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問題｜3次関数と体積の最大値
微分と積分 26底面の半径と高さの和が \(9~{\rm cm}\) の円柱の体積の最大値の求め方は？また、半径 \(3~{\rm cm}\) の球に内接する円柱の体積の最大値とそのときの高さの求め方は？
高校数学Ⅱ｜微分と積分
解法のPoint
3次関数と体積の最大値
Point：3次関数と体積の最大値
① 半径や高さなどの長さのひとつを \(x\) とおき、もう一方を \(x\) の式で表し、体積 \(V\) を \(x\) の式で表す。
底面の半径 \(x\) より、高さ \(9-x\)
よって、体積 \(V=-\pi x^3+9\pi x^2\)
② 長さは正の条件より、\(x\) の値の範囲を求める。
\(x\gt 0\) かつ \(9-x\gt 0\) より、
\(0\lt x\lt 9\)
③ 体積 \(V\) を \(x\) で微分し、\(V^{\prime}=0\) の値と②の範囲より、増減表を作る。
\(\begin{eqnarray}~~~V^{\prime}=-3\pi x(x-6)&=&0
\\[3pt]~~~x&=&0~,~6
\end{eqnarray}\)
④ 増減表より、最大値とそのときの \(x\) の値を求める。
3次関数の体積の最大値は、
① 半径や高さなどの長さのひとつを \(x\) とおき、もう一方を \(x\) の式で表し、体積 \(V\) を \(x\) の式で表す。
底面の半径 \(x\) より、高さ \(9-x\)
よって、体積 \(V=-\pi x^3+9\pi x^2\)
② 長さは正の条件より、\(x\) の値の範囲を求める。
\(x\gt 0\) かつ \(9-x\gt 0\) より、
\(0\lt x\lt 9\)
③ 体積 \(V\) を \(x\) で微分し、\(V^{\prime}=0\) の値と②の範囲より、増減表を作る。
\(\begin{eqnarray}~~~V^{\prime}=-3\pi x(x-6)&=&0
\\[3pt]~~~x&=&0~,~6
\end{eqnarray}\)
④ 増減表より、最大値とそのときの \(x\) の値を求める。
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詳しい解説｜3次関数と体積の最大値
微分と積分 26
底面の半径と高さの和が \(9~{\rm cm}\) の円柱の体積の最大値の求め方は？また、半径 \(3~{\rm cm}\) の球に内接する円柱の体積の最大値とそのときの高さの求め方は？
高校数学Ⅱ｜微分と積分
円柱の底面の半径を \(x\) とすると、高さは和が \(9\) であることから \(9-x\)
よって、体積 \(V\) は、
\(\begin{eqnarray}~~~V&=&\pi x^2(9-x)\\[3pt]~~~&=&-\pi x^3+9\pi x^2\end{eqnarray}\)
また、長さは正の条件より、
\(x \gt 0\) かつ \(9-x \gt 0\)
\(\begin{eqnarray}~~~9-x &\gt& 0\\[3pt]~~~-x &\gt& -9\\[3pt]~~~x &\lt& 9\end{eqnarray}\)
よって、\(x\) の値の範囲は
\(0 \lt x \lt 9\)
次に、\(V\) を \(x\) で微分すると、
\(\begin{eqnarray}~~~V^{\prime}&=&-\pi(x^3)^{\prime}+9\pi(x^2)^{\prime}\\[3pt]~~~&=&-\pi \cdot 3x^2+9\pi \cdot 2x\\[3pt]~~~&=&-3\pi x^2+18\pi x\\[3pt]~~~&=&-3\pi x(x-6)\end{eqnarray}\)
\(V^{\prime}=0\) となる \(x\) の値は \(x=0~,~6\)
2次関数 \(y=V^{\prime}\) のグラフは、
よって、区間 \(0\lt x\lt 9\) における \(V^{\prime}\) の符号は、
\(0 \lt x \lt 6\) のとき \(V^{\prime} \gt 0\)
\(6 \lt x\) のとき \(V^{\prime} \lt 0\)
また、\(x=6\) のとき、
\(\begin{eqnarray}~~~V&=&-\pi \cdot 6^3+9\pi \cdot 6^2\\[3pt]~~~&=&6^2\pi(-6+9)\\[3pt]~~~&=&36\pi \cdot 3\\[3pt]~~~&=&108\pi\end{eqnarray}\)
これより、区間 \(0 \lt x \lt 9\) における \(V\) の増減表は、
\(\begin{array}{c|ccccc}\vphantom{\frac{\,0\,}{\,0\,}}x & 0 & \cdots & 6 & \cdots & 9 \\\hline\vphantom{\frac{\,0\,}{\,0\,}}V^{\prime} & 0 & + & 0 & – & \\\hline\vphantom{\frac{\,0\,}{\,0\,}}V & & \nearrow & 極大 & \searrow & \end{array}\)
したがって、\(x=6\) のとき最大値 \(108\pi\) となる
この円柱の高さを \(x\)、底面の半径を \(r\) とすると、
三平方の定理より、
\(\begin{eqnarray}~~~r^2+\left(\displaystyle \frac{\,x\,}{\,2\,}\right)^2&=&3^2\\[5pt]~~~r^2&=&9-\displaystyle \frac{\,x^2\,}{\,4\,}\\[5pt]~~~r&=&\sqrt{\,9-\displaystyle \frac{\,x^2\,}{\,4\,}\,}\end{eqnarray}\)
よって、円柱の体積 \(V\) は、
\(\begin{eqnarray}~~~V&=&\pi r^2 \times x\\[5pt]~~~&=&\pi\left(9-\displaystyle \frac{\,x^2\,}{\,4\,}\right)x\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,4\,}x^3+9\pi x\end{eqnarray}\)
また、長さは正の条件より、\(x \gt 0\)、\(r \gt 0\)
\(\begin{eqnarray}~~~\sqrt{\,9-\displaystyle \frac{\,x^2\,}{\,4\,}\,} &\gt& 0\\[5pt]~~~36-x^2 &\gt& 0\\[3pt]~~~x^2-36 &\lt& 0\\[3pt]~~~(x+6)(x-6) &\lt& 0
\end{eqnarray}\)
\(y=(x+6)(x-6)\) のグラフは、
\(y\lt 0\) の範囲は \(-6 \lt x \lt 6\)
よって、\(x\) の値の範囲は、
\(0 \lt x \lt 6\)
次に、\(V\) を \(x\) で微分すると、
\(\begin{eqnarray}~~~V^{\prime}&=&-\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,4\,}(x^3)^{\prime}+9\pi(x)^{\prime}\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,4\,} \cdot 3x^2+9\pi \cdot 1\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,3\,}{\,4\,}\pi x^2+9\pi\end{eqnarray}\)
\(V^{\prime}=0\) となる \(x\) の値は、
\(\begin{eqnarray}~~~-\displaystyle \frac{\,3\,}{\,4\,}\pi x^2+9\pi&=&0\\[5pt]~~~\displaystyle \frac{\,3\,}{\,4\,}\pi x^2&=&9\pi\\[5pt]~~~x^2&=&12\\[3pt]~~~x&=&2\sqrt{3}\end{eqnarray}\)
2次関数 \(y=V^{\prime}\) のグラフは、
よって、区間 \(0\lt x\lt 6\) における \(V^{\prime}\) の符号は、
\(0 \lt x \lt 2\sqrt{3}\) のとき \(V^{\prime} \gt 0\)
\(2\sqrt{3} \lt x\) のとき \(V^{\prime} \lt 0\)
また、\(x=2\sqrt{3}\) のとき、
\(\begin{eqnarray}~~~V&=&-\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,4\,}(2\sqrt{3})^3+9\pi \cdot 2\sqrt{3}\\[5pt]~~~&=&-6\sqrt{3}\pi+18\sqrt{3}\pi\\[3pt]~~~&=&12\sqrt{3}\pi\end{eqnarray}\)
これより、区間 \(0 \lt x \lt 6\) における \(V\) の増減表は、
\(\begin{array}{c|ccccc}\vphantom{\frac{\,0\,}{\,0\,}}x & 0 & \cdots & 2\sqrt{3} & \cdots & 6 \\\hline\vphantom{\frac{\,0\,}{\,0\,}}V^{\prime} & 0 & + & 0 & – & \\\hline\vphantom{\frac{\,0\,}{\,0\,}}V & & \nearrow & 極大 & \searrow & \end{array}\)
したがって、
高さ \(2\sqrt{3}~{\rm cm}\) のとき、
体積の最大値 \(12\sqrt{3}\pi~{\rm cm}^3\) となる
