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問題アーカイブ01
問題アーカイブ01\(a \gt 0\) とする。関数 \(y=x(x-3)^2\) の \(0{\small ~≦~}x{\small ~≦~}a\) における最大値を求めよ。
数研出版｜数学Ⅱ[709] p.245 演習問題B 5
\(f(x)=x(x-3)^2\) を展開して、\(f(x)\) を微分すると、
\(\begin{eqnarray}~~~f(x)&=&x(x^2-6x+9)\\[3pt]~~~&=&x^3-6x^2+9x\end{eqnarray}\)
\(\begin{eqnarray}~~~f^{\prime}(x)&=&(x^3)^{\prime}-6 \cdot (x^2)^{\prime}+9 \cdot (x)^{\prime}\\[3pt]~~~&=&3x^2-12x+9\\[3pt]~~~&=&3(x^2-4x+3)\\[3pt]~~~&=&3(x-1)(x-3)\end{eqnarray}\)
\(f^{\prime}(x)=0\) となる \(x\) の値は、
\(\begin{eqnarray}~~~f^{\prime}(x)&=&3(x-1)(x-3)=0\\[3pt]~~~&&x=1~,~3\end{eqnarray}\)
\(y=f^{\prime}(x)\) のグラフより、
よって、\(x{\small ~≧~}0\) の範囲で、
\(0{\small ~≦~}x \lt 1\) のとき、\(f^{\prime}(x) \gt 0\)
\(1 \lt x \lt 3\) のとき、\(f^{\prime}(x) \lt 0\)
\(3 \lt x\) のとき、\(f^{\prime}(x) \gt 0\)
さらに、
\(x=1\) のとき、
\(\begin{eqnarray}~~~f(1)&=&1 \cdot (1-3)^2\\[3pt]~~~&=&1 \cdot 4\\[3pt]~~~&=&4\end{eqnarray}\)
\(x=3\) のとき、
\(\begin{eqnarray}~~~f(3)&=&3 \cdot (3-3)^2\\[3pt]~~~&=&0\end{eqnarray}\)
また、区間の端点の \(x=0~,~a\) では、
\(x=0\) のとき、
\(\begin{eqnarray}~~~f(0)&=&0 \cdot (0-3)^2\\[3pt]~~~&=&0\end{eqnarray}\)
\(x=a\) のとき、
\(f(a)=a(a-3)^2\)
\(x{\small ~≧~}0\) での増減表は、
\(\begin{array}{c|ccccccc}x & 0 & \cdots & 1 & \cdots & 3 & \cdots \\\hline f^{\prime}(x) & & + & 0 & – & 0 & + \\\hline f(x) & 0 & \nearrow & 4 & \searrow & 0 & \nearrow\end{array}\)
ここで、\(y=4\) となる \(x\) の値は、
\(\begin{eqnarray}~~~x(x-3)^2&=&4\\[3pt]~~~x^3-6x^2+9x-4&=&0\\[3pt]~~~(x-1)(x^2-5x+4)&=&0\\[3pt]~~~(x-1)(x-1)(x-4)&=&0\\[3pt]~~~(x-1)^2(x-4)&=&0\\[3pt]~~~x&=&1~,~4\end{eqnarray}\)
これよりグラフは、
※ グラフより、\(a\) と \(1~,~4\) の大小で場合分けをする。
\({\small [\,1\,]}\) \(0 \lt a{\small ~≦~}1\) のとき、
\(x=a\) のとき最大値 \(a(a-3)^2\)
\({\small [\,2\,]}\) \(1 \lt a \lt 4\) のとき、
\(x=1\) のとき最大値 \(4\)
\({\small [\,3\,]}\) \(a=4\) のとき、
\(x=1~,~4\) のとき最大値 \(4\)
\({\small [\,4\,]}\) \(4 \lt a\) のとき、
\(x=a\) のとき最大値 \(a(a-3)^2\)
