- 数学Ⅱ｜微分と積分「3次関数や4次関数の最大値・最小値」の基本例題解説ページです。
- 目次をクリックすると各セクションへ移動します。
問題｜3次関数や4次関数の最大値・最小値
微分と積分 25関数 \(y=x^3-3x\) \((-2{\small ~≦~}x{\small ~≦~}3)\) の最大値・最小値の求め方は？また、関数 \(y=x^4-2x^2\) \((0{\small ~≦~}x{\small ~≦~}2)\) の最大値・最小値の求め方は？
高校数学Ⅱ｜微分と積分
解法のPoint
3次関数や4次関数の最大値・最小値
Point：3次関数や4次関数の最大値・最小値
① \(f(x)\) を微分して導関数 \(f^{\prime}(x)\) とおき、\(f^{\prime}(x)=0\) となる \(x\) の値を求める。
\(\begin{eqnarray}~~~f^{\prime}(x)=3x^2-3&=&0\\[3pt]~~~3(x+1)(x-1)&=&0\\[3pt]~~~x&=&-1~,~1\end{eqnarray}\)
② ①の \(x\) の値の前後の \(f^{\prime}(x)\) の符号と、\(f(x)\) の値、区間の端の点の \(f(x)\) の値を求める。
\(x \lt -1\) のとき、\(f^{\prime}(x) \gt 0\)
\(-1 \lt x \lt 1\) のとき、\(f^{\prime}(x) \lt 0\)
\(1 \lt x\) のとき、\(f^{\prime}(x) \gt 0\)
また、
\(x=-1\) のとき、\(f(-1)=2\)
\(x=1\) のとき、\(f(1)=-2\)
\(x=-2\) のとき、\(f(-2)=-2\)
\(x=3\) のとき、\(f(3)=18\)
③ 区間における増減表をつくり、グラフより、最大値・最小値を求める。
\(x=3\) のとき最大値 \(18\)
\(x=-2~,~1\) のとき最小値 \(-2\)
3次関数や4次関数の最大値・最小値は、
① \(f(x)\) を微分して導関数 \(f^{\prime}(x)\) とおき、\(f^{\prime}(x)=0\) となる \(x\) の値を求める。
\(\begin{eqnarray}~~~f^{\prime}(x)=3x^2-3&=&0\\[3pt]~~~3(x+1)(x-1)&=&0\\[3pt]~~~x&=&-1~,~1\end{eqnarray}\)
② ①の \(x\) の値の前後の \(f^{\prime}(x)\) の符号と、\(f(x)\) の値、区間の端の点の \(f(x)\) の値を求める。
\(x \lt -1\) のとき、\(f^{\prime}(x) \gt 0\)
\(-1 \lt x \lt 1\) のとき、\(f^{\prime}(x) \lt 0\)
\(1 \lt x\) のとき、\(f^{\prime}(x) \gt 0\)
また、
\(x=-1\) のとき、\(f(-1)=2\)
\(x=1\) のとき、\(f(1)=-2\)
\(x=-2\) のとき、\(f(-2)=-2\)
\(x=3\) のとき、\(f(3)=18\)
③ 区間における増減表をつくり、グラフより、最大値・最小値を求める。
\(x=3\) のとき最大値 \(18\)
\(x=-2~,~1\) のとき最小値 \(-2\)
©︎ 2026 教科書より詳しい高校数学 yorikuwa.com
詳しい解説｜3次関数や4次関数の最大値・最小値
微分と積分 25
関数 \(y=x^3-3x\) \((-2{\small ~≦~}x{\small ~≦~}3)\) の最大値・最小値の求め方は？また、関数 \(y=x^4-2x^2\) \((0{\small ~≦~}x{\small ~≦~}2)\) の最大値・最小値の求め方は？
高校数学Ⅱ｜微分と積分
\(f(x)=x^3-3x\) とおき、\(f(x)\) を微分すると、
\(\begin{eqnarray}~~~f^{\prime}(x)&=&(x^3)^{\prime}-3 \cdot (x)^{\prime}\\[3pt]~~~&=&3x^2-3\\[3pt]~~~&=&3(x^2-1)\\[3pt]~~~&=&3(x+1)(x-1)\end{eqnarray}\)
\(f^{\prime}(x)=0\) となる \(x\) の値は、
\(\begin{eqnarray}~~~f^{\prime}(x)&=&3(x+1)(x-1)=0\\[3pt]~~~&&x=-1~,~1\end{eqnarray}\)
2次関数 \(y=f^{\prime}(x)\) のグラフより、
よって、区間 \(-2{\small ~≦~}x{\small ~≦~}3\) における \(f^{\prime}(x)\) の符号は、
\(x \lt -1\) のとき、\(f^{\prime}(x) \gt 0\)
\(-1 \lt x \lt 1\) のとき、\(f^{\prime}(x) \lt 0\)
\(1 \lt x\) のとき、\(f^{\prime}(x) \gt 0\)
さらに、
\(x=-1\) のとき、
\(\begin{eqnarray}~~~f(-1)&=&(-1)^3-3 \cdot (-1)\\[3pt]~~~&=&-1+3\\[3pt]~~~&=&2\end{eqnarray}\)
\(x=1\) のとき、
\(\begin{eqnarray}~~~f(1)&=&1^3-3 \cdot 1\\[3pt]~~~&=&1-3\\[3pt]~~~&=&-2\end{eqnarray}\)
また、区間の端の値について、
\(x=-2\) のとき、
\(\begin{eqnarray}~~~f(-2)&=&(-2)^3-3 \cdot (-2)\\[3pt]~~~&=&-8+6\\[3pt]~~~&=&-2\end{eqnarray}\)
\(x=3\) のとき、
\(\begin{eqnarray}~~~f(3)&=&3^3-3 \cdot 3\\[3pt]~~~&=&27-9\\[3pt]~~~&=&18\end{eqnarray}\)
これより、区間 \(-2{\small ~≦~}x{\small ~≦~}3\) における増減表は、
\(\begin{array}{c|ccccccc}x & -2 & \cdots & -1 & \cdots & 1 & \cdots & 3 \\\hline f^{\prime}(x) & & + & 0 & – & 0 & + & \\\hline f(x) & -2 & \nearrow & 2 & \searrow & -2 & \nearrow & 18\end{array}\)
したがって、グラフより、
\(x=3\) のとき最大値 \(18\)
\(x=-2~,~1\) のとき最小値 \(-2\)
\(f(x)=x^4-2x^2\) とおき、\(f(x)\) を微分すると、
\(\begin{eqnarray}~~~f^{\prime}(x)&=&(x^4)^{\prime}-2 \cdot (x^2)^{\prime}\\[3pt]~~~&=&4x^3-2 \cdot 2x\\[3pt]~~~&=&4x^3-4x\\[3pt]~~~&=&4x(x^2-1)\\[3pt]~~~&=&4x(x+1)(x-1)\end{eqnarray}\)
\(f^{\prime}(x)=0\) となる \(x\) の値は、
\(\begin{eqnarray}~~~f^{\prime}(x)&=&4x(x+1)(x-1)=0\\[3pt]~~~&&x=-1~,~0~,~1\end{eqnarray}\)
\(y=f^{\prime}(x)\) のグラフより、
よって、区間 \(0{\small ~≦~}x{\small ~≦~}2\) における \(f^{\prime}(x)\) の符号は、
\(0 \lt x \lt 1\) のとき、\(f^{\prime}(x) \lt 0\)
\(1 \lt x\) のとき、\(f^{\prime}(x) \gt 0\)
さらに、
\(x=0\) のとき、
\(\begin{eqnarray}~~~f(0)&=&0^4-2 \cdot 0^2\\[3pt]~~~&=&0\end{eqnarray}\)
\(x=1\) のとき、
\(\begin{eqnarray}~~~f(1)&=&1^4-2 \cdot 1^2\\[3pt]~~~&=&1-2\\[3pt]~~~&=&-1\end{eqnarray}\)
また、区間の端の値について、
\(x=2\) のとき、
\(\begin{eqnarray}~~~f(2)&=&2^4-2 \cdot 2^2\\[3pt]~~~&=&16-8\\[3pt]~~~&=&8\end{eqnarray}\)
これより、区間 \(0{\small ~≦~}x{\small ~≦~}2\) における増減表は、
\(\begin{array}{c|ccccc}x & 0 & \cdots & 1 & \cdots & 2 \\\hline f^{\prime}(x) & 0 & – & 0 & + & \\\hline f(x) & 0 & \searrow & -1 & \nearrow & 8\end{array}\)
したがって、グラフより、
\(x=2\) のとき最大値 \(8\)
\(x=1\) のとき最小値 \(-1\)
