極小値を求めよ。
東京書籍｜Advanced数学Ⅱ[701] p.244 練習問題A 2
\(f(x)=x^3+3ax^2+b~~~\cdots{\small [\,1\,]}\)
\(f(x)\) を微分すると、
\(\begin{eqnarray}~~~f^{\prime}(x)&=&(x^3)^{\prime}+3a(x^2)^{\prime}+(b)^{\prime}
\\[3pt]~~~&=&3x^2+3a \cdot 2x+0
\\[3pt]~~~&=&3x^2+6ax~~~\cdots{\small [\,2\,]}\end{eqnarray}\)
\(x=-2\) で極大値 \(6\) をとるので、
\(f(-2)=6\) かつ \(f^{\prime}(-2)=0\)
\({\small [\,2\,]}\) より \(f^{\prime}(-2)=0\) とすると、
\(\begin{eqnarray}~~~f^{\prime}(-2)=3 \cdot (-2)^2+6a \cdot (-2)&=&0
\\[3pt]~~~12-12a&=&0
\\[3pt]~~~a&=&1~~~\cdots{\rm [\,A\,]}\end{eqnarray}\)
\\[3pt]~~~12-12a&=&0
\\[3pt]~~~a&=&1~~~\cdots{\rm [\,A\,]}\end{eqnarray}\)
\({\small [\,1\,]}\) より \(f(-2)=6\) とすると、
\(\begin{eqnarray}~~~f(-2)=(-2)^3+3a \cdot (-2)^2+b&=&6
\\[3pt]~~~-8+12a+b&=&6~~~\cdots{\rm [\,B\,]}\end{eqnarray}\)
\\[3pt]~~~-8+12a+b&=&6~~~\cdots{\rm [\,B\,]}\end{eqnarray}\)
\({\rm [\,A\,]}\) を \({\rm [\,B\,]}\) に代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~-8+12 \cdot 1+b&=&6
\\[3pt]~~~4+b&=&6
\\[3pt]~~~b&=&2\end{eqnarray}\)
よって、\(a=1~,~b=2\) のとき、
\({\small [\,1\,]}\) より、
\(f(x)=x^3+3x^2+2~~~\cdots{\small [\,3\,]}\)
\({\small [\,2\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~f^{\prime}(x)&=&3x^2+6x
\\[3pt]~~~&=&3x(x+2)\end{eqnarray}\)
\(f^{\prime}(x)=0\) となるのは、\(x=-2~,~0\)
よって、この \(x\) の前後での\(f^{\prime}(x)\) の符号は、
\(x \lt -2\) のとき、\(f^{\prime}(x) \gt 0\)
\(-2 \lt x \lt 0\) のとき、\(f^{\prime}(x) \lt 0\)
\(0 \lt x\) のとき、\(f^{\prime}(x) \gt 0\)
さらに、
\(x=-2\) のとき、
\(\begin{eqnarray}~~~f(-2)&=&(-2)^3+3 \cdot (-2)^2+2
\\[3pt]~~~&=&-8+12+2
\\[3pt]~~~&=&6\end{eqnarray}\)
\(x=0\) のとき、
\(\begin{eqnarray}~~~f(0)&=&0^3+3 \cdot 0^2+2
\\[3pt]~~~&=&2\end{eqnarray}\)
これより、\(f^{\prime}(x)\) の符号と \(f(x)\) の増減表は、
\(\begin{array}{c|ccccc}
x & \cdots & -2 & \cdots & 0 & \cdots \\
\hline
f^{\prime}(x) & + & 0 & – & 0 & + \\
\hline
f(x) & \nearrow & 6 & \searrow & 2 & \nearrow
\end{array}\)
よって、関数 \({\small [\,3\,]}\) は、
\(x=-2\) で極大値 \(6\)
\(x=0\) で極小値 \(2\)
となり、条件を満たす
したがって、
\(a=1~,~b=2\)、極小値は \(2\)
問題アーカイブ09
問題アーカイブ093次関数 \(f(x)\) は \(x=2\) で極小値 \(3\) をとり、\(x=4\) で極大値 \(5\) をとる。このとき、関数 \(f(x)\) を求めよ。
東京書籍｜Advanced数学Ⅱ[701] p.245 練習問題B 9
この3次関数を、
\(f(x)=ax^3+bx^2+cx+d~~~\cdots{\small [\,1\,]}\)
として、微分すると、
\(\begin{eqnarray}~~~f^{\prime}(x)&=&a(x^3)^{\prime}+b(x^2)^{\prime}+c(x)^{\prime}+(d)^{\prime}
\\[3pt]~~~&=&a \cdot 3x^2+b \cdot 2x+c \cdot 1+0
\\[3pt]~~~&=&3ax^2+2bx+c~~~\cdots{\small [\,2\,]}\end{eqnarray}\)
\(x=2\) で極小値 \(3\) をとるので、
\(f(2)=3\) かつ \(f^{\prime}(2)=0\)
\({\small [\,1\,]}\) より \(f(2)=3\) とすると、
\(\begin{eqnarray}~~~f(2)=a \cdot 2^3+b \cdot 2^2+c \cdot 2+d&=&3
\\[3pt]~~~8a+4b+2c+d&=&3~~~\cdots{\rm [\,A\,]}\end{eqnarray}\)
\\[3pt]~~~8a+4b+2c+d&=&3~~~\cdots{\rm [\,A\,]}\end{eqnarray}\)
\({\small [\,2\,]}\) より \(f^{\prime}(2)=0\) とすると、
\(\begin{eqnarray}~~~f^{\prime}(2)=3a \cdot 2^2+2b \cdot 2+c&=&0
\\[3pt]~~~12a+4b+c&=&0~~~\cdots{\rm [\,B\,]}\end{eqnarray}\)
\\[3pt]~~~12a+4b+c&=&0~~~\cdots{\rm [\,B\,]}\end{eqnarray}\)
\(x=4\) で極大値 \(5\) をとるので、
\(f(4)=5\) かつ \(f^{\prime}(4)=0\)
\({\small [\,1\,]}\) より \(f(4)=5\) とすると、
\(\begin{eqnarray}~~~f(4)=a \cdot 4^3+b \cdot 4^2+c \cdot 4+d&=&5
\\[3pt]~~~64a+16b+4c+d&=&5~~~\cdots{\rm [\,C\,]}\end{eqnarray}\)
\\[3pt]~~~64a+16b+4c+d&=&5~~~\cdots{\rm [\,C\,]}\end{eqnarray}\)
\({\small [\,2\,]}\) より \(f^{\prime}(4)=0\) とすると、
\(\begin{eqnarray}~~~f^{\prime}(4)=3a \cdot 4^2+2b \cdot 4+c&=&0
\\[3pt]~~~48a+8b+c&=&0~~~\cdots{\rm [\,D\,]}\end{eqnarray}\)
\\[3pt]~~~48a+8b+c&=&0~~~\cdots{\rm [\,D\,]}\end{eqnarray}\)
\({\rm [\,D\,]}-{\rm [\,B\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~~~
48a+8b+c&=&0\\~~
-\big{)}~~~12a+4b+c&=&0\\
\hline 36a+4b&=&0
\\[3pt]~~~9a+b&=&0
\\[3pt]~~~b&=&-9a~~~\cdots{\rm [\,E\,]}\end{eqnarray}\)
\({\rm [\,E\,]}\) を \({\rm [\,B\,]}\) に代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~12a+4 \cdot (-9a)+c&=&0
\\[3pt]~~~12a-36a+c&=&0
\\[3pt]~~~c&=&24a~~~\cdots{\rm [\,F\,]}\end{eqnarray}\)
\({\rm [\,C\,]}-{\rm [\,A\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~~~
64a+16b+4c+d&=&5\\~~
-\big{)}~~~8a+4b+2c+d&=&3\\
\hline 56a+12b+2c&=&2
\\[3pt]~~~28a+6b+c&=&1~~~\cdots{\rm [\,G\,]}\end{eqnarray}\)
\({\rm [\,E\,]}\) と \({\rm [\,F\,]}\) を \({\rm [\,G\,]}\) に代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~28a+6 \cdot (-9a)+24a&=&1
\\[3pt]~~~28a-54a+24a&=&1
\\[3pt]~~~-2a&=&1
\\[5pt]~~~a&=&-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\end{eqnarray}\)
\({\rm [\,E\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~b&=&-9 \cdot \left(-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\right)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,9\,}{\,2\,}\end{eqnarray}\)
\({\rm [\,F\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~c&=&24 \cdot \left(-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\right)
\\[5pt]~~~&=&-12\end{eqnarray}\)
\({\rm [\,A\,]}\) に代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~8 \cdot \left(-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\right)+4 \cdot \displaystyle \frac{\,9\,}{\,2\,}+2 \cdot (-12)+d&=&3
\\[5pt]~~~-4+18-24+d&=&3
\\[3pt]~~~-10+d&=&3
\\[3pt]~~~d&=&13\end{eqnarray}\)
よって、\(a=-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}~,~b=\displaystyle \frac{\,9\,}{\,2\,}~,~c=-12~,~d=13\) のとき、
\({\small [\,1\,]}\) より、
\(f(x)=-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}x^3+\displaystyle \frac{\,9\,}{\,2\,}x^2-12x+13~~~\cdots{\small [\,3\,]}\)
\({\small [\,2\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~f^{\prime}(x)&=&-\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}x^2+9x-12
\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}(x^2-6x+8)
\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}(x-2)(x-4)\end{eqnarray}\)
\(f^{\prime}(x)=0\) となるのは、\(x=2~,~4\)
よって、この \(x\) の前後での\(f^{\prime}(x)\) の符号は、
\(x \lt 2\) のとき、\(f^{\prime}(x) \lt 0\)
\(2 \lt x \lt 4\) のとき、\(f^{\prime}(x) \gt 0\)
\(4 \lt x\) のとき、\(f^{\prime}(x) \lt 0\)
さらに、
\(x=2\) のとき、
\(\begin{eqnarray}~~~f(2)&=&-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,} \cdot 2^3+\displaystyle \frac{\,9\,}{\,2\,} \cdot 2^2-12 \cdot 2+13
\\[5pt]~~~&=&-4+18-24+13
\\[3pt]~~~&=&3\end{eqnarray}\)
\(x=4\) のとき、
\(\begin{eqnarray}~~~f(4)&=&-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,} \cdot 4^3+\displaystyle \frac{\,9\,}{\,2\,} \cdot 4^2-12 \cdot 4+13
\\[5pt]~~~&=&-32+72-48+13
\\[3pt]~~~&=&5\end{eqnarray}\)
これより、\(f^{\prime}(x)\) の符号と \(f(x)\) の増減表は、
\(\begin{array}{c|ccccc}
x & \cdots & 2 & \cdots & 4 & \cdots \\
\hline
f^{\prime}(x) & – & 0 & + & 0 & – \\
\hline
f(x) & \searrow & 3 & \nearrow & 5 & \searrow
\end{array}\)
よって、関数 \({\small [\,3\,]}\) は、
\(x=2\) で極小値 \(3\)
\(x=4\) で極大値 \(5\)
となり、条件を満たす
したがって、\(f(x)=-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}x^3+\displaystyle \frac{\,9\,}{\,2\,}x^2-12x+13\)
問題アーカイブ10
問題アーカイブ10関数 \(f(x)=4x^3+3ax^2+b\) が \(x=2\) において極小値 \(-7\) をとるような定数 \(a~,~b\) の値を求めよ。
東京書籍｜Standard数学Ⅱ[702] p.218 問16
\(f(x)=4x^3+3ax^2+b~~~\cdots{\small [\,1\,]}\)
\(f(x)\) を微分すると、
\(\begin{eqnarray}~~~f^{\prime}(x)&=&4(x^3)^{\prime}+3a(x^2)^{\prime}+(b)^{\prime}
\\[3pt]~~~&=&4 \cdot 3x^2+3a \cdot 2x+0
\\[3pt]~~~&=&12x^2+6ax~~~\cdots{\small [\,2\,]}\end{eqnarray}\)
\(x=2\) で極小値 \(-7\) をとるので、
\(f(2)=-7\) かつ \(f^{\prime}(2)=0\)
\({\small [\,2\,]}\) より \(f^{\prime}(2)=0\) とすると、
\(\begin{eqnarray}~~~f^{\prime}(2)=12 \cdot 2^2+6a \cdot 2&=&0
\\[3pt]~~~48+12a&=&0
\\[3pt]~~~a&=&-4~~~\cdots{\rm [\,A\,]}\end{eqnarray}\)
\\[3pt]~~~48+12a&=&0
\\[3pt]~~~a&=&-4~~~\cdots{\rm [\,A\,]}\end{eqnarray}\)
\({\small [\,1\,]}\) より \(f(2)=-7\) とすると、
\(\begin{eqnarray}~~~f(2)=4 \cdot 2^3+3a \cdot 2^2+b&=&-7
\\[3pt]~~~32+12a+b&=&-7~~~\cdots{\rm [\,B\,]}\end{eqnarray}\)
\\[3pt]~~~32+12a+b&=&-7~~~\cdots{\rm [\,B\,]}\end{eqnarray}\)
\({\rm [\,A\,]}\) を \({\rm [\,B\,]}\) に代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~32+12 \cdot (-4)+b&=&-7
\\[3pt]~~~32-48+b&=&-7
\\[3pt]~~~-16+b&=&-7
\\[3pt]~~~b&=&9\end{eqnarray}\)
よって、\(a=-4~,~b=9\) のとき、
\({\small [\,1\,]}\) より、
\(f(x)=4x^3-12x^2+9~~~\cdots{\small [\,3\,]}\)
\({\small [\,2\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~f^{\prime}(x)&=&12x^2-24x
\\[3pt]~~~&=&12x(x-2)\end{eqnarray}\)
\(f^{\prime}(x)=0\) となるのは、\(x=0~,~2\)
よって、この \(x\) の前後での\(f^{\prime}(x)\) の符号は、
\(x \lt 0\) のとき、\(f^{\prime}(x) \gt 0\)
\(0 \lt x \lt 2\) のとき、\(f^{\prime}(x) \lt 0\)
\(2 \lt x\) のとき、\(f^{\prime}(x) \gt 0\)
さらに、
\(x=0\) のとき、
\(\begin{eqnarray}~~~f(0)&=&4 \cdot 0^3-12 \cdot 0^2+9
\\[3pt]~~~&=&9\end{eqnarray}\)
\(x=2\) のとき、
\(\begin{eqnarray}~~~f(2)&=&4 \cdot 2^3-12 \cdot 2^2+9
\\[3pt]~~~&=&32-48+9
\\[3pt]~~~&=&-7\end{eqnarray}\)
これより、\(f^{\prime}(x)\) の符号と \(f(x)\) の増減表は、
\(\begin{array}{c|ccccc}
x & \cdots & 0 & \cdots & 2 & \cdots \\
\hline
f^{\prime}(x) & + & 0 & – & 0 & + \\
\hline
f(x) & \nearrow & 9 & \searrow & -7 & \nearrow
\end{array}\)
よって、関数 \({\small [\,3\,]}\) は、
\(x=0\) で極大値 \(9\)
\(x=2\) で極小値 \(-7\)
となり、条件を満たす
したがって、
\(a=-4~,~b=9\)
問題アーカイブ11
問題アーカイブ11関数 \(f(x)=x^3+ax^2+b\) が \(x=-2\) において極大値 \(2\) をとるような定数 \(a~,~b\) の値を求めよ。また、そのときの \(f(x)\) の極小値を求めよ。
東京書籍｜Standard数学Ⅱ[702] p.226 Training 11
\(f(x)=x^3+ax^2+b~~~\cdots{\small [\,1\,]}\)
\(f(x)\) を微分すると、
\(\begin{eqnarray}~~~f^{\prime}(x)&=&(x^3)^{\prime}+a(x^2)^{\prime}+(b)^{\prime}
\\[3pt]~~~&=&3x^2+a \cdot 2x+0
\\[3pt]~~~&=&3x^2+2ax~~~\cdots{\small [\,2\,]}\end{eqnarray}\)
\(x=-2\) で極大値 \(2\) をとるので、
\(f(-2)=2\) かつ \(f^{\prime}(-2)=0\)
\({\small [\,2\,]}\) より \(f^{\prime}(-2)=0\) とすると、
\(\begin{eqnarray}~~~f^{\prime}(-2)=3 \cdot (-2)^2+2a \cdot (-2)&=&0
\\[3pt]~~~12-4a&=&0
\\[3pt]~~~a&=&3~~~\cdots{\rm [\,A\,]}\end{eqnarray}\)
\\[3pt]~~~12-4a&=&0
\\[3pt]~~~a&=&3~~~\cdots{\rm [\,A\,]}\end{eqnarray}\)
\({\small [\,1\,]}\) より \(f(-2)=2\) とすると、
\(\begin{eqnarray}~~~f(-2)=(-2)^3+a \cdot (-2)^2+b&=&2
\\[3pt]~~~-8+4a+b&=&2~~~\cdots{\rm [\,B\,]}\end{eqnarray}\)
\\[3pt]~~~-8+4a+b&=&2~~~\cdots{\rm [\,B\,]}\end{eqnarray}\)
\({\rm [\,A\,]}\) を \({\rm [\,B\,]}\) に代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~-8+4 \cdot 3+b&=&2
\\[3pt]~~~-8+12+b&=&2
\\[3pt]~~~4+b&=&2
\\[3pt]~~~b&=&-2\end{eqnarray}\)
よって、\(a=3~,~b=-2\) のとき、
\({\small [\,1\,]}\) より、
\(f(x)=x^3+3x^2-2~~~\cdots{\small [\,3\,]}\)
\({\small [\,2\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~f^{\prime}(x)&=&3x^2+6x
\\[3pt]~~~&=&3x(x+2)\end{eqnarray}\)
\(f^{\prime}(x)=0\) となるのは、\(x=-2~,~0\)
よって、この \(x\) の前後での\(f^{\prime}(x)\) の符号は、
\(x \lt -2\) のとき、\(f^{\prime}(x) \gt 0\)
\(-2 \lt x \lt 0\) のとき、\(f^{\prime}(x) \lt 0\)
\(0 \lt x\) のとき、\(f^{\prime}(x) \gt 0\)
さらに、
\(x=-2\) のとき、
\(\begin{eqnarray}~~~f(-2)&=&(-2)^3+3 \cdot (-2)^2-2
\\[3pt]~~~&=&-8+12-2
\\[3pt]~~~&=&2\end{eqnarray}\)
\(x=0\) のとき、
\(\begin{eqnarray}~~~f(0)&=&0^3+3 \cdot 0^2-2
\\[3pt]~~~&=&-2\end{eqnarray}\)
これより、\(f^{\prime}(x)\) の符号と \(f(x)\) の増減表は、
\(\begin{array}{c|ccccc}
x & \cdots & -2 & \cdots & 0 & \cdots \\
\hline
f^{\prime}(x) & + & 0 & – & 0 & + \\
\hline
f(x) & \nearrow & 2 & \searrow & -2 & \nearrow
\end{array}\)
よって、関数 \({\small [\,3\,]}\) は、
\(x=-2\) で極大値 \(2\)
\(x=0\) で極小値 \(-2\)
となり、条件を満たす
したがって、
\(a=3~,~b=-2\)、極小値は \(-2\)
