このページは、「3次関数が常に単調に増加する条件」の練習問題アーカイブページとなります。
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問題アーカイブ01
問題アーカイブ01関数 \(f(x)=x^3+ax^2+3x\) が常に単調に増加するように、定数 \(a\) の値の範囲を定めよ。
数研出版｜数学Ⅱ[709] p.220 問題 14
\(f(x)=x^3+ax^2+3x\) を微分すると、
\(\begin{eqnarray}~~~f^{\prime}(x)&=&(x^3)^{\prime}+a(x^2)^{\prime}+3(x)^{\prime}
\\[3pt]~~~&=&3x^2+a \cdot 2x+3 \cdot 1
\\[3pt]~~~&=&3x^2+2ax+3\end{eqnarray}\)
関数 \(f(x)\) が単調増加のためには常に \(f^{\prime}(x){\small ~≧~}0\) となればよいので、
\(f^{\prime}(x)=3x^2+2ax+3{\small ~≧~}0\)
※ 2次関数 \(3x^2+2ax+3{\small ~≧~}0\) が常に成り立つとき、
\(y=3x^2+2ax+3\) のグラフが、\(x\) 軸と交わらない or 1点で交わることより、条件は \(D{\small ~≦~}0\) となる。
2次方程式 \(3x^2+2ax+3=0\) の判別式より、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,D\,}{\,4\,}=a^2-3 \cdot 3&{\small ~≦~}&0
\\[5pt]~~~a^2-9&{\small ~≦~}&0
\\[3pt]~~~(a+3)(a-3)&{\small ~≦~}&0\end{eqnarray}\)
\(y=(a+3)(a-3)\) のグラフは、
\(y{\small ~≦~}0\) の範囲は \(-3{\small ~≦~}a{\small ~≦~}3\)
したがって、\(-3{\small ~≦~}a{\small ~≦~}3\) となる
問題アーカイブ02
問題アーカイブ02関数 \(f(x)=x^3+3x^2+kx\) が常に増加するように、定数 \(k\) の値の範囲を定めよ。
数研出版｜高等学校数学Ⅱ[710] p.230 章末問題B 10
数研出版｜新編数学Ⅱ[711] p.221 章末問題B 9
\(f(x)=x^3+3x^2+kx\) を微分すると、
\(\begin{eqnarray}~~~f^{\prime}(x)&=&(x^3)^{\prime}+3(x^2)^{\prime}+k(x)^{\prime}
\\[3pt]~~~&=&3x^2+3 \cdot 2x+k \cdot 1
\\[3pt]~~~&=&3x^2+6x+k\end{eqnarray}\)
関数 \(f(x)\) が単調増加のためには常に \(f^{\prime}(x){\small ~≧~}0\) となればよいので、
\(f^{\prime}(x)=3x^2+6x+k{\small ~≧~}0\)
※ 2次関数 \(3x^2+6x+k{\small ~≧~}0\) が常に成り立つとき、
\(y=3x^2+6x+k\) のグラフが、\(x\) 軸と交わらない or 1点で交わることより、条件は \(D{\small ~≦~}0\) となる。
2次方程式 \(3x^2+6x+k=0\) の判別式より、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,D\,}{\,4\,}=3^2-3 \cdot k&{\small ~≦~}&0
\\[5pt]~~~9-3k&{\small ~≦~}&0
\\[3pt]~~~-3k&{\small ~≦~}&-9
\\[3pt]~~~k&{\small ~≧~}&3\end{eqnarray}\)
したがって、\(k{\small ~≧~}3\) となる
