3次関数が極値をもつorもたない条件

\(f(x)=x^3+ax^2+3x\) を微分すると、

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\(\begin{eqnarray}~~~f^{\prime}(x)&=&(x^3)^{\prime}+a(x^2)^{\prime}+3 \cdot (x)^{\prime}
\\[3pt]~~~&=&3x^2+a \cdot 2x+3 \cdot 1
\\[3pt]~~~&=&3x^2+2ax+3\end{eqnarray}\)

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\(f(x)\) が極大値と極小値をもつには、

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\(f^{\prime}(x)=0\) は異なる2つの実数解をもてばよい

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よって、2次方程式 \(3x^2+2ax+3=0\) の判別式が \(D \gt 0\) であればよい

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\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,D\,}{\,4\,}=a^2-3 \cdot 3 &\gt& 0
\\[5pt]~~~a^2-9 &\gt& 0
\\[3pt]~~~(a+3)(a-3) &\gt& 0\end{eqnarray}\)

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したがって、\(a \lt -3~,~3 \lt a\) となる

 
 

また、極値をもたない条件は、

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\(f^{\prime}(x)=0\) が実数解を1つもつまたは、実数解をもたないときであり、

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2次方程式 \(3x^2+2ax+3=0\) の判別式が \(D{\small ~≦~}0\) であればよい

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\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,D\,}{\,4\,}=a^2-3 \cdot 3&{\small ~≦~}&0
\\[5pt]~~~a^2-9&{\small ~≦~}&0
\\[3pt]~~~(a+3)(a-3)&{\small ~≦~}&0\end{eqnarray}\)

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したがって、\(-3{\small ~≦~}a{\small ~≦~}3\) となる