文字係数の3次方程式の実数解の個数

\(f(x)=ax^3-3ax^2+12\) とおき、\(f(x)\) を微分すると、

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\(\begin{eqnarray}~~~f^{\prime}(x)&=&a(x^3)^{\prime}-3a(x^2)^{\prime}+(12)^{\prime}\\[3pt]~~~&=&a \cdot 3x^2-3a \cdot 2x+0\\[3pt]~~~&=&3ax^2-6ax\\[3pt]~~~&=&3ax(x-2)\end{eqnarray}\)

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\(f^{\prime}(x)=0\) となる \(x\) の値は、

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\(\begin{eqnarray}~~~f^{\prime}(x)&=&3ax(x-2)=0\\[3pt]~~~&&x=0~,~2\end{eqnarray}\)

よって、この \(x\) の前後での \(f^{\prime}(x)\) の符号は、

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　\(x \lt 0\) のとき、\(f^{\prime}(x) \gt 0\)
　\(0 \lt x \lt 2\) のとき、\(f^{\prime}(x) \lt 0\)
　\(2 \lt x\) のとき、\(f^{\prime}(x) \gt 0\)

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さらに、

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　\(x=0\) のとき、

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　\(\begin{eqnarray}~~~f(0)&=&a \cdot 0^3-3a \cdot 0^2+12\\[3pt]~~~&=&12\end{eqnarray}\)

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　\(x=2\) のとき、

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　\(\begin{eqnarray}~~~f(2)&=&a \cdot 2^3-3a \cdot 2^2+12\\[3pt]~~~&=&8a-12a+12\\[3pt]~~~&=&-4a+12\end{eqnarray}\)

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これより、増減表は、

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　\(\begin{array}{c|ccccc}x & \cdots & 0 & \cdots & 2 & \cdots \\\hline f^{\prime}(x) & + & 0 & – & 0 & + \\\hline f(x) & \nearrow & 12 & \searrow & -4a+12 & \nearrow\end{array}\)

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これより、\(f(x)=0\) が異なる3つの実数解をもつには、\(y=f(x)\) のグラフが \(x\) 軸と3つの共有点をもてばよい

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グラフより、極大値 \(\gt 0\) かつ極小値 \(\lt 0\) であればよいので、

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\(\begin{eqnarray}~~~-4a+12 &\lt& 0\\[3pt]~~~-4a &\lt& -12\\[3pt]~~~a &\gt& 3\end{eqnarray}\)

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したがって、\(a \gt 3\) となる