3次関数と体積の最大値

数研出版｜数学Ⅱ[709] p.216 練習18
数研出版｜高等学校数学Ⅱ[710] p.207 問題 10
数研出版｜新編数学Ⅱ[711] p.201 補充問題 6

円柱の底面の半径を \(x\) とすると、直径は \(2x\) であるから、高さは和が \(18\) であることから \(18-2x\)

---

よって、体積 \(V\) は、

---

\(\begin{eqnarray}~~~V&=&\pi x^2(18-2x)\\[3pt]~~~&=&-2\pi x^3+18\pi x^2\end{eqnarray}\)

---

また、長さは正の条件より、

---

　\(x \gt 0\) かつ \(18-2x \gt 0\)

---

\(\begin{eqnarray}~~~18-2x &\gt& 0\\[3pt]~~~-2x &\gt& -18\\[3pt]~~~x &\lt& 9\end{eqnarray}\)

---

よって、\(x\) の値の範囲は

---

　\(0 \lt x \lt 9\)

---

次に、\(V\) を \(x\) で微分すると、

---

\(\begin{eqnarray}~~~V^{\prime}&=&-2\pi(x^3)^{\prime}+18\pi(x^2)^{\prime}\\[3pt]~~~&=&-2\pi \cdot 3x^2+18\pi \cdot 2x\\[3pt]~~~&=&-6\pi x^2+36\pi x\\[3pt]~~~&=&-6\pi x(x-6)\end{eqnarray}\)

---

\(V^{\prime}=0\) となる \(x\) の値は \(x=0~,~6\)

よって、区間 \(0\lt x\lt 9\) における \(V^{\prime}\) の符号は、
　\(0 \lt x \lt 6\) のとき \(V^{\prime} \gt 0\)

---

　\(6 \lt x\) のとき \(V^{\prime} \lt 0\)

---

また、\(x=6\) のとき、

---

\(\begin{eqnarray}~~~V&=&-2\pi \cdot 6^3+18\pi \cdot 6^2\\[3pt]~~~&=&6^2\pi(-12+18)\\[3pt]~~~&=&36\pi \cdot 6\\[3pt]~~~&=&216\pi\end{eqnarray}\)

---

これより、区間 \(0 \lt x \lt 9\) における \(V\) の増減表は、

---

　\(\begin{array}{c|ccccc}\vphantom{\frac{\,0\,}{\,0\,}}x & 0 & \cdots & 6 & \cdots & 9 \\\hline\vphantom{\frac{\,0\,}{\,0\,}}V^{\prime} & 0 & + & 0 & – & \\\hline\vphantom{\frac{\,0\,}{\,0\,}}V & & \nearrow & 216\pi & \searrow & \end{array}\)

---

半径 \(x=6\) のとき、高さは \(18-2 \cdot 6=6\)

---

したがって、高さが \(6~{\rm cm}\) のとき体積は最大となる

数研出版｜数学Ⅱ[709] p.220 問題 11

円柱の高さを \(x\) とすると、

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---

円錐の断面の相似より、円柱の底面の半径は、

---

\(\begin{eqnarray}~~~h:x&=&r:r-r^{\prime}
\\[3pt]~~~h(r-r^{\prime})&=&xr
\\[5pt]~~~r-r^{\prime}&=&\displaystyle \frac{\,xr\,}{\,h\,}
\\[5pt]~~~-r^{\prime}&=&-r+\displaystyle \frac{\,xr\,}{\,h\,}
\\[5pt]~~~r^{\prime}&=&r-\displaystyle \frac{\,xr\,}{\,h\,}
\\[5pt]~~~r^{\prime}&=&\displaystyle \frac{\,r\,}{\,h\,}(h-x)
\end{eqnarray}\)

---

よって、円柱の体積 \(V\) は、

---

\(\begin{eqnarray}~~~V&=&\pi\left\{\displaystyle \frac{\,r\,}{\,h\,}(h-x)\right\}^2 \times x\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\pi r^2\,}{\,h^2\,}(h-x)^2x\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\pi r^2\,}{\,h^2\,}(h^2-2hx+x^2)x\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\pi r^2\,}{\,h^2\,}(x^3-2hx^2+h^2x)\end{eqnarray}\)

---

また、長さは正の条件より、

---

　\(x \gt 0\) かつ \(h-x \gt 0\)

---

よって、\(x\) の値の範囲は

---

　\(0 \lt x \lt h\)

---

次に、\(V\) を \(x\) で微分すると、

---

\(\begin{eqnarray}~~~V^{\prime}&=&\displaystyle \frac{\,\pi r^2\,}{\,h^2\,}(3x^2-4hx+h^2)\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\pi r^2\,}{\,h^2\,}(3x-h)(x-h)\end{eqnarray}\)

---

\(V^{\prime}=0\) となる \(x\) の値は

---

\(\begin{eqnarray}~~~(3x-h)(x-h)&=&0\\[3pt]~~~x&=&\displaystyle \frac{\,h\,}{\,3\,}~,~h\end{eqnarray}\)

区間 \(0\lt x\lt h\) における \(V^{\prime}\) の符号は、

---

　\(\displaystyle 0 \lt x \lt \frac{\,h\,}{\,3\,}\) のとき \(V^{\prime} \gt 0\)

---

　\(\displaystyle \frac{\,h\,}{\,3\,} \lt x \lt h\) のとき \(V^{\prime} \lt 0\)

---

また、\(\displaystyle x=\frac{\,h\,}{\,3\,}\) のとき、

---

底面の半径は、

---

\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,r\,}{\,h\,}\left(h-\frac{\,h\,}{\,3\,}\right)&=&\displaystyle \frac{\,r\,}{\,h\,} \cdot \frac{\,2h\,}{\,3\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,2r\,}{\,3\,}\end{eqnarray}\)

---

これより、区間 \(0 \lt x \lt h\) における \(V\) の増減表は、

---

　\(\begin{array}{c|ccccc}\vphantom{\frac{\,0\,}{\,0\,}}x & 0 & \cdots & \displaystyle \frac{\,h\,}{\,3\,} & \cdots & h \\\hline\vphantom{\frac{\,0\,}{\,0\,}}V^{\prime} & & + & 0 & – & \\\hline\vphantom{\frac{\,0\,}{\,0\,}}V & & \nearrow & 極大 & \searrow & \end{array}\)

---

したがって、底面の半径 \(\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}r\)、高さ \(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}h\) のとき体積は最大となる

数研出版｜数学Ⅱ[709] p.245 演習問題A 2

円錐の高さを \(x\)、底面の半径を \(r\) とすると、

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球の中心から底面までの距離は \(x-3\) であるから、

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三平方の定理より、

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\(\begin{eqnarray}~~~r^2+(x-3)^2&=&3^2\\[3pt]~~~r^2&=&9-(x-3)^2\\[3pt]~~~&=&9-(x^2-6x+9)\\[3pt]~~~&=&6x-x^2\end{eqnarray}\)

---

よって、円錐の体積 \(V\) は、

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\(\begin{eqnarray}~~~V&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\pi r^2 \times x\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,3\,}(6x-x^2)x\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,3\,}(6x^2-x^3)\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,3\,}x^3+2\pi x^2\end{eqnarray}\)

---

また、長さは正の条件より、\(x \gt 0\)、\(r \gt 0\)

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\(\begin{eqnarray}~~~6x-x^2 &\gt& 0\\[3pt]~~~x(6-x) &\gt& 0\\[3pt]~~~x(x-6) &\lt& 0\end{eqnarray}\)

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よって、\(x\) の値の範囲は

---

　\(0 \lt x \lt 6\)

---

次に、\(V\) を \(x\) で微分すると、

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\(\begin{eqnarray}~~~V^{\prime}&=&-\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,3\,}(x^3)^{\prime}+2\pi(x^2)^{\prime}\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,3\,} \cdot 3x^2+2\pi \cdot 2x\\[5pt]~~~&=&-\pi x^2+4\pi x\\[3pt]~~~&=&-\pi x(x-4)\end{eqnarray}\)

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\(V^{\prime}=0\) となる \(x\) の値は \(x=0~,~4\)

よって、区間 \(0\lt x\lt 6\) における \(V^{\prime}\) の符号は、
　\(0 \lt x \lt 4\) のとき \(V^{\prime} \gt 0\)

---

　\(4 \lt x\) のとき \(V^{\prime} \lt 0\)

---

また、\(x=4\) のとき、

---

底面の半径は、

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\(\begin{eqnarray}~~~r^2&=&6 \cdot 4-4^2\\[3pt]~~~&=&24-16\\[3pt]~~~&=&8\\[3pt]~~~r&=&2\sqrt{2}\end{eqnarray}\)

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体積は、

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\(\begin{eqnarray}~~~V&=&-\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,3\,} \cdot 4^3+2\pi \cdot 4^2\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,64\pi\,}{\,3\,}+32\pi\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,64\pi\,}{\,3\,}+\displaystyle \frac{\,96\pi\,}{\,3\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,32\pi\,}{\,3\,}\end{eqnarray}\)

---

これより、区間 \(0 \lt x \lt 6\) における \(V\) の増減表は、

---

　\(\begin{array}{c|ccccc}\vphantom{\frac{\,0\,}{\,0\,}}x & 0 & \cdots & 4 & \cdots & 6 \\\hline\vphantom{\frac{\,0\,}{\,0\,}}V^{\prime} & 0 & + & 0 & – & \\\hline\vphantom{\frac{\,0\,}{\,0\,}}V & & \nearrow & 極大 & \searrow & \end{array}\)

---

したがって、底面の半径 \(2\sqrt{2}\)、高さ \(4\) のとき体積は最大値 \(\displaystyle \frac{\,32\pi\,}{\,3\,}\) となる

数研出版｜高等学校数学Ⅱ[710] p.203 練習21
数研出版｜新編数学Ⅱ[711] p.198 練習20

切り取る正方形の \(1\) 辺の長さを \(x\) とすると、箱の縦は \(10-2x\)、横は \(16-2x\)、高さは \(x\)

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よって、体積 \(V\) は、

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\(\begin{eqnarray}~~~V&=&x(10-2x)(16-2x)\\[3pt]~~~&=&x(160-20x-32x+4x^2)\\[3pt]~~~&=&x(4x^2-52x+160)\\[3pt]~~~&=&4x^3-52x^2+160x\end{eqnarray}\)

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また、長さは正の条件より、

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　\(x \gt 0\) かつ \(10-2x \gt 0\) かつ \(16-2x \gt 0\)

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\(\begin{eqnarray}~~~10-2x &\gt& 0\\[3pt]~~~x &\lt& 5\end{eqnarray}\)

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\(\begin{eqnarray}~~~16-2x &\gt& 0\\[3pt]~~~x &\lt& 8\end{eqnarray}\)

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よって、\(x\) の値の範囲は

---

　\(0 \lt x \lt 5\)

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次に、\(V\) を \(x\) で微分すると、

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\(\begin{eqnarray}~~~V^{\prime}&=&4(x^3)^{\prime}-52(x^2)^{\prime}+160(x)^{\prime}\\[3pt]~~~&=&4 \cdot 3x^2-52 \cdot 2x+160 \cdot 1\\[3pt]~~~&=&12x^2-104x+160\\[3pt]~~~&=&4(3x^2-26x+40)\\[3pt]~~~&=&4(3x-20)(x-2)\end{eqnarray}\)

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\(V^{\prime}=0\) となる \(x\) の値は \(\displaystyle x=2~,~\frac{\,20\,}{\,3\,}\)

区間 \(0\lt x\lt 5\) における \(V^{\prime}\) の符号は、
　\(0 \lt x \lt 2\) のとき \(V^{\prime} \gt 0\)

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　\(2 \lt x \lt 5\) のとき \(V^{\prime} \lt 0\)

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また、\(x=2\) のとき、

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\(\begin{eqnarray}~~~V&=&4 \cdot 2^3-52 \cdot 2^2+160 \cdot 2\\[3pt]~~~&=&32-208+320\\[3pt]~~~&=&144\end{eqnarray}\)

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これより、区間 \(0 \lt x \lt 5\) における \(V\) の増減表は、

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　\(\begin{array}{c|ccccc}\vphantom{\frac{\,0\,}{\,0\,}}x & 0 & \cdots & 2 & \cdots & 5 \\\hline\vphantom{\frac{\,0\,}{\,0\,}}V^{\prime} & & + & 0 & – & \\\hline\vphantom{\frac{\,0\,}{\,0\,}}V & & \nearrow & 144 & \searrow & \end{array}\)

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したがって、切り取る正方形の \(1\) 辺の長さを \(2~{\rm cm}\) にすればよい

数研出版｜高等学校数学Ⅱ[710] p.230 章末問題B 12
数研出版｜新編数学Ⅱ[711] p.221 章末問題B 11

円錐の高さを \(x\)、底面の半径を \(r\) とすると、

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球の中心から底面までの距離は \(x-10\) であるから、

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三平方の定理より、

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\(\begin{eqnarray}~~~r^2+(x-10)^2&=&10^2\\[3pt]~~~r^2&=&100-(x-10)^2\\[3pt]~~~&=&100-(x^2-20x+100)\\[3pt]~~~&=&20x-x^2\end{eqnarray}\)

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よって、円錐の体積 \(V\) は、

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\(\begin{eqnarray}~~~V&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\pi r^2 \times x\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,3\,}(20x-x^2)x\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,3\,}(20x^2-x^3)\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,3\,}x^3+\displaystyle \frac{\,20\pi\,}{\,3\,}x^2\end{eqnarray}\)

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また、長さは正の条件より、\(x \gt 0\)、\(r \gt 0\)

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\(\begin{eqnarray}~~~20x-x^2 &\gt& 0\\[3pt]~~~x(20-x) &\gt& 0\\[3pt]~~~x(x-20) &\lt& 0\end{eqnarray}\)

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よって、\(x\) の値の範囲は

---

　\(0 \lt x \lt 20\)

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次に、\(V\) を \(x\) で微分すると、

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\(\begin{eqnarray}~~~V^{\prime}&=&-\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,3\,}(x^3)^{\prime}+\displaystyle \frac{\,20\pi\,}{\,3\,}(x^2)^{\prime}\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,3\,} \cdot 3x^2+\displaystyle \frac{\,20\pi\,}{\,3\,} \cdot 2x\\[5pt]~~~&=&-\pi x^2+\displaystyle \frac{\,40\pi\,}{\,3\,}x\\[5pt]~~~&=&-\pi x\left(x-\displaystyle \frac{\,40\,}{\,3\,}\right)\end{eqnarray}\)

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\(V^{\prime}=0\) となる \(x\) の値は \(\displaystyle x=0~,~\frac{\,40\,}{\,3\,}\)

よって、区間 \(0\lt x\lt 20\) における \(V^{\prime}\) の符号は、
　\(\displaystyle 0 \lt x \lt \frac{\,40\,}{\,3\,}\) のとき \(V^{\prime} \gt 0\)

---

　\(\displaystyle \frac{\,40\,}{\,3\,} \lt x\) のとき \(V^{\prime} \lt 0\)

---

また、\(\displaystyle x=\frac{\,40\,}{\,3\,}\) のとき、

---

\(\begin{eqnarray}~~~V_1&=&-\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,3\,}\left(\frac{\,40\,}{\,3\,}\right)^3+\displaystyle \frac{\,20\pi\,}{\,3\,}\left(\frac{\,40\,}{\,3\,}\right)^2\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,3\,} \cdot \displaystyle \frac{\,64000\,}{\,27\,}+\displaystyle \frac{\,20\pi\,}{\,3\,} \cdot \displaystyle \frac{\,1600\,}{\,9\,}\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,64000\pi\,}{\,81\,}+\displaystyle \frac{\,32000\pi\,}{\,27\,}\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,64000\pi\,}{\,81\,}+\displaystyle \frac{\,96000\pi\,}{\,81\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,32000\pi\,}{\,81\,}\end{eqnarray}\)

---

これより、区間 \(0 \lt x \lt 20\) における \(V\) の増減表は、

---

　\(\begin{array}{c|ccccc}\vphantom{\frac{\,0\,}{\,0\,}}x & 0 & \cdots & \displaystyle \frac{\,40\,}{\,3\,} & \cdots & 20 \\\hline\vphantom{\frac{\,0\,}{\,0\,}}V^{\prime} & 0 & + & 0 & – & \\\hline\vphantom{\frac{\,0\,}{\,0\,}}V & & \nearrow & \displaystyle \frac{\,32000\pi\,}{\,81\,} & \searrow & \end{array}\)

---

球の体積 \(V_2\) は、

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\(\begin{eqnarray}~~~V_2&=&\displaystyle \frac{\,4\,}{\,3\,}\pi \cdot 10^3\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,4000\pi\,}{\,3\,}\end{eqnarray}\)

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よって、\(V_1\) と \(V_2\) の比は、

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\(\begin{eqnarray}~~~V_1:V_2&=&\displaystyle \frac{\,32000\pi\,}{\,81\,}:\displaystyle \frac{\,4000\pi\,}{\,3\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,32000\,}{\,81\,}:\displaystyle \frac{\,4000\,}{\,3\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,32000\,}{\,81\,}:\displaystyle \frac{\,108000\,}{\,81\,}\\[5pt]~~~&=&32000:108000\\[3pt]~~~&=&8:27\end{eqnarray}\)

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したがって、\(V_1:V_2=8:27\)

東京書籍｜Advanced数学Ⅱ[701] p.214 問11

円錐の底面の半径を \(x\) とすると、高さは和が \(30\) であることから \(30-x\)

---

よって、体積 \(V\) は、

---

\(\begin{eqnarray}~~~V&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\pi x^2(30-x)\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,3\,}x^3+10\pi x^2\end{eqnarray}\)

---

また、長さは正の条件より、

---

　\(x \gt 0\) かつ \(30-x \gt 0\)

---

\(\begin{eqnarray}~~~30-x &\gt& 0\\[3pt]~~~-x &\gt& -30\\[3pt]~~~x &\lt& 30\end{eqnarray}\)

---

よって、\(x\) の値の範囲は

---

　\(0 \lt x \lt 30\)

---

次に、\(V\) を \(x\) で微分すると、

---

\(\begin{eqnarray}~~~V^{\prime}&=&-\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,3\,}(x^3)^{\prime}+10\pi(x^2)^{\prime}\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,3\,} \cdot 3x^2+10\pi \cdot 2x\\[5pt]~~~&=&-\pi x^2+20\pi x\\[3pt]~~~&=&-\pi x(x-20)\end{eqnarray}\)

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\(V^{\prime}=0\) となる \(x\) の値は \(x=0~,~20\)

よって、区間 \(0\lt x\lt 30\) における \(V^{\prime}\) の符号は、
　\(0 \lt x \lt 20\) のとき \(V^{\prime} \gt 0\)

---

　\(20 \lt x\) のとき \(V^{\prime} \lt 0\)

---

これより、区間 \(0 \lt x \lt 30\) における \(V\) の増減表は、

---

　\(\begin{array}{c|ccccc}\vphantom{\frac{\,0\,}{\,0\,}}x & 0 & \cdots & 20 & \cdots & 30 \\\hline\vphantom{\frac{\,0\,}{\,0\,}}V^{\prime} & 0 & + & 0 & – & \\\hline\vphantom{\frac{\,0\,}{\,0\,}}V & & \nearrow & 極大 & \searrow & \end{array}\)

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半径 \(x=20\) のとき、高さは \(30-20=10\)

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したがって、底面の半径 \(20~{\rm cm}\)、高さ \(10~{\rm cm}\) のとき体積は最大となる

東京書籍｜Advanced数学Ⅱ[701] p.218 問題 14
東京書籍｜Standard数学Ⅱ[702] p.226 Training 14

\(\triangle {\rm POH}\) の底辺は \({\rm OH}=x\)、高さは \({\rm PH}=y=-x^2+6x\)

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よって、面積 \(S\) は、

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\(\begin{eqnarray}~~~S&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,} \cdot x \cdot (-x^2+6x)\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}(-x^3+6x^2)\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}x^3+3x^2\end{eqnarray}\)

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また、面積は正の条件より、

---

　\(x \gt 0\) かつ \(-x^2+6x \gt 0\)

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\(\begin{eqnarray}~~~-x^2+6x &\gt& 0\\[3pt]~~~x(x-6) &\lt& 0\end{eqnarray}\)

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よって、\(x\) の値の範囲は

---

　\(0 \lt x \lt 6\)

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次に、\(S\) を \(x\) で微分すると、

---

\(\begin{eqnarray}~~~S^{\prime}&=&-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}(x^3)^{\prime}+3(x^2)^{\prime}\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,} \cdot 3x^2+3 \cdot 2x\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}x^2+6x\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}x(x-4)\end{eqnarray}\)

---

\(S^{\prime}=0\) となる \(x\) の値は \(x=0~,~4\)

よって、区間 \(0\lt x\lt 6\) における \(S^{\prime}\) の符号は、
　\(0 \lt x \lt 4\) のとき \(S^{\prime} \gt 0\)

---

　\(4 \lt x\) のとき \(S^{\prime} \lt 0\)

---

また、\(x=4\) のとき、

---

\(\begin{eqnarray}~~~S&=&-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,} \cdot 4^3+3 \cdot 4^2\\[5pt]~~~&=&-32+48\\[3pt]~~~&=&16\end{eqnarray}\)

---

これより、区間 \(0 \lt x \lt 6\) における \(S\) の増減表は、

---

　\(\begin{array}{c|ccccc}\vphantom{\frac{\,0\,}{\,0\,}}x & 0 & \cdots & 4 & \cdots & 6 \\\hline\vphantom{\frac{\,0\,}{\,0\,}}S^{\prime} & 0 & + & 0 & – & \\\hline\vphantom{\frac{\,0\,}{\,0\,}}S & & \nearrow & 極大 & \searrow & \end{array}\)

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したがって、\(x=4\) のとき面積の最大値 \(16\)

東京書籍｜Standard数学Ⅱ[702] p.223 問19

円錐の高さを \(x\)、底面の半径を \(r\) とすると、

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三平方の定理より、

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\(\begin{eqnarray}~~~r^2+x^2&=&9^2\\[3pt]~~~r^2&=&81-x^2\end{eqnarray}\)

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よって、円錐の体積 \(V\) は、

---

\(\begin{eqnarray}~~~V&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\pi r^2 \times x\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,3\,}(81-x^2)x\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,3\,}(81x-x^3)\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,3\,}x^3+27\pi x\end{eqnarray}\)

---

また、長さは正の条件より、\(x \gt 0\)、\(r \gt 0\)

---

\(\begin{eqnarray}~~~81-x^2 &\gt& 0\\[3pt]~~~x^2-81 &\lt& 0\\[3pt]~~~(x+9)(x-9) &\lt& 0\end{eqnarray}\)

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よって、\(x\) の値の範囲は

---

　\(0 \lt x \lt 9\)

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次に、\(V\) を \(x\) で微分すると、

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\(\begin{eqnarray}~~~V^{\prime}&=&-\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,3\,}(x^3)^{\prime}+27\pi(x)^{\prime}\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,3\,} \cdot 3x^2+27\pi \cdot 1\\[5pt]~~~&=&-\pi x^2+27\pi\\[3pt]~~~&=&-\pi(x^2-27)\\[3pt]~~~&=&-\pi(x+3\sqrt{3})(x-3\sqrt{3})\end{eqnarray}\)

---

\(V^{\prime}=0\) となる \(x\) の値は \(x=-3\sqrt{3}~,~3\sqrt{3}\)

よって、区間 \(0\lt x\lt 9\) における \(V^{\prime}\) の符号は、
　\(0 \lt x \lt 3\sqrt{3}\) のとき \(V^{\prime} \gt 0\)

---

　\(3\sqrt{3} \lt x\) のとき \(V^{\prime} \lt 0\)

---

これより、区間 \(0 \lt x \lt 9\) における \(V\) の増減表は、

---

　\(\begin{array}{c|ccccc}\vphantom{\frac{\,0\,}{\,0\,}}x & 0 & \cdots & 3\sqrt{3} & \cdots & 9 \\\hline\vphantom{\frac{\,0\,}{\,0\,}}V^{\prime} & & + & 0 & – & \\\hline\vphantom{\frac{\,0\,}{\,0\,}}V & & \nearrow & 極大 & \searrow & \end{array}\)

---

したがって、\(x=3\sqrt{3}~{\rm cm}\) のとき体積は最大となる

数研出版｜数学Ⅱ[709] p.245 演習問題B 6

直線 \(x=a\) と \(2\) つの曲線との交点の \(y\) 座標は、

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\(y=x^3-5x+5\) に \(x=a\) を代入して \(y=a^3-5a+5\)

---

\(y=1-x^2\) に \(x=a\) を代入して \(y=1-a^2\)

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よって、線分 \({\rm PQ}\) の長さ \(L\) は、

---

\(\begin{eqnarray}~~~L&=&(a^3-5a+5)-(1-a^2)\\[3pt]~~~&=&a^3+a^2-5a+4\end{eqnarray}\)

---

次に、\(L\) を \(a\) で微分すると、

---

\(\begin{eqnarray}~~~L^{\prime}&=&3a^2+2a-5\\[3pt]~~~&=&(3a+5)(a-1)\end{eqnarray}\)

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\(L^{\prime}=0\) となる \(a\) の値は \(\displaystyle a=-\frac{\,5\,}{\,3\,}~,~1\)

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区間 \(0{\small ~≦~}a{\small ~≦~}2\) での値を求めると、

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\(\begin{eqnarray}~~~L(0)&=&0+0-0+4\\[3pt]~~~&=&4\end{eqnarray}\)

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\(\begin{eqnarray}~~~L(1)&=&1+1-5+4\\[3pt]~~~&=&1\end{eqnarray}\)

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\(\begin{eqnarray}~~~L(2)&=&8+4-10+4\\[3pt]~~~&=&6\end{eqnarray}\)

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区間 \(0{\small ~≦~}a{\small ~≦~}2\) における \(L\) の増減表は、

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　\(\begin{array}{c|ccccc}\vphantom{\frac{\,0\,}{\,0\,}}a & 0 & \cdots & 1 & \cdots & 2 \\\hline\vphantom{\frac{\,0\,}{\,0\,}}L^{\prime} & – & – & 0 & + & \\\hline\vphantom{\frac{\,0\,}{\,0\,}}L & 4 & \searrow & 1 & \nearrow & 6 \end{array}\)

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したがって、\(a=2\) のとき最大値 \(6\)、\(a=1\) のとき最小値 \(1\)