このページは、「定数を含む関数の極値」の練習問題アーカイブページとなります。
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定数を含む関数の極値 で確認できます。
問題アーカイブ01
問題アーカイブ01\(a\) は定数とする。次の各場合に、関数 \(y=x^2(a-x)\) の極値を調べよ。
\({\small (1)}~\) \(a \lt 0\) \({\small (2)}~\) \(a=0\) \({\small (3)}~\) \(a \gt 0\)
\({\small (1)}~\) \(a \lt 0\) \({\small (2)}~\) \(a=0\) \({\small (3)}~\) \(a \gt 0\)
数研出版｜数学Ⅱ[709] p.245 演習問題A 1
\(f(x)=x^2(a-x)\) とおくと、
\(\begin{eqnarray}~~~f(x)&=&ax^2-x^3\end{eqnarray}\)
微分すると、
\(\begin{eqnarray}~~~f^{\prime}(x)&=&a \cdot (x^2)^{\prime}-(x^3)^{\prime}
\\[3pt]~~~&=&a \cdot 2x-3x^2
\\[3pt]~~~&=&x(2a-3x)\end{eqnarray}\)
\(f^{\prime}(x)=0\) となる \(x\) の値は、
\(\begin{eqnarray}~~~f^{\prime}(x)=x(2a-3x)&=&0
\\[3pt]~~~x&=&0~,~\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}a\end{eqnarray}\)
\({\small (1)}~\) \(a \lt 0\) のとき、\(\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}a \lt 0\) であるので、
\(y=x(2a-3x)\) のグラフは、
よって、この \(x\) の前後での \(f^{\prime}(x)\) の符号は、
\(x \lt \displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}a\) のとき、\(f^{\prime}(x) \lt 0\)
\(\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}a \lt x \lt 0\) のとき、\(f^{\prime}(x) \gt 0\)
\(0 \lt x\) のとき、\(f^{\prime}(x) \lt 0\)
さらに、
\(x=\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}a\) のとき、
\(\begin{eqnarray}~~~f\left(\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}a\right)&=&\left(\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}a\right)^2 \cdot \left(a-\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}a\right)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,4\,}{\,9\,}a^2 \cdot \displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}a
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,4\,}{\,27\,}a^3\end{eqnarray}\)
\(x=0\) のとき、\(f(0)=0\)
よって、\(f^{\prime}(x)\) の符号と \(f(x)\) の増減は、
\(\begin{array}{c|ccccc}
x & \cdots & \displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}a & \cdots & 0 & \cdots \\[3pt]
\hline
f^{\prime}(x) & – & 0 & + & 0 & – \\[3pt]
\hline
f(x) & \searrow & \displaystyle \frac{\,4\,}{\,27\,}a^3 & \nearrow & 0 & \searrow
\end{array}\)
したがって、
\(x=\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}a\) のとき 極小値 \(\displaystyle \frac{\,4\,}{\,27\,}a^3\)
\(x=0\) のとき 極大値 \(0\)
\({\small (2)}~\) \(a=0\) のとき、
\(f(x)=-x^3\) で \(f^{\prime}(x)=-3x^2\) であるので、
\(x \neq 0\) のとき、\(f^{\prime}(x) \lt 0\)
よって、\(f(x)\) は常に単調に減少する
したがって、極値はない
\({\small (3)}~\) \(a \gt 0\) のとき、\(0 \lt \displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}a\) であるので、
\(y=x(2a-3x)\) のグラフは、
よって、この \(x\) の前後での \(f^{\prime}(x)\) の符号は、
\(x \lt 0\) のとき、\(f^{\prime}(x) \lt 0\)
\(0 \lt x \lt \displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}a\) のとき、\(f^{\prime}(x) \gt 0\)
\(\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}a \lt x\) のとき、\(f^{\prime}(x) \lt 0\)
さらに、
\(x=0\) のとき、\(f(0)=0\)
\(x=\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}a\) のとき、
\(\begin{eqnarray}~~~f\left(\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}a\right)&=&\left(\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}a\right)^2 \cdot \left(a-\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}a\right)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,4\,}{\,9\,}a^2 \cdot \displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}a
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,4\,}{\,27\,}a^3\end{eqnarray}\)
よって、\(f^{\prime}(x)\) の符号と \(f(x)\) の増減は、
\(\begin{array}{c|ccccc}
x & \cdots & 0 & \cdots & \displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}a & \cdots \\[3pt]
\hline
f^{\prime}(x) & – & 0 & + & 0 & – \\[3pt]
\hline
f(x) & \searrow & 0 & \nearrow & \displaystyle \frac{\,4\,}{\,27\,}a^3 & \searrow
\end{array}\)
したがって、
\(x=0\) のとき 極小値 \(0\)
\(x=\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}a\) のとき 極大値 \(\displaystyle \frac{\,4\,}{\,27\,}a^3\)
