方程式の実数解の個数と定数分離法

3次方程式の定数 \(a\) を右辺に移項すると、

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　\(x^3-3x=a\)

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左辺を \(f(x)=x^3-3x\) とおくと、

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この方程式の実数解の個数は、3次関数 \(y=f(x)\) と直線 \(y=a\) の共有点の個数と一致する

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\(f(x)=x^3-3x\) を微分すると、

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\(\begin{eqnarray}~~~f^{\prime}(x)&=&(x^3)^{\prime}-3 \cdot (x)^{\prime}\\[3pt]~~~&=&3x^2-3\\[3pt]~~~&=&3(x^2-1)\\[3pt]~~~&=&3(x+1)(x-1)\end{eqnarray}\)

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\(f^{\prime}(x)=0\) となる \(x\) の値は、

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\(\begin{eqnarray}~~~f^{\prime}(x)&=&3(x+1)(x-1)=0\\[3pt]~~~&&x=-1~,~1\end{eqnarray}\)

よって、この \(x\) の前後での \(f^{\prime}(x)\) の符号は、

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　\(x \lt -1\) のとき、\(f^{\prime}(x) \gt 0\)
　\(-1 \lt x \lt 1\) のとき、\(f^{\prime}(x) \lt 0\)
　\(1 \lt x\) のとき、\(f^{\prime}(x) \gt 0\)

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さらに、

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　\(x=-1\) のとき、

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　\(\begin{eqnarray}~~~f(-1)&=&(-1)^3-3 \cdot (-1)\\[3pt]~~~&=&-1+3\\[3pt]~~~&=&2\end{eqnarray}\)

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　\(x=1\) のとき、

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　\(\begin{eqnarray}~~~f(1)&=&1^3-3 \cdot 1\\[3pt]~~~&=&1-3\\[3pt]~~~&=&-2\end{eqnarray}\)

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よって、\(f^{\prime}(x)\) の符号と \(f(x)\) の増減は、

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　\(\begin{array}{c|ccccc}x & \cdots & -1 & \cdots & 1 & \cdots \\\hline f^{\prime}(x) & + & 0 & – & 0 & + \\\hline f(x) & \nearrow & 2 & \searrow & -2 & \nearrow\end{array}\)

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これより、\(y=x^3-3x\) のグラフは、点 \((-1~,~2)~,~\)\((1~,~-2)\) を通り、\(y\) 切片が \(0\) より、

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グラフより、直線 \(y=a\) との共有点の個数を調べると、

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　\(\small [\,1\,]\) \(a\gt 2\) で、\(1\) 個
　\(\small [\,2\,]\) \(a=2\) で、\(2\) 個
　\(\small [\,3\,]\) \(-2\lt a\lt 2\) で、\(3\) 個
　\(\small [\,4\,]\) \(a=-2\) で、\(2\) 個
　\(\small [\,5\,]\) \(a\lt -2\) で、\(1\) 個

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したがって、この3次方程式の実数解の個数は、

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　\(a \gt 2\) または \(a \lt -2\) のとき、\(1\) 個
　\(a=-2~,~2\) のとき、\(2\) 個
　\(-2 \lt a \lt 2\) のとき、\(3\) 個

 
 

また、1個の正の解と2個の負の解のときの定数 \(a\) の範囲は、

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3次関数 \(y=f(x)\) と直線 \(y=a\) が正の部分で1個、負の部分で2個の共有点をもてばよい

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したがって、\(0 \lt a \lt 2\) となる