- 数学Ⅱ｜微分と積分「接線の傾きと不定積分」の基本例題解説ページです。
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問題｜接線の傾きと不定積分
微分と積分 36曲線 \(y=f(x)\) が点 \((0~,~3)\) を通り、その曲線上の点 \((x~,~f(x))\) での接線の傾きが \(x^2-x\) であるとき、\(f(x)\) の求め方は？
高校数学Ⅱ｜微分と積分
解法のPoint
接線の傾きと不定積分
Point：接線の傾きと不定積分
① 接線の傾き \(f^{\prime}(x)\) より、不定積分の計算から \(f(x)\) の式を求める。
\(f^{\prime}(x)=x^2-x\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~f(x)&=&\int(x^2-x)\,dx\\[3pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}x^3-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}x^2+C\end{eqnarray}\)
② 曲線 \(f(x)\) が通る点の条件より、積分定数 \(C\) を求め、\(f(x)\) を求める。
\(f(0)=3\) より、\(C=3\)
よって、\(f(x)=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}x^3-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}x^2+3\)
点 \((x~,~f(x))\) での接線の傾き \(f^{\prime}(x)\) が与えられた関数 \(f(x)\) の決定は、
① 接線の傾き \(f^{\prime}(x)\) より、不定積分の計算から \(f(x)\) の式を求める。
\(f^{\prime}(x)=x^2-x\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~f(x)&=&\int(x^2-x)\,dx\\[3pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}x^3-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}x^2+C\end{eqnarray}\)
② 曲線 \(f(x)\) が通る点の条件より、積分定数 \(C\) を求め、\(f(x)\) を求める。
\(f(0)=3\) より、\(C=3\)
よって、\(f(x)=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}x^3-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}x^2+3\)
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詳しい解説｜接線の傾きと不定積分
微分と積分 36
曲線 \(y=f(x)\) が点 \((0~,~3)\) を通り、その曲線上の点 \((x~,~f(x))\) での接線の傾きが \(x^2-x\) であるとき、\(f(x)\) の求め方は？
高校数学Ⅱ｜微分と積分
曲線 \(y=f(x)\) 上の点 \((x~,~f(x))\) での傾きが \(x^2-x\) より、
\(f^{\prime}(x)=x^2-x\)
これより、積分定数を \(C\) とし、
\(\begin{eqnarray}~~~f(x)&=&\int(x^2-x)\,dx\\[3pt]~~~&=&\int x^2 \,dx-\int x\hspace{1pt}\,dx\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}x^3-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}x^2+C\end{eqnarray}\)
また、点 \((0~,~3)\) を通るので、
\(\begin{eqnarray}~~~f(0)=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,} \cdot 0^3-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,} \cdot 0^2+C&=&3\\[5pt]~~~C&=&3\end{eqnarray}\)
したがって、
\(f(x)=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}x^3-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}x^2+3\)
