- 数学Ⅱ｜微分と積分「文字係数の3次関数の最大値・最小値」の基本例題解説ページです。
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問題｜文字係数の3次関数の最大値・最小値
微分と積分 27☆\(a \gt 0\) のとき、関数 \(y=2x^3-3ax^2\) \((0{\small ~≦~}x{\small ~≦~}3)\) の最小値の求め方は？
高校数学Ⅱ｜微分と積分
解法のPoint
文字係数の3次関数の最大値・最小値
Point：文字係数の3次関数の最大値・最小値
① 関数 \(f(x)\) を微分し、\(f^{\prime}(x)=0\) となる \(x\) の値を求める。
\(f^{\prime}(x)=6x(x-a)=0\) より、
\(x=0~,~a\)
② ①の \(x\) の値と区間の端点での \(f^{\prime}(x)\) の符号と、\(f(x)\) の値、区間の端点での \(f(x)\) の値を求める。
\(0 \lt x \lt a\) のとき、\(f^{\prime}(x) \lt 0\)
\(a \lt x\) のとき、\(f^{\prime}(x) \gt 0\)
また、
\(x=0\) のとき、\(f(0)=0\)
\(x=a\) のとき、\(f(a)=-a^3\)
\(x=3\) のとき、\(f(3)=54-27a\)
③ \(a\) の値の場合分けをして、それぞれの場合の増減表より最大値・最小値を求める。
\(a\) と \(3\) の大小で場合分けをする。
文字係数の3次関数の最大値・最小値は、
① 関数 \(f(x)\) を微分し、\(f^{\prime}(x)=0\) となる \(x\) の値を求める。
\(f^{\prime}(x)=6x(x-a)=0\) より、
\(x=0~,~a\)
② ①の \(x\) の値と区間の端点での \(f^{\prime}(x)\) の符号と、\(f(x)\) の値、区間の端点での \(f(x)\) の値を求める。
\(0 \lt x \lt a\) のとき、\(f^{\prime}(x) \lt 0\)
\(a \lt x\) のとき、\(f^{\prime}(x) \gt 0\)
また、
\(x=0\) のとき、\(f(0)=0\)
\(x=a\) のとき、\(f(a)=-a^3\)
\(x=3\) のとき、\(f(3)=54-27a\)
③ \(a\) の値の場合分けをして、それぞれの場合の増減表より最大値・最小値を求める。
\(a\) と \(3\) の大小で場合分けをする。
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詳しい解説｜文字係数の3次関数の最大値・最小値
微分と積分 27☆
\(a \gt 0\) のとき、関数 \(y=2x^3-3ax^2\) \((0{\small ~≦~}x{\small ~≦~}3)\) の最小値の求め方は？
高校数学Ⅱ｜微分と積分
\(f(x)=2x^3-3ax^2\) とおき、\(f(x)\) を微分すると、
\(\begin{eqnarray}~~~f^{\prime}(x)&=&2(x^3)^{\prime}-3a(x^2)^{\prime}\\[3pt]~~~&=&2 \cdot 3x^2-3a \cdot 2x\\[3pt]~~~&=&6x^2-6ax\\[3pt]~~~&=&6x(x-a)\end{eqnarray}\)
\(f^{\prime}(x)=0\) となる \(x\) の値は、
\(\begin{eqnarray}~~~f^{\prime}(x)&=&6x(x-a)=0\\[3pt]~~~&&x=0~,~a\end{eqnarray}\)
\(a \gt 0\) で \(y=f^{\prime}(x)\) のグラフより、
よって、\(0{\small ~≦~}x{\small ~≦~}3\) の区間で
\(0 \lt x \lt a\) のとき、\(f^{\prime}(x) \lt 0\)
\(a \lt x\) のとき、\(f^{\prime}(x) \gt 0\)
また、
\(x=0\) のとき、
\(\begin{eqnarray}~~~f(0)&=&2 \cdot 0^3-3a \cdot 0^2\\[3pt]~~~&=&0\end{eqnarray}\)
\(x=a\) のとき、
\(\begin{eqnarray}~~~f(a)&=&2a^3-3a \cdot a^2\\[3pt]~~~&=&2a^3-3a^3\\[3pt]~~~&=&-a^3\end{eqnarray}\)
区間の端点 \(x=3\) のとき、
\(\begin{eqnarray}~~~f(3)&=&2 \cdot 3^3-3a \cdot 3^2\\[3pt]~~~&=&54-27a\end{eqnarray}\)
※ グラフより、\(a\) と \(3\) の大小で場合分けをする。
\({\small [\,1\,]}\) \(3 \lt a\) のとき、
\(\begin{array}{c|ccc}x & 0 & \cdots & 3 \\\hline f^{\prime}(x) & 0 & – & \\\hline f(x) & 0 & \searrow & 54-27a\end{array}\)
したがって、\(x=3\) のとき 最小値 \(54-27a\)
\({\small [\,2\,]}\) \(0 \lt a{\small ~≦~}3\) のとき、
\(\begin{array}{c|ccccc}x & 0 & \cdots & a & \cdots & 3 \\\hline f^{\prime}(x) & 0 & – & 0 & + & \\\hline f(x) & 0 & \searrow & -a^3 & \nearrow & 54-27a\end{array}\)
したがって、\(x=a\) のとき 最小値 \(-a^3\)
