このページは、「3次関数が極値をもつorもたない条件」の練習問題アーカイブページとなります。
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3次関数が極値をもつorもたない条件 で確認できます。
問題アーカイブ01
問題アーカイブ01関数 \(f(x)=x^3-ax^2+(1-2a)x+4\) が極大値と極小値をもつような定数 \(a\) の値の範囲を求めよ。
数研出版｜高等学校数学Ⅱ[710] p.207 問題 12
\(f(x)=x^3-ax^2+(1-2a)x+4\) を微分すると、
\(\begin{eqnarray}~~~f^{\prime}(x)&=&(x^3)^{\prime}-a(x^2)^{\prime}+(1-2a) \cdot (x)^{\prime}+(4)^{\prime}
\\[3pt]~~~&=&3x^2-a \cdot 2x+(1-2a) \cdot 1+0
\\[3pt]~~~&=&3x^2-2ax+1-2a\end{eqnarray}\)
\(f(x)\) が極大値と極小値をもつには、
\(f^{\prime}(x)=0\) は異なる2つの実数解をもてばよい
よって、2次方程式 \(3x^2-2ax+1-2a=0\) の判別式が \(D \gt 0\) であればよい
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,D\,}{\,4\,}=(-a)^2-3 \cdot (1-2a) &\gt& 0
\\[5pt]~~~a^2-3+6a &\gt& 0
\\[3pt]~~~a^2+6a-3 &\gt& 0\end{eqnarray}\)
ここで、\(a^2+6a-3=0\) を解くと、
\(\begin{eqnarray}~~~a&=&\displaystyle \frac{\,-6 \pm \sqrt{\,36+12\,}\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,-6 \pm \sqrt{\,48\,}\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,-6 \pm 4\sqrt{\,3\,}\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~&=&-3 \pm 2\sqrt{\,3\,}\end{eqnarray}\)
\(y=(a+3-2\sqrt{\,3\,})(a+3+2\sqrt{\,3\,})\) の \(a\) のグラフは、
\(y \gt 0\) の範囲は \(a \lt -3-2\sqrt{\,3\,}~,~-3+2\sqrt{\,3\,} \lt a\)
したがって、\(a \lt -3-2\sqrt{\,3\,}~,~-3+2\sqrt{\,3\,} \lt a\) となる
問題アーカイブ02
問題アーカイブ02関数 \(f(x)=x^3+ax^2+3x+2\) が極大値と極小値をもつような定数 \(a\) の値の範囲を求めよ。
東京書籍｜Advanced数学Ⅱ[701] p.218 問題 13
\(f(x)=x^3+ax^2+3x+2\) を微分すると、
\(\begin{eqnarray}~~~f^{\prime}(x)&=&(x^3)^{\prime}+a(x^2)^{\prime}+3 \cdot (x)^{\prime}+(2)^{\prime}
\\[3pt]~~~&=&3x^2+a \cdot 2x+3 \cdot 1+0
\\[3pt]~~~&=&3x^2+2ax+3\end{eqnarray}\)
\(f(x)\) が極大値と極小値をもつには、
\(f^{\prime}(x)=0\) は異なる2つの実数解をもてばよい
よって、2次方程式 \(3x^2+2ax+3=0\) の判別式が \(D \gt 0\) であればよい
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,D\,}{\,4\,}=a^2-3 \cdot 3 &\gt& 0
\\[5pt]~~~a^2-9 &\gt& 0
\\[3pt]~~~(a+3)(a-3) &\gt& 0\end{eqnarray}\)
\(y=(a+3)(a-3)\) の \(a\) のグラフは、
\(y \gt 0\) の範囲は \(a \lt -3~,~3 \lt a\)
したがって、\(a \lt -3~,~3 \lt a\) となる
問題アーカイブ03
問題アーカイブ033次関数 \(f(x)=x^3+ax^2+ax+1\) が極値をもたないように，定数 \(a\) の値の範囲を定めよ。
東京書籍｜Advanced数学Ⅱ[701] p.244 練習問題A 3
\(f(x)=x^3+ax^2+ax+1\) を微分すると、
\(\begin{eqnarray}~~~f^{\prime}(x)&=&(x^3)^{\prime}+a(x^2)^{\prime}+a \cdot (x)^{\prime}+(1)^{\prime}
\\[3pt]~~~&=&3x^2+a \cdot 2x+a \cdot 1+0
\\[3pt]~~~&=&3x^2+2ax+a\end{eqnarray}\)
極値をもたない条件は、
\(f^{\prime}(x)=0\) が実数解を1つもつまたは、実数解をもたないときであり、
2次方程式 \(3x^2+2ax+a=0\) の判別式が \(D{\small ~≦~}0\) であればよい
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,D\,}{\,4\,}=a^2-3 \cdot a&{\small ~≦~}&0
\\[5pt]~~~a^2-3a&{\small ~≦~}&0
\\[3pt]~~~a(a-3)&{\small ~≦~}&0\end{eqnarray}\)
\(y=a(a-3)\) の \(a\) のグラフは、
\(y{\small ~≦~}0\) の範囲は \(0{\small ~≦~}a{\small ~≦~}3\)
したがって、\(0{\small ~≦~}a{\small ~≦~}3\) となる
