- 数学Ⅱ｜微分と積分「関数xⁿの不定積分」の基本例題解説ページです。
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問題｜関数xⁿの不定積分
微分と積分 34不定積分\(\displaystyle\int 6x^3\,dx~,~\)\(\displaystyle\int dx~,~\)\(\displaystyle\int (3x^2-4x-5)\,dx~,~\)\(\displaystyle\int (3x+2)^2\,dx~,~\)\(\displaystyle\int (t-1)(t+3)\,dt\)の計算方法は？
高校数学Ⅱ｜微分と積分
解法のPoint
関数xⁿの不定積分
Point：関数xⁿの不定積分
\(\displaystyle\int x^n\,dx=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,n+1\,}x^{n+1}+C\)
ただし、\(C\) は積分定数
また、\(n=0\) のとき、\(x^0=1\) となり、
\(\displaystyle\int dx=x+C\)
\(k~,~l\) を定数として
関数 \(x^n\) の不定積分は、\(n\) を \(0\) または正の整数として、
\(\displaystyle\int x^n\,dx=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,n+1\,}x^{n+1}+C\)
ただし、\(C\) は積分定数
※ 次数を1つ上げて、その逆数を係数にかける。
また、\(n=0\) のとき、\(x^0=1\) となり、
\(\displaystyle\int dx=x+C\)
■ 不定積分の性質
\(k~,~l\) を定数として
\({\small [\,1\,]}~~\displaystyle\int kf(x)\,dx=k\displaystyle\int f(x)\,dx\)
\({\small [\,2\,]}~~\displaystyle\int \{f(x)+g(x)\}\,dx=\displaystyle\int f(x)\,dx+\displaystyle\int g(x)\,dx\)
\({\small [\,3\,]}~~\displaystyle\int \{f(x)-g(x)\}\,dx=\displaystyle\int f(x)\,dx-\displaystyle\int g(x)\,dx\)
\({\small [\,4\,]}~~\displaystyle\int \{kf(x)+lg(x)\}\,dx=k\displaystyle\int f(x)\,dx+l\displaystyle\int g(x)\,dx\)
\({\small [\,2\,]}~~\displaystyle\int \{f(x)+g(x)\}\,dx=\displaystyle\int f(x)\,dx+\displaystyle\int g(x)\,dx\)
\({\small [\,3\,]}~~\displaystyle\int \{f(x)-g(x)\}\,dx=\displaystyle\int f(x)\,dx-\displaystyle\int g(x)\,dx\)
\({\small [\,4\,]}~~\displaystyle\int \{kf(x)+lg(x)\}\,dx=k\displaystyle\int f(x)\,dx+l\displaystyle\int g(x)\,dx\)
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詳しい解説｜関数xⁿの不定積分
微分と積分 34
不定積分\(\displaystyle\int 6x^3\,dx~,~\)\(\displaystyle\int dx~,~\)\(\displaystyle\int (3x^2-4x-5)\,dx~,~\)\(\displaystyle\int (3x+2)^2\,dx~,~\)\(\displaystyle\int (t-1)(t+3)\,dt\)の計算方法は？
高校数学Ⅱ｜微分と積分
\(C\) を積分定数として、
\(\displaystyle\int 6x^3\,dx\) は係数の \(6\) を積分記号の前に出すと、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle\int 6x^3\,dx\\[3pt]~~~&=&6\displaystyle\int x^3\,dx\\[5pt]~~~&=&6 \cdot \displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}x^4+C\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}x^4+C\end{eqnarray}\)
\(\displaystyle\int dx\) は、\(1\) の不定積分であるので、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle\int dx\\[3pt]~~~&=&\displaystyle\int 1\,dx\\[3pt]~~~&=&x+C\end{eqnarray}\)
\(\displaystyle\int (3x^2-4x-5)\,dx\) はそれぞれの項の不定積分に分けると、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle\int (3x^2-4x-5)\,dx\\[3pt]~~~&=&3\displaystyle\int x^2\,dx-4\displaystyle\int x\,dx-5\displaystyle\int dx\\[5pt]~~~&=&3 \cdot \displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}x^3-4 \cdot \displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}x^2-5x+C\\[5pt]~~~&=&x^3-2x^2-5x+C\end{eqnarray}\)
\(\displaystyle\int (3x+2)^2\,dx\) は関数を展開し、それぞれの項の不定積分に分けると、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle\int (3x+2)^2\,dx\\[3pt]~~~&=&\displaystyle\int (9x^2+12x+4)\,dx\\[3pt]~~~&=&9\displaystyle\int x^2\,dx+12\displaystyle\int x\,dx+4\displaystyle\int dx\\[5pt]~~~&=&9 \cdot \displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}x^3+12 \cdot \displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}x^2+4x+C\\[5pt]~~~&=&3x^3+6x^2+4x+C\end{eqnarray}\)
\(\displaystyle\int (t-1)(t+3)\,dt\) は関数を展開し、それぞれの項の不定積分に分けて、変数 \(t\) で積分すると、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle\int (t-1)(t+3)\,dt\\[3pt]~~~&=&\displaystyle\int (t^2+2t-3)\,dt\\[3pt]~~~&=&\displaystyle\int t^2\,dt+2\displaystyle\int t\,dt-3\displaystyle\int dt\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}t^3+2 \cdot \displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}t^2-3t+C\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}t^3+t^2-3t+C\end{eqnarray}\)
