- 数学Ⅱ｜微分と積分「3次方程式・4次方程式の実数解の個数」の基本例題解説ページです。
- 目次をクリックすると各セクションへ移動します。
問題｜3次方程式・4次方程式の実数解の個数
微分と積分 293次方程式 \(x^3-3x+1=0\) の異なる実数解の個数の調べ方は？また、4次方程式 \(x^4-8x^2+4=0\) の異なる実数解の個数の調べ方は？
高校数学Ⅱ｜微分と積分
解法のPoint
3次方程式・4次方程式の実数解の個数
Point：3次方程式・4次方程式の実数解の個数
① 方程式の左辺を \(f(x)\) とおき、微分して、\(f^{\prime}(x)=0\) となる \(x\) の値を求める。
\(f^{\prime}(x)=3(x+1)(x-1)=0\)
よって、\(x=-1~,~1\)
② ①の \(x\) の値の前後での \(f^{\prime}(x)\) の符号と、\(f(x)\) の値、区間の端での \(f(x)\) の値を求める。
\(x \lt -1\) のとき、\(f^{\prime}(x) \gt 0\)
\(-1 \lt x \lt 1\) のとき、\(f^{\prime}(x) \lt 0\)
\(1 \lt x\) のとき、\(f^{\prime}(x) \gt 0\)
また、
\(x=-1\) のとき、\(f(-1)=3\)
\(x=1\) のとき、\(f(1)=-1\)
③ 増減表とグラフより、\(x\) 軸との共有点の個数＝実数解の個数を求める。
3次方程式・4次方程式の実数解の個数は、
① 方程式の左辺を \(f(x)\) とおき、微分して、\(f^{\prime}(x)=0\) となる \(x\) の値を求める。
\(f^{\prime}(x)=3(x+1)(x-1)=0\)
よって、\(x=-1~,~1\)
② ①の \(x\) の値の前後での \(f^{\prime}(x)\) の符号と、\(f(x)\) の値、区間の端での \(f(x)\) の値を求める。
\(x \lt -1\) のとき、\(f^{\prime}(x) \gt 0\)
\(-1 \lt x \lt 1\) のとき、\(f^{\prime}(x) \lt 0\)
\(1 \lt x\) のとき、\(f^{\prime}(x) \gt 0\)
また、
\(x=-1\) のとき、\(f(-1)=3\)
\(x=1\) のとき、\(f(1)=-1\)
③ 増減表とグラフより、\(x\) 軸との共有点の個数＝実数解の個数を求める。
©︎ 2026 教科書より詳しい高校数学 yorikuwa.com
詳しい解説｜3次方程式・4次方程式の実数解の個数
微分と積分 29
3次方程式 \(x^3-3x+1=0\) の異なる実数解の個数の調べ方は？また、4次方程式 \(x^4-8x^2+4=0\) の異なる実数解の個数の調べ方は？
高校数学Ⅱ｜微分と積分
\(f(x)=x^3-3x+1\) とおき、\(f(x)\) を微分すると、
\(\begin{eqnarray}~~~f^{\prime}(x)&=&(x^3)^{\prime}-3 \cdot (x)^{\prime}+(1)^{\prime}\\[3pt]~~~&=&3x^2-3 \cdot 1+0\\[3pt]~~~&=&3(x^2-1)\\[3pt]~~~&=&3(x+1)(x-1)\end{eqnarray}\)
\(f^{\prime}(x)=0\) となる \(x\) の値は、
\(\begin{eqnarray}~~~f^{\prime}(x)&=&3(x+1)(x-1)=0\\[3pt]~~~&&x=-1~,~1\end{eqnarray}\)
2次関数 \(y=f^{\prime}(x)\) のグラフより、
よって、この \(x\) の前後での \(f^{\prime}(x)\) の符号は、
\(x \lt -1\) のとき、\(f^{\prime}(x) \gt 0\)
\(-1 \lt x \lt 1\) のとき、\(f^{\prime}(x) \lt 0\)
\(1 \lt x\) のとき、\(f^{\prime}(x) \gt 0\)
さらに、
\(x=-1\) のとき、
\(\begin{eqnarray}~~~f(-1)&=&(-1)^3-3 \cdot (-1)+1\\[3pt]~~~&=&-1+3+1\\[3pt]~~~&=&3\end{eqnarray}\)
\(x=1\) のとき、
\(\begin{eqnarray}~~~f(1)&=&1^3-3 \cdot 1+1\\[3pt]~~~&=&1-3+1\\[3pt]~~~&=&-1\end{eqnarray}\)
よって、\(f^{\prime}(x)\) の符号と \(f(x)\) の増減は、
\(\begin{array}{c|ccccc}x & \cdots & -1 & \cdots & 1 & \cdots \\\hline f^{\prime}(x) & + & 0 & – & 0 & + \\\hline f(x) & \nearrow & 3 & \searrow & -1 & \nearrow\end{array}\)
よって、点 \((-1~,~3)~,~\)\((1~,~-1)\) を通り、\(y\) 切片が \(1\) より、
これより、\(y=f(x)\) のグラフは、\(x\) 軸と異なる3点で交わる
したがって、
3次方程式 \(x^3-3x+1=0\) の異なる実数解の個数は3個となる
\(f(x)=x^4-8x^2+4\) とおき、\(f(x)\) を微分すると、
\(\begin{eqnarray}~~~f^{\prime}(x)&=&(x^4)^{\prime}-8 \cdot (x^2)^{\prime}+(4)^{\prime}\\[3pt]~~~&=&4x^3-8 \cdot 2x+0\\[3pt]~~~&=&4x^3-16x\\[3pt]~~~&=&4x(x^2-4)\\[3pt]~~~&=&4x(x+2)(x-2)\end{eqnarray}\)
\(f^{\prime}(x)=0\) となる \(x\) の値は、
\(\begin{eqnarray}~~~f^{\prime}(x)&=&4x(x+2)(x-2)=0\\[3pt]~~~&&x=-2~,~0~,~2\end{eqnarray}\)
3次関数 \(y=f^{\prime}(x)\) のグラフより、
よって、この \(x\) の前後での \(f^{\prime}(x)\) の符号は、
\(x \lt -2\) のとき、\(f^{\prime}(x) \lt 0\)
\(-2 \lt x \lt 0\) のとき、\(f^{\prime}(x) \gt 0\)
\(0 \lt x \lt 2\) のとき、\(f^{\prime}(x) \lt 0\)
\(2 \lt x\) のとき、\(f^{\prime}(x) \gt 0\)
さらに、
\(x=-2\) のとき、
\(\begin{eqnarray}~~~f(-2)&=&(-2)^4-8 \cdot (-2)^2+4\\[3pt]~~~&=&16-8 \cdot 4+4\\[3pt]~~~&=&16-32+4\\[3pt]~~~&=&-12\end{eqnarray}\)
\(x=0\) のとき、
\(\begin{eqnarray}~~~f(0)&=&0^4-8 \cdot 0^2+4\\[3pt]~~~&=&4\end{eqnarray}\)
\(x=2\) のとき、
\(\begin{eqnarray}~~~f(2)&=&2^4-8 \cdot 2^2+4\\[3pt]~~~&=&16-8 \cdot 4+4\\[3pt]~~~&=&16-32+4\\[3pt]~~~&=&-12\end{eqnarray}\)
よって、\(f^{\prime}(x)\) の符号と \(f(x)\) の増減は、
\(\begin{array}{c|ccccccc}x & \cdots & -2 & \cdots & 0 & \cdots & 2 & \cdots \\\hline f^{\prime}(x) & – & 0 & + & 0 & – & 0 & + \\\hline f(x) & \searrow & -12 & \nearrow & 4 & \searrow & -12 & \nearrow\end{array}\)
よって、グラフは点 \((-2~,~-12)~,~\)\((0~,~4)~,~\)\((2~,~-12)\) を通るので、
これより、\(y=f(x)\) のグラフは、\(x\) 軸と異なる4点で交わる
したがって、
4次方程式 \(x^4-8x^2+4=0\) の異なる実数解の個数は4個となる
