- 数学Ⅱ｜微分と積分「区間に文字を含む3次関数の最大値・最小値」の基本例題解説ページです。
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問題｜区間に文字を含む3次関数の最大値・最小値
微分と積分 28☆\(a \gt 0\) のとき、関数 \(y=x^3-3x\)\((0{\small ~≦~}x{\small ~≦~}a)\) の最大値の求め方は？
高校数学Ⅱ｜微分と積分
解法のPoint
区間に文字を含む3次関数の最大値・最小値
Point：区間に文字を含む3次関数の最大値・最小値
① 関数 \(f(x)\) を微分し、\(f^{\prime}(x)=0\) となる \(x\) の値を求める。
\(f^{\prime}(x)=3(x+1)(x-1)=0\) より、
\(x=-1~,~1\)
② ①の \(x\) の値の前後での \(f^{\prime}(x)\) の符号と、\(f(x)\) の値、区間の端点での \(f(x)\) の値を求める。
\(0{\small ~≦~}x \lt 1\) のとき、\(f^{\prime}(x) \lt 0\)
\(1 \lt x\) のとき、\(f^{\prime}(x) \gt 0\)
また、
\(x=0\) のとき、\(f(0)=0\)
\(x=a\) のとき、\(f(a)=a^3-3a\)
③ 増減表とグラフより、\(a\) の値で場合分けをし、それぞれの場合の最大値（最小値）を求める。
\(y=0\) となる \(x\) の値は、\(x=0~,~\sqrt{\,3\,}\)
これより、
\(a\) と \(\sqrt{\,3\,}\) の大小で場合分けをする。
区間に文字を含む3次関数の最大値・最小値は、
① 関数 \(f(x)\) を微分し、\(f^{\prime}(x)=0\) となる \(x\) の値を求める。
\(f^{\prime}(x)=3(x+1)(x-1)=0\) より、
\(x=-1~,~1\)
② ①の \(x\) の値の前後での \(f^{\prime}(x)\) の符号と、\(f(x)\) の値、区間の端点での \(f(x)\) の値を求める。
\(0{\small ~≦~}x \lt 1\) のとき、\(f^{\prime}(x) \lt 0\)
\(1 \lt x\) のとき、\(f^{\prime}(x) \gt 0\)
また、
\(x=0\) のとき、\(f(0)=0\)
\(x=a\) のとき、\(f(a)=a^3-3a\)
③ 増減表とグラフより、\(a\) の値で場合分けをし、それぞれの場合の最大値（最小値）を求める。
\(y=0\) となる \(x\) の値は、\(x=0~,~\sqrt{\,3\,}\)
これより、
\(a\) と \(\sqrt{\,3\,}\) の大小で場合分けをする。
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詳しい解説｜区間に文字を含む3次関数の最大値・最小値
微分と積分 28☆
\(a \gt 0\) のとき、関数 \(y=x^3-3x\)\((0{\small ~≦~}x{\small ~≦~}a)\) の最大値の求め方は？
高校数学Ⅱ｜微分と積分
\(f(x)=x^3-3x\) とおき、\(f(x)\) を微分すると、
\(\begin{eqnarray}~~~f^{\prime}(x)&=&(x^3)^{\prime}-3 \cdot (x)^{\prime}\\[3pt]~~~&=&3x^2-3\\[3pt]~~~&=&3(x^2-1)\\[3pt]~~~&=&3(x+1)(x-1)\end{eqnarray}\)
\(f^{\prime}(x)=0\) となる \(x\) の値は、
\(\begin{eqnarray}~~~f^{\prime}(x)&=&3(x+1)(x-1)=0\\[3pt]~~~&&x=-1~,~1\end{eqnarray}\)
\(y=f^{\prime}(x)\) のグラフより、
よって、\(x{\small ~≧~}0\) の範囲で、
\(0{\small ~≦~}x \lt 1\) のとき、\(f^{\prime}(x) \lt 0\)
\(1 \lt x\) のとき、\(f^{\prime}(x) \gt 0\)
さらに、
\(x=1\) のとき、
\(\begin{eqnarray}~~~f(1)&=&1^3-3 \cdot 1\\[3pt]~~~&=&1-3\\[3pt]~~~&=&-2\end{eqnarray}\)
また、区間の端点の \(x=0~,~a\) では、
\(x=0\) のとき、
\(\begin{eqnarray}~~~f(0)&=&0^3-3 \cdot 0\\[3pt]~~~&=&0\end{eqnarray}\)
\(x=a\) のとき、
\(f(a)=a^3-3a\)
\(x{\small ~≧~}0\) での増減表は、
\(\begin{array}{c|ccccc}x & 0 & \cdots & 1 & \cdots \\\hline f^{\prime}(x) & & – & 0 & + \\\hline f(x) & 0 & \searrow & -2 & \nearrow\end{array}\)
ここで、\(y=0\) となる \(x\) の値は、
\(\begin{eqnarray}~~~x^3-3x&=&0\\[3pt]~~~x(x^2-3)&=&0\\[3pt]~~~x&=&0~,~\pm\sqrt{\,3\,}\end{eqnarray}\)
これよりグラフは、
※ グラフより、\(a\) と \(\sqrt{\,3\,}\) の大小で場合分けをする。
\({\small [\,1\,]}\) \(0 \lt a \lt \sqrt{\,3\,}\) のとき、
\(x=0\) のとき最大値 \(0\)
\({\small [\,2\,]}\) \(a=\sqrt{\,3\,}\) のとき、
\(x=0~,~\sqrt{\,3\,}\) のとき最大値 \(0\)
\({\small [\,3\,]}\) \(\sqrt{\,3\,} \lt a\) のとき、
\(x=a\) のとき最大値 \(a^3-3a\)
