このページは、「文字係数の3次方程式の実数解の個数」の練習問題アーカイブページとなります。
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問題アーカイブ01
問題アーカイブ01\(a \gt 0\) として、3次方程式 \(ax^3-6ax^2+64=0\) が異なる3個の実数解をもつように、定数 \(a\) の値の範囲を定めよ。
東京書籍｜Advanced数学Ⅱ[701] p.218 問題 15
東京書籍｜Standard数学Ⅱ[702] p.248 Level Up 4
\(f(x)=ax^3-6ax^2+64\) とおき、\(f(x)\) を微分すると、
\(\begin{eqnarray}~~~f^{\prime}(x)&=&a(x^3)^{\prime}-6a(x^2)^{\prime}+(64)^{\prime}\\[3pt]~~~&=&a \cdot 3x^2-6a \cdot 2x+0\\[3pt]~~~&=&3ax^2-12ax\\[3pt]~~~&=&3ax(x-4)\end{eqnarray}\)
\(f^{\prime}(x)=0\) となる \(x\) の値は、
\(\begin{eqnarray}~~~f^{\prime}(x)&=&3ax(x-4)=0\\[3pt]~~~&&x=0~,~4\end{eqnarray}\)
2次関数 \(y=f^{\prime}(x)\) のグラフより、
よって、この \(x\) の前後での \(f^{\prime}(x)\) の符号は、
\(x \lt 0\) のとき、\(f^{\prime}(x) \gt 0\)
\(0 \lt x \lt 4\) のとき、\(f^{\prime}(x) \lt 0\)
\(4 \lt x\) のとき、\(f^{\prime}(x) \gt 0\)
さらに、
\(x=0\) のとき、
\(\begin{eqnarray}~~~f(0)&=&a \cdot 0^3-6a \cdot 0^2+64\\[3pt]~~~&=&64\end{eqnarray}\)
\(x=4\) のとき、
\(\begin{eqnarray}~~~f(4)&=&a \cdot 4^3-6a \cdot 4^2+64\\[3pt]~~~&=&64a-96a+64\\[3pt]~~~&=&-32a+64\end{eqnarray}\)
これより、増減表は、
\(\begin{array}{c|ccccc}x & \cdots & 0 & \cdots & 4 & \cdots \\\hline f^{\prime}(x) & + & 0 & – & 0 & + \\\hline f(x) & \nearrow & 64 & \searrow & -32a+64 & \nearrow\end{array}\)
これより、\(f(x)=0\) が異なる3つの実数解をもつには、\(y=f(x)\) のグラフが \(x\) 軸と3つの共有点をもてばよい
グラフより、極大値 \(\gt 0\) かつ極小値 \(\lt 0\) であればよいので、
\(\begin{eqnarray}~~~-32a+64 &\lt& 0\\[3pt]~~~-32a &\lt& -64\\[3pt]~~~a &\gt& 2\end{eqnarray}\)
したがって、\(a \gt 2\) となる
