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問題｜3次不等式が常に成り立つ条件
微分と積分 33☆\(x{\small ~≧~}0\) のとき、不等式 \(x^3-6x^2+9x+a \gt 0\) が常に成り立つような、定数 \(a\) の値の範囲の求め方は？
高校数学Ⅱ｜微分と積分
解法のPoint
3次不等式が常に成り立つ条件
Point：3次不等式が常に成り立つ条件
① 不等式の左辺を \(f(x)\) として微分し、\(f^{\prime}(x)=0\) となる \(x\) の値を求める。
\(f(x)=x^3-6x^2+9x+a\) より、
\(f^{\prime}(x)=3(x-1)(x-3)\)
よって、\(x=1~,~3\)
② ①の \(x\) の値の前後での \(f^{\prime}(x)\) の符号と、\(f(x)\) の値を求める。
\(0{\small ~≦~} x \lt 1\) のとき、\(f^{\prime}(x) \gt 0\)
\(1 \lt x \lt 3\) のとき、\(f^{\prime}(x) \lt 0\)
\(3 \lt x\) のとき、\(f^{\prime}(x) \gt 0\)
また、
\(x=1\) のとき、\(f(1)=a+4\)
\(x=3\) のとき、\(f(3)=a\)
\(x=0\) のとき、\(f(0)=a\)
③ 増減表より、最小値を求めて、最小値 \(\gt 0\) の条件より、\(a\) の範囲を求める。
\(x=0~,~3\) のとき、最小値 \(a\)
最小値が常に \(0\) より大きければよいので、
定数 \(a\) の範囲は、\(a\gt 0\)
3次不等式が常に成り立つ条件は、
① 不等式の左辺を \(f(x)\) として微分し、\(f^{\prime}(x)=0\) となる \(x\) の値を求める。
\(f(x)=x^3-6x^2+9x+a\) より、
\(f^{\prime}(x)=3(x-1)(x-3)\)
よって、\(x=1~,~3\)
② ①の \(x\) の値の前後での \(f^{\prime}(x)\) の符号と、\(f(x)\) の値を求める。
\(0{\small ~≦~} x \lt 1\) のとき、\(f^{\prime}(x) \gt 0\)
\(1 \lt x \lt 3\) のとき、\(f^{\prime}(x) \lt 0\)
\(3 \lt x\) のとき、\(f^{\prime}(x) \gt 0\)
また、
\(x=1\) のとき、\(f(1)=a+4\)
\(x=3\) のとき、\(f(3)=a\)
\(x=0\) のとき、\(f(0)=a\)
③ 増減表より、最小値を求めて、最小値 \(\gt 0\) の条件より、\(a\) の範囲を求める。
\(x=0~,~3\) のとき、最小値 \(a\)
最小値が常に \(0\) より大きければよいので、
定数 \(a\) の範囲は、\(a\gt 0\)
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詳しい解説｜3次不等式が常に成り立つ条件
微分と積分 33☆
\(x{\small ~≧~}0\) のとき、不等式 \(x^3-6x^2+9x+a \gt 0\) が常に成り立つような、定数 \(a\) の値の範囲の求め方は？
高校数学Ⅱ｜微分と積分
\(f(x)=x^3-6x^2+9x+a\) とおき、\(f(x)\) を微分すると、
\(\begin{eqnarray}~~~f^{\prime}(x)&=&(x^3)^{\prime}-6 \cdot (x^2)^{\prime}+9 \cdot (x)^{\prime}+(a)^{\prime}\\[3pt]~~~&=&3x^2-6 \cdot 2x+9 \cdot 1+0\\[3pt]~~~&=&3x^2-12x+9\\[3pt]~~~&=&3(x^2-4x+3)\\[3pt]~~~&=&3(x-1)(x-3)\end{eqnarray}\)
\(f^{\prime}(x)=0\) となる \(x\) の値は、
\(\begin{eqnarray}~~~f^{\prime}(x)&=&3(x-1)(x-3)=0\\[3pt]~~~&&x=1~,~3\end{eqnarray}\)
2次関数 \(y=f^{\prime}(x)\) のグラフより、
よって、\(x{\small ~≧~}0\) の範囲では、
\(0{\small ~≦~}x \lt 1\) のとき、\(f^{\prime}(x) \gt 0\)
\(1 \lt x \lt 3\) のとき、\(f^{\prime}(x) \lt 0\)
\(3 \lt x\) のとき、\(f^{\prime}(x) \gt 0\)
さらに、\(x=1\) のとき、
\(\begin{eqnarray}~~~f(1)&=&1^3-6 \cdot 1^2+9 \cdot 1+a\\[3pt]~~~&=&1-6+9+a\\[3pt]~~~&=&a+4\end{eqnarray}\)
\(x=3\) のとき、
\(\begin{eqnarray}~~~f(3)&=&3^3-6 \cdot 3^2+9 \cdot 3+a\\[3pt]~~~&=&27-54+27+a\\[3pt]~~~&=&a\end{eqnarray}\)
また、区間の端の値について、
\(x=0\) のとき、
\(\begin{eqnarray}~~~f(0)&=&0^3-6 \cdot 0^2+9 \cdot 0+a\\[3pt]~~~&=&a\end{eqnarray}\)
よって、\(x{\small ~≧~}0\) の範囲での \(f^{\prime}(x)\) の符号と \(f(x)\) の増減は、
\(\begin{array}{c|ccccccc}x & 0 & \cdots & 1 & \cdots & 3 & \cdots \\\hline f^{\prime}(x) & & + & 0 & – & 0 & + \\\hline f(x) & a & \nearrow & a+4 & \searrow & a & \nearrow\end{array}\)
これより、\(x=0~,~3\) のとき最小値 \(a\) となる
\(f(x) \gt 0\) が常に成り立つには、最小値が \(0\) より大きければよいので、
したがって、定数 \(a\) の範囲は、\(a \gt 0\) となる
