このページは、「3次不等式が常に成り立つ条件」の練習問題アーカイブページとなります。
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3次不等式が常に成り立つ条件 で確認できます。
問題アーカイブ01
問題アーカイブ01\(k\) は定数とする。\(x{\small ~≧~}0\) のとき、不等式 \(x^3-6x^2+k{\small ~≧~}0\) が成り立つような \(k\) の値の最小値を求めよ。
数研出版｜高等学校数学Ⅱ[710] p.230 章末問題B 11
数研出版｜新編数学Ⅱ[711] p.221 章末問題B 10
\(f(x)=x^3-6x^2+k\) とおき、\(f(x)\) を微分すると、
\(\begin{eqnarray}~~~f^{\prime}(x)&=&(x^3)^{\prime}-6 \cdot (x^2)^{\prime}+(k)^{\prime}\\[3pt]~~~&=&3x^2-6 \cdot 2x+0\\[3pt]~~~&=&3x^2-12x\\[3pt]~~~&=&3x(x-4)\end{eqnarray}\)
\(f^{\prime}(x)=0\) となる \(x\) の値は、
\(\begin{eqnarray}~~~f^{\prime}(x)&=&3x(x-4)=0\\[3pt]~~~&&x=0~,~4\end{eqnarray}\)
2次関数 \(y=f^{\prime}(x)\) のグラフより、
よって、\(x{\small ~≧~}0\) の範囲では、
\(0 \lt x \lt 4\) のとき、\(f^{\prime}(x) \lt 0\)
\(4 \lt x\) のとき、\(f^{\prime}(x) \gt 0\)
さらに、\(x=0\) のとき、
\(\begin{eqnarray}~~~f(0)&=&0^3-6 \cdot 0^2+k\\[3pt]~~~&=&k\end{eqnarray}\)
\(x=4\) のとき、
\(\begin{eqnarray}~~~f(4)&=&4^3-6 \cdot 4^2+k\\[3pt]~~~&=&64-96+k\\[3pt]~~~&=&k-32\end{eqnarray}\)
よって、\(x{\small ~≧~}0\) の範囲での \(f^{\prime}(x)\) の符号と \(f(x)\) の増減は、
\(\begin{array}{c|ccccc}x & 0 & \cdots & 4 & \cdots \\\hline f^{\prime}(x) & 0 & – & 0 & + \\\hline f(x) & k & \searrow & k-32 & \nearrow\end{array}\)
これより、\(x=4\) のとき最小値 \(k-32\) となる
\(f(x){\small ~≧~}0\) が常に成り立つには、最小値が \(0\) 以上であればよいので、
\(\begin{eqnarray}~~~k-32 &{\small ~≧~}& 0\\[3pt]~~~k &{\small ~≧~}& 32\end{eqnarray}\)
したがって、定数 \(k\) の最小値は、\(k=32\) となる
問題アーカイブ02
問題アーカイブ02\(x{\small ~≧~}0\) のとき、不等式 \(x^3+a \gt 3x^2+9x\) が常に成り立つような定数 \(a\) の値の範囲を求めよ。
東京書籍｜Advanced数学Ⅱ[701] p.218 問題 16
東京書籍｜Standard数学Ⅱ[702] p.248 Level Up 6
不等式を整理すると、
\(\begin{eqnarray}~~~x^3+a &\gt& 3x^2+9x\\[3pt]~~~x^3-3x^2-9x+a &\gt& 0\end{eqnarray}\)
\(f(x)=x^3-3x^2-9x+a\) とおき、\(f(x)\) を微分すると、
\(\begin{eqnarray}~~~f^{\prime}(x)&=&(x^3)^{\prime}-3 \cdot (x^2)^{\prime}-9 \cdot (x)^{\prime}+(a)^{\prime}\\[3pt]~~~&=&3x^2-3 \cdot 2x-9 \cdot 1+0\\[3pt]~~~&=&3x^2-6x-9\\[3pt]~~~&=&3(x^2-2x-3)\\[3pt]~~~&=&3(x+1)(x-3)\end{eqnarray}\)
\(f^{\prime}(x)=0\) となる \(x\) の値は、
\(\begin{eqnarray}~~~f^{\prime}(x)&=&3(x+1)(x-3)=0\\[3pt]~~~&&x=-1~,~3\end{eqnarray}\)
2次関数 \(y=f^{\prime}(x)\) のグラフより、
よって、\(x{\small ~≧~}0\) の範囲では、
\(0{\small ~≦~}x \lt 3\) のとき、\(f^{\prime}(x) \lt 0\)
\(3 \lt x\) のとき、\(f^{\prime}(x) \gt 0\)
さらに、\(x=3\) のとき、
\(\begin{eqnarray}~~~f(3)&=&3^3-3 \cdot 3^2-9 \cdot 3+a\\[3pt]~~~&=&27-27-27+a\\[3pt]~~~&=&a-27\end{eqnarray}\)
また、区間の端の値について、
\(x=0\) のとき、
\(\begin{eqnarray}~~~f(0)&=&0^3-3 \cdot 0^2-9 \cdot 0+a\\[3pt]~~~&=&a\end{eqnarray}\)
よって、\(x{\small ~≧~}0\) の範囲での \(f^{\prime}(x)\) の符号と \(f(x)\) の増減は、
\(\begin{array}{c|ccccc}x & 0 & \cdots & 3 & \cdots \\\hline f^{\prime}(x) & & – & 0 & + \\\hline f(x) & a & \searrow & a-27 & \nearrow\end{array}\)
これより、\(x=3\) のとき最小値 \(a-27\) となる
\(f(x) \gt 0\) が常に成り立つには、最小値が \(0\) より大きければよいので、
\(\begin{eqnarray}~~~a-27 &\gt& 0\\[3pt]~~~a &\gt& 27\end{eqnarray}\)
したがって、定数 \(a\) の範囲は、\(a \gt 27\) となる
問題アーカイブ03
問題アーカイブ03\(x{\small ~≧~}0\) のとき、不等式 \(ax^3+3{\small ~≧~}x^2\) が常に成り立つように、正の定数 \(a\) の値の範囲を定めよ。
東京書籍｜Advanced数学Ⅱ[701] p.244 練習問題A 5
不等式を整理すると、
\(\begin{eqnarray}~~~ax^3+3 &{\small ~≧~}& x^2\\[3pt]~~~ax^3-x^2+3 &{\small ~≧~}& 0\end{eqnarray}\)
\(f(x)=ax^3-x^2+3\) とおき、\(f(x)\) を微分すると、
\(\begin{eqnarray}~~~f^{\prime}(x)&=&a \cdot (x^3)^{\prime}-(x^2)^{\prime}+(3)^{\prime}\\[3pt]~~~&=&3ax^2-2x\\[3pt]~~~&=&x(3ax-2)\end{eqnarray}\)
\(a \gt 0\) より、\(f^{\prime}(x)=0\) となる \(x\) の値は、
\(\begin{eqnarray}~~~f^{\prime}(x)&=&x(3ax-2)=0\\[3pt]~~~&&x=0~,~\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3a\,}\end{eqnarray}\)
2次関数 \(y=f^{\prime}(x)\) のグラフより、
よって、\(x{\small ~≧~}0\) の範囲では、
\(0 \lt x \lt \displaystyle \frac{\,2\,}{\,3a\,}\) のとき、\(f^{\prime}(x) \lt 0\)
\(\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3a\,} \lt x\) のとき、\(f^{\prime}(x) \gt 0\)
さらに、\(x=0\) のとき、
\(\begin{eqnarray}~~~f(0)&=&a \cdot 0^3-0^2+3\\[3pt]~~~&=&3\end{eqnarray}\)
\(x=\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3a\,}\) のとき、
\(\begin{eqnarray}~~~f\left(\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3a\,}\right)&=&a \cdot \left(\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3a\,}\right)^3-\left(\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3a\,}\right)^2+3\\[5pt]~~~&=&a \cdot \displaystyle \frac{\,8\,}{\,27a^3\,}-\displaystyle \frac{\,4\,}{\,9a^2\,}+3\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,8\,}{\,27a^2\,}-\displaystyle \frac{\,4\,}{\,9a^2\,}+3\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,8\,}{\,27a^2\,}-\displaystyle \frac{\,12\,}{\,27a^2\,}+3\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,4\,}{\,27a^2\,}+3\\[5pt]~~~&=&3-\displaystyle \frac{\,4\,}{\,27a^2\,}\end{eqnarray}\)
よって、\(x{\small ~≧~}0\) の範囲での \(f^{\prime}(x)\) の符号と \(f(x)\) の増減は、
\(\begin{array}{c|ccccc}x & 0 & \cdots & \displaystyle \frac{\,2\,}{\,3a\,}\vphantom{\frac{\,0\,}{\,0\,}} & \cdots \\\hline f^{\prime}(x) & 0 & – & 0 & + \\\hline f(x) & 3 & \searrow & 3-\displaystyle \frac{\,4\,}{\,27a^2\,}\vphantom{\frac{\,0\,}{\,0\,}} & \nearrow\end{array}\)
これより、\(x=\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3a\,}\) のとき最小値 \(3-\displaystyle \frac{\,4\,}{\,27a^2\,}\) となる
\(f(x){\small ~≧~}0\) が常に成り立つには、最小値が \(0\) 以上であればよいので、
\(\begin{eqnarray}~~~3-\displaystyle \frac{\,4\,}{\,27a^2\,} &{\small ~≧~}& 0\\[5pt]~~~3 &{\small ~≧~}& \displaystyle \frac{\,4\,}{\,27a^2\,}\\[5pt]~~~27a^2 \cdot 3 &{\small ~≧~}& 4\\[5pt]~~~81a^2-4 &{\small ~≧~}&0\\[5pt]~~~(9a+2)(9a-2) &{\small ~≧~}& 0\end{eqnarray}\)
\(a \gt 0\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~a &{\small ~≧~}& \displaystyle \frac{\,2\,}{\,9\,}\end{eqnarray}\)
したがって、正の定数 \(a\) の範囲は、\(a{\small ~≧~}\displaystyle \frac{\,2\,}{\,9\,}\) となる
