このページは、「3次不等式・4次不等式の証明」の練習問題アーカイブページとなります。
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3次不等式・4次不等式の証明 で確認できます。
問題アーカイブ01
問題アーカイブ01\(x{\small ~≧~}1\) のとき、不等式 \(2x^3-9x^2+12x-4{\small ~≧~}0\) が成り立つことを証明せよ。
数研出版｜数学Ⅱ[709] p.219 練習21
[証明] \(f(x)=2x^3-9x^2+12x-4\) とおき、\(f(x)\) を微分すると、
\(\begin{eqnarray}~~~f^{\prime}(x)&=&2 \cdot (x^3)^{\prime}-9 \cdot (x^2)^{\prime}+12 \cdot (x)^{\prime}-(4)^{\prime}\\[3pt]~~~&=&2 \cdot 3x^2-9 \cdot 2x+12 \cdot 1-0\\[3pt]~~~&=&6x^2-18x+12\\[3pt]~~~&=&6(x^2-3x+2)\\[3pt]~~~&=&6(x-1)(x-2)\end{eqnarray}\)
\(f^{\prime}(x)=0\) となる \(x\) の値は、
\(\begin{eqnarray}~~~f^{\prime}(x)&=&6(x-1)(x-2)=0\\[3pt]~~~&&x=1~,~2\end{eqnarray}\)
2次関数 \(y=f^{\prime}(x)\) のグラフより、
よって、\(x{\small ~≧~}1\) の区間で、
\(1 \lt x \lt 2\) のとき、\(f^{\prime}(x) \lt 0\)
\(2 \lt x\) のとき、\(f^{\prime}(x) \gt 0\)
さらに、
\(x=1\) のとき、
\(\begin{eqnarray}~~~f(1)&=&2 \cdot 1^3-9 \cdot 1^2+12 \cdot 1-4\\[3pt]~~~&=&2-9+12-4\\[3pt]~~~&=&1\end{eqnarray}\)
\(x=2\) のとき、
\(\begin{eqnarray}~~~f(2)&=&2 \cdot 2^3-9 \cdot 2^2+12 \cdot 2-4\\[3pt]~~~&=&16-36+24-4\\[3pt]~~~&=&0\end{eqnarray}\)
よって、\(x{\small ~≧~}1\) の区間での増減表は、
\(\begin{array}{c|ccccc}x & 1 & \cdots & 2 & \cdots \\\hline f^{\prime}(x) & & – & 0 & + \\\hline f(x) & 1 & \searrow & 0 & \nearrow\end{array}\)
これより、\(f(x)\) は \(x=2\) のとき最小値 \(0\) をとるので、
\(x{\small ~≧~}1\) で \(f(x){\small ~≧~}0\) となるので、
\(2x^3-9x^2+12x-4{\small ~≧~}0\)
したがって、\(2x^3-9x^2+12x-4{\small ~≧~}0\) [終]
問題アーカイブ02
問題アーカイブ02不等式 \(x^4+3{\small ~≧~}4x\) を証明せよ。
数研出版｜数学Ⅱ[709] p.219 練習22
[証明] 左辺−右辺より、
\(\begin{eqnarray}~~~&&(x^4+3)-4x\\[3pt]~~~&=&x^4-4x+3\end{eqnarray}\)
\(f(x)=x^4-4x+3\) とおき、\(f(x)\) を微分すると、
\(\begin{eqnarray}~~~f^{\prime}(x)&=&(x^4)^{\prime}-4 \cdot (x)^{\prime}+(3)^{\prime}\\[3pt]~~~&=&4x^3-4 \cdot 1+0\\[3pt]~~~&=&4x^3-4\\[3pt]~~~&=&4(x^3-1)\\[3pt]~~~&=&4(x-1)(x^2+x+1)\end{eqnarray}\)
\(x^2+x+1\) の判別式は
\(D=1^2-4 \cdot 1 \cdot 1=-3 \lt 0\) より、
常に \(x^2+x+1 \gt 0\)
\(f^{\prime}(x)=0\) となる \(x\) の値は、
\(\begin{eqnarray}~~~f^{\prime}(x)&=&4(x-1)(x^2+x+1)=0\\[3pt]~~~&&x=1\end{eqnarray}\)
\(x^2+x+1 \gt 0\) より、\(f^{\prime}(x)\) の符号は \((x-1)\) の符号で決まる。
よって、この \(x\) の前後での \(f^{\prime}(x)\) の符号は、
\(x \lt 1\) のとき、\(f^{\prime}(x) \lt 0\)
\(1 \lt x\) のとき、\(f^{\prime}(x) \gt 0\)
さらに、
\(x=1\) のとき、
\(\begin{eqnarray}~~~f(1)&=&1^4-4 \cdot 1+3\\[3pt]~~~&=&1-4+3\\[3pt]~~~&=&0\end{eqnarray}\)
よって、増減表は、
\(\begin{array}{c|ccccc}x & \cdots & 1 & \cdots \\\hline f^{\prime}(x) & – & 0 & + \\\hline f(x) & \searrow & 0 & \nearrow\end{array}\)
これより、\(f(x)\) は \(x=1\) のとき最小値 \(0\) をとるので、
\(f(x){\small ~≧~}0\) となるので、
\(x^4-4x+3{\small ~≧~}0\)
したがって、\(x^4+3{\small ~≧~}4x\) [終]
問題アーカイブ03
問題アーカイブ03不等式 \(x^4+4x^3+28 \gt 0\) を証明せよ。
数研出版｜数学Ⅱ[709] p.220 問題 13
[証明] 左辺を \(f(x)\) とおくと、
\(f(x)=x^4+4x^3+28\)
微分すると、
\(\begin{eqnarray}~~~f^{\prime}(x)&=&(x^4)^{\prime}+4 \cdot (x^3)^{\prime}+(28)^{\prime}\\[3pt]~~~&=&4x^3+4 \cdot 3x^2+0\\[3pt]~~~&=&4x^3+12x^2\\[3pt]~~~&=&4x^2(x+3)\end{eqnarray}\)
\(f^{\prime}(x)=0\) となる \(x\) の値は、
\(\begin{eqnarray}~~~f^{\prime}(x)&=&4x^2(x+3)=0\\[3pt]~~~&&x=-3~,~0\end{eqnarray}\)
\(4x^2{\small ~≧~}0\) より、\(f^{\prime}(x)\) の符号は \((x+3)\) の符号で決まる。
よって、この \(x\) の前後での \(f^{\prime}(x)\) の符号は、
\(x \lt -3\) のとき、\(f^{\prime}(x) \lt 0\)
\(-3 \lt x \lt 0\) のとき、\(f^{\prime}(x) \gt 0\)
\(0 \lt x\) のとき、\(f^{\prime}(x) \gt 0\)
さらに、
\(x=-3\) のとき、
\(\begin{eqnarray}~~~f(-3)&=&(-3)^4+4 \cdot (-3)^3+28\\[3pt]~~~&=&81-108+28\\[3pt]~~~&=&1\end{eqnarray}\)
\(x=0\) のとき、
\(\begin{eqnarray}~~~f(0)&=&0^4+4 \cdot 0^3+28\\[3pt]~~~&=&28\end{eqnarray}\)
よって、増減表は、
\(\begin{array}{c|ccccccc}x & \cdots & -3 & \cdots & 0 & \cdots \\\hline f^{\prime}(x) & – & 0 & + & 0 & + \\\hline f(x) & \searrow & 1 & \nearrow & 28 & \nearrow\end{array}\)
これより、\(f(x)\) は \(x=-3\) のとき最小値 \(1\) をとるので、
\(f(x) \gt 0\) となるので、
\(x^4+4x^3+28 \gt 0\) [終]
問題アーカイブ04
問題アーカイブ04\(x{\small ~≧~}0\) のとき、次の不等式が成り立つことを証明せよ。
\(x^3+3x^2+5{\small ~≧~}9x\)
\(x^3+3x^2+5{\small ~≧~}9x\)
数研出版｜高等学校数学Ⅱ[710] p.206 練習24
数研出版｜新編数学Ⅱ[711] p.200 練習22
[証明] 左辺−右辺より、
\(\begin{eqnarray}~~~&&(x^3+3x^2+5)-9x\\[3pt]~~~&=&x^3+3x^2-9x+5\end{eqnarray}\)
\(f(x)=x^3+3x^2-9x+5\) とおき、\(f(x)\) を微分すると、
\(\begin{eqnarray}~~~f^{\prime}(x)&=&(x^3)^{\prime}+3 \cdot (x^2)^{\prime}-9 \cdot (x)^{\prime}+(5)^{\prime}\\[3pt]~~~&=&3x^2+3 \cdot 2x-9 \cdot 1+0\\[3pt]~~~&=&3x^2+6x-9\\[3pt]~~~&=&3(x^2+2x-3)\\[3pt]~~~&=&3(x+3)(x-1)\end{eqnarray}\)
\(f^{\prime}(x)=0\) となる \(x\) の値は、
\(\begin{eqnarray}~~~f^{\prime}(x)&=&3(x+3)(x-1)=0\\[3pt]~~~&&x=-3~,~1\end{eqnarray}\)
2次関数 \(y=f^{\prime}(x)\) のグラフより、
よって、\(x{\small ~≧~}0\) の区間で、
\(0 \lt x \lt 1\) のとき、\(f^{\prime}(x) \lt 0\)
\(1 \lt x\) のとき、\(f^{\prime}(x) \gt 0\)
さらに、
\(x=0\) のとき、
\(\begin{eqnarray}~~~f(0)&=&0^3+3 \cdot 0^2-9 \cdot 0+5\\[3pt]~~~&=&5\end{eqnarray}\)
\(x=1\) のとき、
\(\begin{eqnarray}~~~f(1)&=&1^3+3 \cdot 1^2-9 \cdot 1+5\\[3pt]~~~&=&1+3-9+5\\[3pt]~~~&=&0\end{eqnarray}\)
よって、\(x{\small ~≧~}0\) の区間での増減表は、
\(\begin{array}{c|ccccc}x & 0 & \cdots & 1 & \cdots \\\hline f^{\prime}(x) & & – & 0 & + \\\hline f(x) & 5 & \searrow & 0 & \nearrow\end{array}\)
これより、\(f(x)\) は \(x=1\) のとき最小値 \(0\) をとるので、
\(x{\small ~≧~}0\) で \(f(x){\small ~≧~}0\) となるので、
\(x^3+3x^2-9x+5{\small ~≧~}0\)
したがって、\(x^3+3x^2+5{\small ~≧~}9x\) [終]
問題アーカイブ05
問題アーカイブ05\(x{\small ~≧~}0\) のとき、次の不等式が成り立つことを証明せよ。
\(x^3+2{\small ~≧~}3x\)
\(x^3+2{\small ~≧~}3x\)
東京書籍｜Advanced数学Ⅱ[701] p.217 問14
[証明] 左辺−右辺より、
\(\begin{eqnarray}~~~&&(x^3+2)-3x\\[3pt]~~~&=&x^3-3x+2\end{eqnarray}\)
\(f(x)=x^3-3x+2\) とおき、\(f(x)\) を微分すると、
\(\begin{eqnarray}~~~f^{\prime}(x)&=&(x^3)^{\prime}-3 \cdot (x)^{\prime}+(2)^{\prime}\\[3pt]~~~&=&3x^2-3 \cdot 1+0\\[3pt]~~~&=&3x^2-3\\[3pt]~~~&=&3(x^2-1)\\[3pt]~~~&=&3(x+1)(x-1)\end{eqnarray}\)
\(f^{\prime}(x)=0\) となる \(x\) の値は、
\(\begin{eqnarray}~~~f^{\prime}(x)&=&3(x+1)(x-1)=0\\[3pt]~~~&&x=-1~,~1\end{eqnarray}\)
2次関数 \(y=f^{\prime}(x)\) のグラフより、
よって、\(x{\small ~≧~}0\) の区間で、
\(0 \lt x \lt 1\) のとき、\(f^{\prime}(x) \lt 0\)
\(1 \lt x\) のとき、\(f^{\prime}(x) \gt 0\)
さらに、
\(x=0\) のとき、
\(\begin{eqnarray}~~~f(0)&=&0^3-3 \cdot 0+2\\[3pt]~~~&=&2\end{eqnarray}\)
\(x=1\) のとき、
\(\begin{eqnarray}~~~f(1)&=&1^3-3 \cdot 1+2\\[3pt]~~~&=&1-3+2\\[3pt]~~~&=&0\end{eqnarray}\)
よって、\(x{\small ~≧~}0\) の区間での増減表は、
\(\begin{array}{c|ccccc}x & 0 & \cdots & 1 & \cdots \\\hline f^{\prime}(x) & & – & 0 & + \\\hline f(x) & 2 & \searrow & 0 & \nearrow\end{array}\)
これより、\(f(x)\) は \(x=1\) のとき最小値 \(0\) をとるので、
\(x{\small ~≧~}0\) で \(f(x){\small ~≧~}0\) となるので、
\(x^3-3x+2{\small ~≧~}0\)
したがって、\(x^3+2{\small ~≧~}3x\) [終]
問題アーカイブ06
問題アーカイブ06\(x{\small ~≧~}0\) のとき、次の不等式が成り立つことを証明せよ。また、等号が成り立つのはどのようなときか。
\(x^3+16{\small ~≧~}12x\)
\(x^3+16{\small ~≧~}12x\)
東京書籍｜Standard数学Ⅱ[702] p.224 問20
[証明] 左辺−右辺より、
\(\begin{eqnarray}~~~&&(x^3+16)-12x\\[3pt]~~~&=&x^3-12x+16\end{eqnarray}\)
\(f(x)=x^3-12x+16\) とおき、\(f(x)\) を微分すると、
\(\begin{eqnarray}~~~f^{\prime}(x)&=&(x^3)^{\prime}-12 \cdot (x)^{\prime}+(16)^{\prime}\\[3pt]~~~&=&3x^2-12 \cdot 1+0\\[3pt]~~~&=&3x^2-12\\[3pt]~~~&=&3(x^2-4)\\[3pt]~~~&=&3(x+2)(x-2)\end{eqnarray}\)
\(f^{\prime}(x)=0\) となる \(x\) の値は、
\(\begin{eqnarray}~~~f^{\prime}(x)&=&3(x+2)(x-2)=0\\[3pt]~~~&&x=-2~,~2\end{eqnarray}\)
2次関数 \(y=f^{\prime}(x)\) のグラフより、
よって、\(x{\small ~≧~}0\) の区間で、
\(0 \lt x \lt 2\) のとき、\(f^{\prime}(x) \lt 0\)
\(2 \lt x\) のとき、\(f^{\prime}(x) \gt 0\)
さらに、
\(x=0\) のとき、
\(\begin{eqnarray}~~~f(0)&=&0^3-12 \cdot 0+16\\[3pt]~~~&=&16\end{eqnarray}\)
\(x=2\) のとき、
\(\begin{eqnarray}~~~f(2)&=&2^3-12 \cdot 2+16\\[3pt]~~~&=&8-24+16\\[3pt]~~~&=&0\end{eqnarray}\)
よって、\(x{\small ~≧~}0\) の区間での増減表は、
\(\begin{array}{c|ccccc}x & 0 & \cdots & 2 & \cdots \\\hline f^{\prime}(x) & & – & 0 & + \\\hline f(x) & 16 & \searrow & 0 & \nearrow\end{array}\)
これより、\(f(x)\) は \(x=2\) のとき最小値 \(0\) をとるので、
\(x{\small ~≧~}0\) で \(f(x){\small ~≧~}0\) となるので、
\(x^3-12x+16{\small ~≧~}0\)
したがって、\(x^3+16{\small ~≧~}12x\)
等号が成り立つのは \(x=2\) のとき [終]
問題アーカイブ07
問題アーカイブ07\(x{\small ~≧~}0\) のとき、不等式 \(2x^3+27{\small ~≧~}9x^2\) が成り立つことを証明せよ。また、等号が成り立つのはどのようなときか。
東京書籍｜Standard数学Ⅱ[702] p.226 Training 15
[証明] 左辺−右辺より、
\(\begin{eqnarray}~~~&&(2x^3+27)-9x^2\\[3pt]~~~&=&2x^3-9x^2+27\end{eqnarray}\)
\(f(x)=2x^3-9x^2+27\) とおき、\(f(x)\) を微分すると、
\(\begin{eqnarray}~~~f^{\prime}(x)&=&2 \cdot (x^3)^{\prime}-9 \cdot (x^2)^{\prime}+(27)^{\prime}\\[3pt]~~~&=&2 \cdot 3x^2-9 \cdot 2x+0\\[3pt]~~~&=&6x^2-18x\\[3pt]~~~&=&6x(x-3)\end{eqnarray}\)
\(f^{\prime}(x)=0\) となる \(x\) の値は、
\(\begin{eqnarray}~~~f^{\prime}(x)&=&6x(x-3)=0\\[3pt]~~~&&x=0~,~3\end{eqnarray}\)
2次関数 \(y=f^{\prime}(x)\) のグラフより、
よって、\(x{\small ~≧~}0\) の区間で、
\(0 \lt x \lt 3\) のとき、\(f^{\prime}(x) \lt 0\)
\(3 \lt x\) のとき、\(f^{\prime}(x) \gt 0\)
さらに、
\(x=0\) のとき、
\(\begin{eqnarray}~~~f(0)&=&2 \cdot 0^3-9 \cdot 0^2+27\\[3pt]~~~&=&27\end{eqnarray}\)
\(x=3\) のとき、
\(\begin{eqnarray}~~~f(3)&=&2 \cdot 3^3-9 \cdot 3^2+27\\[3pt]~~~&=&54-81+27\\[3pt]~~~&=&0\end{eqnarray}\)
よって、\(x{\small ~≧~}0\) の区間での増減表は、
\(\begin{array}{c|ccccc}x & 0 & \cdots & 3 & \cdots \\\hline f^{\prime}(x) & & – & 0 & + \\\hline f(x) & 27 & \searrow & 0 & \nearrow\end{array}\)
これより、\(f(x)\) は \(x=3\) のとき最小値 \(0\) をとるので、
\(x{\small ~≧~}0\) で \(f(x){\small ~≧~}0\) となるので、
\(2x^3-9x^2+27{\small ~≧~}0\)
したがって、\(2x^3+27{\small ~≧~}9x^2\)
等号が成り立つのは \(x=3\) のとき [終]
