3次関数が常に単調に増加する条件

\(f(x)=x^3+3ax^2+3x\) を微分すると、

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\(\begin{eqnarray}~~~f^{\prime}(x)&=&(x^3)^{\prime}+3a(x^2)^{\prime}+3(x)^{\prime}
\\[3pt]~~~&=&3x^2+3a \cdot 2x+3 \cdot 1
\\[3pt]~~~&=&3x^2+6ax+3\end{eqnarray}\)

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関数 \(f(x)\) が単調増加のためには常に \(f^{\prime}(x){\small ~≧~}0\) となればよいので、

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　\(f^{\prime}(x)=3x^2+6ax+3{\small ~≧~}0\)

2次方程式 \(3x^2+6ax+3=0\) の判別式より、

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\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,D\,}{\,4\,}=(3a)^2-3 \cdot 3&{\small ~≦~}&0
\\[5pt]~~~9a^2-9&{\small ~≦~}&0
\\[3pt]~~~9(a^2-1)&{\small ~≦~}&0
\\[3pt]~~~9(a+1)(a-1)&{\small ~≦~}&0\end{eqnarray}\)

したがって、\(-1{\small ~≦~}a{\small ~≦~}1\) となる