方程式の実数解の個数と定数分離法

数研出版｜数学Ⅱ[709] p.218 問2

3次方程式の定数 \(a\) を右辺に移項すると、

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　\(x^3+3x^2=a\)

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左辺を \(f(x)=x^3+3x^2\) とおくと、

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この方程式の実数解の個数は、3次関数 \(y=f(x)\) と直線 \(y=a\) の共有点の個数と一致する

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\(f(x)=x^3+3x^2\) を微分すると、

---

\(\begin{eqnarray}~~~f^{\prime}(x)&=&(x^3)^{\prime}+3 \cdot (x^2)^{\prime}\\[3pt]~~~&=&3x^2+6x\\[3pt]~~~&=&3x(x+2)\end{eqnarray}\)

---

\(f^{\prime}(x)=0\) となる \(x\) の値は、

---

\(\begin{eqnarray}~~~f^{\prime}(x)&=&3x(x+2)=0\\[3pt]~~~&&x=-2~,~0\end{eqnarray}\)

よって、この \(x\) の前後での \(f^{\prime}(x)\) の符号は、

---

　\(x \lt -2\) のとき、\(f^{\prime}(x) \gt 0\)
　\(-2 \lt x \lt 0\) のとき、\(f^{\prime}(x) \lt 0\)
　\(0 \lt x\) のとき、\(f^{\prime}(x) \gt 0\)

---

さらに、

---

　\(x=-2\) のとき、

---

　\(\begin{eqnarray}~~~f(-2)&=&(-2)^3+3 \cdot (-2)^2\\[3pt]~~~&=&-8+12\\[3pt]~~~&=&4\end{eqnarray}\)

---

　\(x=0\) のとき、

---

　\(\begin{eqnarray}~~~f(0)&=&0^3+3 \cdot 0^2\\[3pt]~~~&=&0\end{eqnarray}\)

---

よって、\(f^{\prime}(x)\) の符号と \(f(x)\) の増減は、

---

　\(\begin{array}{c|ccccc}x & \cdots & -2 & \cdots & 0 & \cdots \\\hline f^{\prime}(x) & + & 0 & – & 0 & + \\\hline f(x) & \nearrow & 4 & \searrow & 0 & \nearrow\end{array}\)

---

これより、\(y=x^3+3x^2\) のグラフは、点 \((-2~,~4)~,~\)\((0~,~0)\) を通り、\(y\) 切片が \(0\) より、

---

---

グラフより、直線 \(y=a\) との共有点の個数を調べると、

---

　\({\small [\,1\,]}\) \(a \gt 4\) で、\(1\) 個
　\({\small [\,2\,]}\) \(a=4\) で、\(2\) 個
　\({\small [\,3\,]}\) \(0 \lt a \lt 4\) で、\(3\) 個
　\({\small [\,4\,]}\) \(a=0\) で、\(2\) 個
　\({\small [\,5\,]}\) \(a \lt 0\) で、\(1\) 個

 
 

\({\small (1)}~\)異なる2個の実数解をもつのは、

---

したがって、\(a=0~,~4\) のときである

 
 

\({\small (2)}~\)ただ1個の実数解をもつのは、

---

したがって、\(a \gt 4\) または \(a \lt 0\) のときである

数研出版｜数学Ⅱ[709] p.218 練習20
東京書籍｜Advanced数学Ⅱ[701] p.216 問13

\({\small (1)}~\)3次方程式の定数 \(a\) を右辺に移項すると、

---

　\(2x^3-3x^2=a\)

---

左辺を \(f(x)=2x^3-3x^2\) とおくと、

---

この方程式の実数解の個数は、3次関数 \(y=f(x)\) と直線 \(y=a\) の共有点の個数と一致する

---

\(f(x)=2x^3-3x^2\) を微分すると、

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\(\begin{eqnarray}~~~f^{\prime}(x)&=&2 \cdot (x^3)^{\prime}-3 \cdot (x^2)^{\prime}\\[3pt]~~~&=&6x^2-6x\\[3pt]~~~&=&6x(x-1)\end{eqnarray}\)

---

\(f^{\prime}(x)=0\) となる \(x\) の値は、

---

\(\begin{eqnarray}~~~f^{\prime}(x)&=&6x(x-1)=0\\[3pt]~~~&&x=0~,~1\end{eqnarray}\)

よって、この \(x\) の前後での \(f^{\prime}(x)\) の符号は、

---

　\(x \lt 0\) のとき、\(f^{\prime}(x) \gt 0\)
　\(0 \lt x \lt 1\) のとき、\(f^{\prime}(x) \lt 0\)
　\(1 \lt x\) のとき、\(f^{\prime}(x) \gt 0\)

---

さらに、

---

　\(x=0\) のとき、

---

　\(\begin{eqnarray}~~~f(0)&=&2 \cdot 0^3-3 \cdot 0^2\\[3pt]~~~&=&0\end{eqnarray}\)

---

　\(x=1\) のとき、

---

　\(\begin{eqnarray}~~~f(1)&=&2 \cdot 1^3-3 \cdot 1^2\\[3pt]~~~&=&2-3\\[3pt]~~~&=&-1\end{eqnarray}\)

---

よって、\(f^{\prime}(x)\) の符号と \(f(x)\) の増減は、

---

　\(\begin{array}{c|ccccc}x & \cdots & 0 & \cdots & 1 & \cdots \\\hline f^{\prime}(x) & + & 0 & – & 0 & + \\\hline f(x) & \nearrow & 0 & \searrow & -1 & \nearrow\end{array}\)

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これより、\(y=2x^3-3x^2\) のグラフは、点 \((0~,~0)~,~\)\((1~,~-1)\) を通り、\(y\) 切片が \(0\) より、

---

---

グラフより、直線 \(y=a\) との共有点の個数を調べると、

---

　\({\small [\,1\,]}\) \(a \gt 0\) で、\(1\) 個
　\({\small [\,2\,]}\) \(a=0\) で、\(2\) 個
　\({\small [\,3\,]}\) \(-1 \lt a \lt 0\) で、\(3\) 個
　\({\small [\,4\,]}\) \(a=-1\) で、\(2\) 個
　\({\small [\,5\,]}\) \(a \lt -1\) で、\(1\) 個

---

したがって、この3次方程式の異なる実数解の個数は、

---

　\(a \gt 0\) または \(a \lt -1\) のとき、\(1\) 個
　\(a=0~,~-1\) のとき、\(2\) 個
　\(-1 \lt a \lt 0\) のとき、\(3\) 個

 
 

\({\small (2)}~\)方程式の \(a\) を含まない項を右辺に移項すると、

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　\(-x^4+2x^2+2=a\)

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左辺を \(f(x)=-x^4+2x^2+2\) とおくと、

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この方程式の実数解の個数は、4次関数 \(y=f(x)\) と直線 \(y=a\) の共有点の個数と一致する

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\(f(x)=-x^4+2x^2+2\) を微分すると、

---

\(\begin{eqnarray}~~~f^{\prime}(x)&=&-(x^4)^{\prime}+2 \cdot (x^2)^{\prime}\\[3pt]~~~&=&-4x^3+2 \cdot 2x\\[3pt]~~~&=&-4x^3+4x\\[3pt]~~~&=&-4x(x^2-1)\\[3pt]~~~&=&-4x(x+1)(x-1)\end{eqnarray}\)

---

\(f^{\prime}(x)=0\) となる \(x\) の値は、

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\(\begin{eqnarray}~~~f^{\prime}(x)&=&-4x(x+1)(x-1)=0\\[3pt]~~~&&x=-1~,~0~,~1\end{eqnarray}\)

よって、この \(x\) の前後での \(f^{\prime}(x)\) の符号は、

---

　\(x \lt -1\) のとき、\(f^{\prime}(x) \gt 0\)
　\(-1 \lt x \lt 0\) のとき、\(f^{\prime}(x) \lt 0\)
　\(0 \lt x \lt 1\) のとき、\(f^{\prime}(x) \gt 0\)
　\(1 \lt x\) のとき、\(f^{\prime}(x) \lt 0\)

---

さらに、

---

　\(x=-1\) のとき、

---

　\(\begin{eqnarray}~~~f(-1)&=&-(-1)^4+2 \cdot (-1)^2+2\\[3pt]~~~&=&-1+2+2\\[3pt]~~~&=&3\end{eqnarray}\)

---

　\(x=0\) のとき、

---

　\(\begin{eqnarray}~~~f(0)&=&-0^4+2 \cdot 0^2+2\\[3pt]~~~&=&2\end{eqnarray}\)

---

　\(x=1\) のとき、

---

　\(\begin{eqnarray}~~~f(1)&=&-1^4+2 \cdot 1^2+2\\[3pt]~~~&=&-1+2+2\\[3pt]~~~&=&3\end{eqnarray}\)

---

よって、\(f^{\prime}(x)\) の符号と \(f(x)\) の増減は、

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　\(\begin{array}{c|ccccccc}x & \cdots & -1 & \cdots & 0 & \cdots & 1 & \cdots \\\hline f^{\prime}(x) & + & 0 & – & 0 & + & 0 & – \\\hline f(x) & \nearrow & 3 & \searrow & 2 & \nearrow & 3 & \searrow\end{array}\)

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これより、\(y=-x^4+2x^2+2\) のグラフは、点 \((-1~,~3)~,~\)\((0~,~2)~,~\)\((1~,~3)\) を通るので、

---

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グラフより、直線 \(y=a\) との共有点の個数を調べると、

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　\({\small [\,1\,]}\) \(a \gt 3\) で、\(0\) 個
　\({\small [\,2\,]}\) \(a=3\) で、\(2\) 個
　\({\small [\,3\,]}\) \(2 \lt a \lt 3\) で、\(4\) 個
　\({\small [\,4\,]}\) \(a=2\) で、\(3\) 個
　\({\small [\,5\,]}\) \(a \lt 2\) で、\(2\) 個

---

したがって、この方程式の異なる実数解の個数は、

---

　\(a \gt 3\) のとき、\(0\) 個
　\(a=3~,~a \lt 2\) のとき、\(2\) 個
　\(2 \lt a \lt 3\) のとき、\(4\) 個
　\(a=2\) のとき、\(3\) 個

数研出版｜数学Ⅱ[709] p.220 問題 12
数研出版｜高等学校数学Ⅱ[710] p.207 問題 11
数研出版｜新編数学Ⅱ[711] p.220 章末問題A 5

方程式の定数 \(a\) を右辺に移項すると、

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　\(-x^3+6x=a\)

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左辺を \(f(x)=-x^3+6x\) とおくと、

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この方程式の実数解の個数は、3次関数 \(y=f(x)\) と直線 \(y=a\) の共有点の個数と一致する

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\(f(x)=-x^3+6x\) を微分すると、

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\(\begin{eqnarray}~~~f^{\prime}(x)&=&-(x^3)^{\prime}+6 \cdot (x)^{\prime}\\[3pt]~~~&=&-3x^2+6\\[3pt]~~~&=&-3(x^2-2)\\[3pt]~~~&=&-3(x+\sqrt{2})(x-\sqrt{2})\end{eqnarray}\)

---

\(f^{\prime}(x)=0\) となる \(x\) の値は、

---

\(\begin{eqnarray}~~~f^{\prime}(x)&=&-3(x+\sqrt{2})(x-\sqrt{2})=0\\[3pt]~~~&&x=-\sqrt{2}~,~\sqrt{2}\end{eqnarray}\)

よって、この \(x\) の前後での \(f^{\prime}(x)\) の符号は、

---

　\(x \lt -\sqrt{2}\) のとき、\(f^{\prime}(x) \lt 0\)
　\(-\sqrt{2} \lt x \lt \sqrt{2}\) のとき、\(f^{\prime}(x) \gt 0\)
　\(\sqrt{2} \lt x\) のとき、\(f^{\prime}(x) \lt 0\)

---

さらに、

---

　\(x=-\sqrt{2}\) のとき、

---

　\(\begin{eqnarray}~~~f(-\sqrt{2})&=&-(-\sqrt{2})^3+6 \cdot (-\sqrt{2})\\[3pt]~~~&=&2\sqrt{2}-6\sqrt{2}\\[3pt]~~~&=&-4\sqrt{2}\end{eqnarray}\)

---

　\(x=\sqrt{2}\) のとき、

---

　\(\begin{eqnarray}~~~f(\sqrt{2})&=&-(\sqrt{2})^3+6\sqrt{2}\\[3pt]~~~&=&-2\sqrt{2}+6\sqrt{2}\\[3pt]~~~&=&4\sqrt{2}\end{eqnarray}\)

---

よって、\(f^{\prime}(x)\) の符号と \(f(x)\) の増減は、

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　\(\begin{array}{c|ccccc}x & \cdots & -\sqrt{2} & \cdots & \sqrt{2} & \cdots \\\hline f^{\prime}(x) & – & 0 & + & 0 & – \\\hline f(x) & \searrow & -4\sqrt{2} & \nearrow & 4\sqrt{2} & \searrow\end{array}\)

---

これより、\(y=-x^3+6x\) のグラフは、点 \((-\sqrt{2}~,~-4\sqrt{2})~,~\)\((\sqrt{2}~,~4\sqrt{2})\) を通り、\(y\) 切片が \(0\) より、

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---

異なる2個の正の解と1個の負の解をもつには、3次関数 \(y=f(x)\) と直線 \(y=a\) が正の部分で2個、負の部分で1個の共有点をもてばよいので、

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したがって、\(0 \lt a \lt 4\sqrt{2}\) となる

数研出版｜高等学校数学Ⅱ[710] p.205 練習23

3次方程式の定数 \(a\) を右辺に移項すると、

---

　\(2x^3-3x^2=a\)

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左辺を \(f(x)=2x^3-3x^2\) とおくと、

---

この方程式の実数解の個数は、3次関数 \(y=f(x)\) と直線 \(y=a\) の共有点の個数と一致する

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\(f(x)=2x^3-3x^2\) を微分すると、

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\(\begin{eqnarray}~~~f^{\prime}(x)&=&2 \cdot (x^3)^{\prime}-3 \cdot (x^2)^{\prime}\\[3pt]~~~&=&6x^2-6x\\[3pt]~~~&=&6x(x-1)\end{eqnarray}\)

---

\(f^{\prime}(x)=0\) となる \(x\) の値は、

---

\(\begin{eqnarray}~~~f^{\prime}(x)&=&6x(x-1)=0\\[3pt]~~~&&x=0~,~1\end{eqnarray}\)

よって、この \(x\) の前後での \(f^{\prime}(x)\) の符号は、

---

　\(x \lt 0\) のとき、\(f^{\prime}(x) \gt 0\)
　\(0 \lt x \lt 1\) のとき、\(f^{\prime}(x) \lt 0\)
　\(1 \lt x\) のとき、\(f^{\prime}(x) \gt 0\)

---

さらに、

---

　\(x=0\) のとき、

---

　\(\begin{eqnarray}~~~f(0)&=&2 \cdot 0^3-3 \cdot 0^2\\[3pt]~~~&=&0\end{eqnarray}\)

---

　\(x=1\) のとき、

---

　\(\begin{eqnarray}~~~f(1)&=&2 \cdot 1^3-3 \cdot 1^2\\[3pt]~~~&=&2-3\\[3pt]~~~&=&-1\end{eqnarray}\)

---

よって、\(f^{\prime}(x)\) の符号と \(f(x)\) の増減は、

---

　\(\begin{array}{c|ccccc}x & \cdots & 0 & \cdots & 1 & \cdots \\\hline f^{\prime}(x) & + & 0 & – & 0 & + \\\hline f(x) & \nearrow & 0 & \searrow & -1 & \nearrow\end{array}\)

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これより、\(y=2x^3-3x^2\) のグラフは、点 \((0~,~0)~,~\)\((1~,~-1)\) を通り、\(y\) 切片が \(0\) より、

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ただ1個の実数解をもつには、3次関数 \(y=f(x)\) と直線 \(y=a\) が1個の共有点をもてばよいので、

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したがって、\(a \gt 0\) または \(a \lt -1\) となる

数研出版｜高等学校数学Ⅱ[710] p.229 章末問題A 5

関数 \(y=x^3-x+1\) と直線 \(y=2x+a\) を連立すると、

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　\(x^3-x+1=2x+a\)

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定数 \(a\) を右辺に分離すると、

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　\(x^3-3x+1=a\)

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左辺を \(f(x)=x^3-3x+1\) とおくと、

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共有点の個数は、3次関数 \(y=f(x)\) と直線 \(y=a\) の共有点の個数と一致する

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\(f(x)=x^3-3x+1\) を微分すると、

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\(\begin{eqnarray}~~~f^{\prime}(x)&=&(x^3)^{\prime}-3 \cdot (x)^{\prime}\\[3pt]~~~&=&3x^2-3\\[3pt]~~~&=&3(x^2-1)\\[3pt]~~~&=&3(x+1)(x-1)\end{eqnarray}\)

---

\(f^{\prime}(x)=0\) となる \(x\) の値は、

---

\(\begin{eqnarray}~~~f^{\prime}(x)&=&3(x+1)(x-1)=0\\[3pt]~~~&&x=-1~,~1\end{eqnarray}\)

よって、この \(x\) の前後での \(f^{\prime}(x)\) の符号は、

---

　\(x \lt -1\) のとき、\(f^{\prime}(x) \gt 0\)
　\(-1 \lt x \lt 1\) のとき、\(f^{\prime}(x) \lt 0\)
　\(1 \lt x\) のとき、\(f^{\prime}(x) \gt 0\)

---

さらに、

---

　\(x=-1\) のとき、

---

　\(\begin{eqnarray}~~~f(-1)&=&(-1)^3-3 \cdot (-1)+1\\[3pt]~~~&=&-1+3+1\\[3pt]~~~&=&3\end{eqnarray}\)

---

　\(x=1\) のとき、

---

　\(\begin{eqnarray}~~~f(1)&=&1^3-3 \cdot 1+1\\[3pt]~~~&=&1-3+1\\[3pt]~~~&=&-1\end{eqnarray}\)

---

よって、\(f^{\prime}(x)\) の符号と \(f(x)\) の増減は、

---

　\(\begin{array}{c|ccccc}x & \cdots & -1 & \cdots & 1 & \cdots \\\hline f^{\prime}(x) & + & 0 & – & 0 & + \\\hline f(x) & \nearrow & 3 & \searrow & -1 & \nearrow\end{array}\)

---

これより、\(y=x^3-3x+1\) のグラフは、点 \((-1~,~3)~,~\)\((1~,~-1)\) を通り、\(y\) 切片が \(1\) より、

---

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異なる3点で交わるには、3次関数 \(y=f(x)\) と直線 \(y=a\) が3個の共有点をもてばよいので、

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したがって、\(-1 \lt a \lt 3\) となる

数研出版｜新編数学Ⅱ[711] p.201 補充問題 7

左辺を \(f(x)=x^3+3x^2\) とおくと、

---

この方程式の実数解の個数は、3次関数 \(y=f(x)\) と直線 \(y=a\) の共有点の個数と一致する

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\(f(x)=x^3+3x^2\) を微分すると、

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\(\begin{eqnarray}~~~f^{\prime}(x)&=&(x^3)^{\prime}+3 \cdot (x^2)^{\prime}\\[3pt]~~~&=&3x^2+6x\\[3pt]~~~&=&3x(x+2)\end{eqnarray}\)

---

\(f^{\prime}(x)=0\) となる \(x\) の値は、

---

\(\begin{eqnarray}~~~f^{\prime}(x)&=&3x(x+2)=0\\[3pt]~~~&&x=-2~,~0\end{eqnarray}\)

よって、この \(x\) の前後での \(f^{\prime}(x)\) の符号は、

---

　\(x \lt -2\) のとき、\(f^{\prime}(x) \gt 0\)
　\(-2 \lt x \lt 0\) のとき、\(f^{\prime}(x) \lt 0\)
　\(0 \lt x\) のとき、\(f^{\prime}(x) \gt 0\)

---

さらに、

---

　\(x=-2\) のとき、

---

　\(\begin{eqnarray}~~~f(-2)&=&(-2)^3+3 \cdot (-2)^2\\[3pt]~~~&=&-8+12\\[3pt]~~~&=&4\end{eqnarray}\)

---

　\(x=0\) のとき、

---

　\(\begin{eqnarray}~~~f(0)&=&0^3+3 \cdot 0^2\\[3pt]~~~&=&0\end{eqnarray}\)

---

よって、\(f^{\prime}(x)\) の符号と \(f(x)\) の増減は、

---

　\(\begin{array}{c|ccccc}x & \cdots & -2 & \cdots & 0 & \cdots \\\hline f^{\prime}(x) & + & 0 & – & 0 & + \\\hline f(x) & \nearrow & 4 & \searrow & 0 & \nearrow\end{array}\)

---

これより、\(y=x^3+3x^2\) のグラフは、点 \((-2~,~4)~,~\)\((0~,~0)\) を通り、\(y\) 切片が \(0\) より、

---

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異なる3個の実数解をもつには、3次関数 \(y=f(x)\) と直線 \(y=a\) が3個の共有点をもてばよいので、

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したがって、\(0 \lt a \lt 4\) となる

東京書籍｜Advanced数学Ⅱ[701] p.244 練習問題A 4

3次方程式の定数 \(a\) を右辺に移項すると、

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　\(x^3-3x=a\)

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左辺を \(f(x)=x^3-3x\) とおくと、

---

この方程式の実数解の個数は、3次関数 \(y=f(x)\) と直線 \(y=a\) の共有点の個数と一致する

---

\(f(x)=x^3-3x\) を微分すると、

---

\(\begin{eqnarray}~~~f^{\prime}(x)&=&(x^3)^{\prime}-3 \cdot (x)^{\prime}\\[3pt]~~~&=&3x^2-3\\[3pt]~~~&=&3(x^2-1)\\[3pt]~~~&=&3(x+1)(x-1)\end{eqnarray}\)

---

\(f^{\prime}(x)=0\) となる \(x\) の値は、

---

\(\begin{eqnarray}~~~f^{\prime}(x)&=&3(x+1)(x-1)=0\\[3pt]~~~&&x=-1~,~1\end{eqnarray}\)

よって、この \(x\) の前後での \(f^{\prime}(x)\) の符号は、

---

　\(x \lt -1\) のとき、\(f^{\prime}(x) \gt 0\)
　\(-1 \lt x \lt 1\) のとき、\(f^{\prime}(x) \lt 0\)
　\(1 \lt x\) のとき、\(f^{\prime}(x) \gt 0\)

---

さらに、

---

　\(x=-1\) のとき、

---

　\(\begin{eqnarray}~~~f(-1)&=&(-1)^3-3 \cdot (-1)\\[3pt]~~~&=&-1+3\\[3pt]~~~&=&2\end{eqnarray}\)

---

　\(x=1\) のとき、

---

　\(\begin{eqnarray}~~~f(1)&=&1^3-3 \cdot 1\\[3pt]~~~&=&1-3\\[3pt]~~~&=&-2\end{eqnarray}\)

---

よって、\(f^{\prime}(x)\) の符号と \(f(x)\) の増減は、

---

　\(\begin{array}{c|ccccc}x & \cdots & -1 & \cdots & 1 & \cdots \\\hline f^{\prime}(x) & + & 0 & – & 0 & + \\\hline f(x) & \nearrow & 2 & \searrow & -2 & \nearrow\end{array}\)

---

これより、\(y=x^3-3x\) のグラフは、点 \((-1~,~2)~,~\)\((1~,~-2)\) を通り、\(y\) 切片が \(0\) より、

---

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異なる正の解を2個、負の解を1個もつには、3次関数 \(y=f(x)\) と直線 \(y=a\) が正の部分で2個、負の部分で1個の共有点をもてばよいので、

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したがって、\(-2 \lt a \lt 0\) となる