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問題｜3次不等式・4次不等式の証明
微分と積分 31\(x{\small ~≧~}0\) のとき、不等式 \(x^3+2{\small ~≧~}3x\) を証明する方法は？また、不等式 \(x^4-2x^2+4 \gt 0\) を証明する方法は？
高校数学Ⅱ｜微分と積分
解法のPoint
3次不等式・4次不等式の証明
Point：3次不等式・4次不等式の証明
① 右辺−左辺の式を \(f(x)\) とし、微分して \(f^{\prime}(x)=0\) となる \(x\) の値を求める。
② ①の \(x\) の値の前後での \(f^{\prime}(x)\) の符号と、\(f(x)\) の値を調べる。
③ 増減表より、最小値を求め、その値より、不等式が成り立つことを示す。
\(f(x)\) の最小値 \(\gt 0\) \(~\Leftrightarrow ~ \) \(f(x)\gt 0\)
3次不等式・4次不等式の証明は、
① 右辺−左辺の式を \(f(x)\) とし、微分して \(f^{\prime}(x)=0\) となる \(x\) の値を求める。
② ①の \(x\) の値の前後での \(f^{\prime}(x)\) の符号と、\(f(x)\) の値を調べる。
③ 増減表より、最小値を求め、その値より、不等式が成り立つことを示す。
\(f(x)\) の最小値 \(\gt 0\) \(~\Leftrightarrow ~ \) \(f(x)\gt 0\)
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詳しい解説｜3次不等式・4次不等式の証明
微分と積分 31
\(x{\small ~≧~}0\) のとき、不等式 \(x^3+2{\small ~≧~}3x\) を証明する方法は？また、不等式 \(x^4-2x^2+4 \gt 0\) を証明する方法は？
高校数学Ⅱ｜微分と積分
[証明] 左辺−右辺より、
\(\begin{eqnarray}~~~&&(x^3+2)-3x\\[3pt]~~~&=&x^3-3x+2\end{eqnarray}\)
\(f(x)=x^3-3x+2\) とおき、\(f(x)\) を微分すると、
\(\begin{eqnarray}~~~f^{\prime}(x)&=&(x^3)^{\prime}-3 \cdot (x)^{\prime}+(2)^{\prime}\\[3pt]~~~&=&3x^2-3 \cdot 1+0\\[3pt]~~~&=&3x^2-3\\[3pt]~~~&=&3(x^2-1)\\[3pt]~~~&=&3(x+1)(x-1)\end{eqnarray}\)
\(f^{\prime}(x)=0\) となる \(x\) の値は、
\(\begin{eqnarray}~~~f^{\prime}(x)&=&3(x+1)(x-1)=0\\[3pt]~~~&&x=-1~,~1\end{eqnarray}\)
2次関数 \(y=f^{\prime}(x)\) のグラフより、
よって、\(x{\small ~≧~}0\) の区間で、
\(0 \lt x \lt 1\) のとき、\(f^{\prime}(x) \lt 0\)
\(1 \lt x\) のとき、\(f^{\prime}(x) \gt 0\)
さらに、
\(x=0\) のとき、
\(\begin{eqnarray}~~~f(0)&=&0^3-3 \cdot 0+2\\[3pt]~~~&=&2\end{eqnarray}\)
\(x=1\) のとき、
\(\begin{eqnarray}~~~f(1)&=&1^3-3 \cdot 1+2\\[3pt]~~~&=&1-3+2\\[3pt]~~~&=&0\end{eqnarray}\)
よって、\(x{\small ~≧~}0\) の区間での増減表は、
\(\begin{array}{c|ccccc}x & 0 & \cdots & 1 & \cdots \\\hline f^{\prime}(x) & & – & 0 & + \\\hline f(x) & 2 & \searrow & 0 & \nearrow\end{array}\)
これより、\(f(x)\) は \(x=1\) のとき最小値 \(0\) をとるので、
\(x{\small ~≧~}0\) で \(f(x){\small ~≧~}0\) となるので、
\(x^3-3x+2{\small ~≧~}0\)
したがって、\(x^3+2{\small ~≧~}3x\) [終]
[証明] 左辺を \(f(x)\) とおくと、
\(f(x)=x^4-2x^2+4\)
微分すると、
\(\begin{eqnarray}~~~f^{\prime}(x)&=&(x^4)^{\prime}-2 \cdot (x^2)^{\prime}+(4)^{\prime}\\[3pt]~~~&=&4x^3-2 \cdot 2x+0\\[3pt]~~~&=&4x^3-4x\\[3pt]~~~&=&4x(x^2-1)\\[3pt]~~~&=&4x(x+1)(x-1)\end{eqnarray}\)
\(f^{\prime}(x)=0\) となる \(x\) の値は、
\(\begin{eqnarray}~~~f^{\prime}(x)&=&4x(x+1)(x-1)=0\\[3pt]~~~&&x=-1~,~0~,~1\end{eqnarray}\)
3次関数 \(y=f^{\prime}(x)\) のグラフより、
よって、この \(x\) の前後での \(f^{\prime}(x)\) の符号は、
\(x \lt -1\) のとき、\(f^{\prime}(x) \lt 0\)
\(-1 \lt x \lt 0\) のとき、\(f^{\prime}(x) \gt 0\)
\(0 \lt x \lt 1\) のとき、\(f^{\prime}(x) \lt 0\)
\(1 \lt x\) のとき、\(f^{\prime}(x) \gt 0\)
さらに、
\(x=-1\) のとき、
\(\begin{eqnarray}~~~f(-1)&=&(-1)^4-2 \cdot (-1)^2+4\\[3pt]~~~&=&1-2+4\\[3pt]~~~&=&3\end{eqnarray}\)
\(x=0\) のとき、
\(\begin{eqnarray}~~~f(0)&=&0^4-2 \cdot 0^2+4\\[3pt]~~~&=&4\end{eqnarray}\)
\(x=1\) のとき、
\(\begin{eqnarray}~~~f(1)&=&1^4-2 \cdot 1^2+4\\[3pt]~~~&=&1-2+4\\[3pt]~~~&=&3\end{eqnarray}\)
よって、増減表は、
\(\begin{array}{c|ccccccc}x & \cdots & -1 & \cdots & 0 & \cdots & 1 & \cdots \\\hline f^{\prime}(x) & – & 0 & + & 0 & – & 0 & + \\\hline f(x) & \searrow & 3 & \nearrow & 4 & \searrow & 3 & \nearrow\end{array}\)
これより、\(f(x)\) は \(x=-1~,~1\) のとき最小値 \(3\) をとるので、
\(f(x) \gt 0\) となるので、
\(x^4-2x^2+4 \gt 0\) [終]
