- 数学Ⅱ｜微分と積分「定数を含む関数の極値」の基本例題解説ページです。
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問題｜定数を含む関数の極値
微分と積分 24☆\(a\) を定数として、関数 \(y=x^2(x-a)\) の極値の調べ方は？
高校数学Ⅱ｜微分と積分
解法のPoint
定数を含む関数の極値
Point：定数を含む関数の極値
① 関数を微分して導関数 \(f^{\prime}(x)\) を求める。
\(f^{\prime}(x)=x(3x-2a)\)
② \(f^{\prime}(x)=0\) となる2つの \(x\) 値の大小関係より、\(a\) の値で場合分けをする。
\(f^{\prime}(x)=0\) より \(x=0~,~\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}a\)
よって、\({\small [\,1\,]}\) \(a \gt 0\) \({\small [\,2\,]}\) \(a=0\) \({\small [\,3\,]}\) \(a \lt 0\)
で場合分けをする。
③ それぞれの場合で \(f^{\prime}(x)\) の符号を調べて、極値を求める。
定数を含む関数の極値は、
① 関数を微分して導関数 \(f^{\prime}(x)\) を求める。
\(f^{\prime}(x)=x(3x-2a)\)
② \(f^{\prime}(x)=0\) となる2つの \(x\) 値の大小関係より、\(a\) の値で場合分けをする。
\(f^{\prime}(x)=0\) より \(x=0~,~\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}a\)
よって、\({\small [\,1\,]}\) \(a \gt 0\) \({\small [\,2\,]}\) \(a=0\) \({\small [\,3\,]}\) \(a \lt 0\)
で場合分けをする。
③ それぞれの場合で \(f^{\prime}(x)\) の符号を調べて、極値を求める。
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詳しい解説｜定数を含む関数の極値
微分と積分 24☆
\(a\) を定数として、関数 \(y=x^2(x-a)\) の極値の調べ方は？
高校数学Ⅱ｜微分と積分
\(f(x)=x^2(x-a)\) とおくと、
\(\begin{eqnarray}~~~f(x)&=&x^3-ax^2\end{eqnarray}\)
微分すると、
\(\begin{eqnarray}~~~f^{\prime}(x)&=&(x^3)^{\prime}-a \cdot (x^2)^{\prime}
\\[3pt]~~~&=&3x^2-a \cdot 2x
\\[3pt]~~~&=&x(3x-2a)\end{eqnarray}\)
\(f^{\prime}(x)=0\) となる \(x\) の値は、
\(\begin{eqnarray}~~~f^{\prime}(x)=x(3x-2a)&=&0
\\[3pt]~~~x&=&0~,~\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}a\end{eqnarray}\)
\({\small [\,1\,]}\) \(a \gt 0\) のとき、\(0 \lt \displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}a\) であるので、
\(y=x(3x-2a)\) のグラフは、
よって、この \(x\) の前後での \(f^{\prime}(x)\) の符号は、
\(x \lt 0\) のとき、\(f^{\prime}(x) \gt 0\)
\(0 \lt x \lt \displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}a\) のとき、\(f^{\prime}(x) \lt 0\)
\(\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}a \lt x\) のとき、\(f^{\prime}(x) \gt 0\)
さらに、
\(x=0\) のとき、\(f(0)=0\)
\(x=\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}a\) のとき、
\(\begin{eqnarray}~~~f\left(\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}a\right)&=&\left(\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}a\right)^2 \cdot \left(\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}a-a\right)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,4\,}{\,9\,}a^2 \cdot \left(-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}a\right)
\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,4\,}{\,27\,}a^3\end{eqnarray}\)
よって、\(f^{\prime}(x)\) の符号と \(f(x)\) の増減は、
\(\begin{array}{c|ccccc}
x & \cdots & 0 & \cdots & \displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}a & \cdots \\[3pt]
\hline
f^{\prime}(x) & + & 0 & – & 0 & + \\[3pt]
\hline
f(x) & \nearrow & 0 & \searrow & -\displaystyle \frac{\,4\,}{\,27\,}a^3 & \nearrow
\end{array}\)
したがって、
\(x=0\) のとき 極大値 \(0\)
\(x=\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}a\) のとき 極小値 \(-\displaystyle \frac{\,4\,}{\,27\,}a^3\)
\({\small [\,2\,]}\) \(a=0\) のとき、
\(f(x)=x^3\) で \(f^{\prime}(x)=3x^2\) である ので、
\(x \neq 0\) のとき、\(f^{\prime}(x) \gt 0\)
よって、\(f(x)\) は常に単調に増加する
したがって、極値はない
\({\small [\,3\,]}\) \(a \lt 0\) のとき、\(\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}a \lt 0\) であるので、
\(y=x(3x-2a)\) のグラフは、
よって、この \(x\) の前後での \(f^{\prime}(x)\) の符号は、
\(x \lt \displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}a\) のとき、\(f^{\prime}(x) \gt 0\)
\(\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}a \lt x \lt 0\) のとき、\(f^{\prime}(x) \lt 0\)
\(0 \lt x\) のとき、\(f^{\prime}(x) \gt 0\)
よって、\(f^{\prime}(x)\) の符号と \(f(x)\) の増減は、
\(\begin{array}{c|ccccc}
x & \cdots & \displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}a & \cdots & 0 & \cdots \\[3pt]
\hline
f^{\prime}(x) & + & 0 & – & 0 & + \\[3pt]
\hline
f(x) & \nearrow & -\displaystyle \frac{\,4\,}{\,27\,}a^3 & \searrow & 0 & \nearrow
\end{array}\)
したがって、
\(x=\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}a\) のとき 極大値 \(-\displaystyle \frac{\,4\,}{\,27\,}a^3\)
\(x=0\) のとき 極小値 \(0\)
