- 数学Ⅱ｜微分と積分「定積分の性質を用いた計算」の基本例題解説ページです。
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問題｜定積分の性質を用いた計算
微分と積分 38\(\displaystyle\int_{2}^{3}(x+1)^2\,dx-\int_{2}^{3}(x-1)^2\,dx~,~\)\(\displaystyle\int_{1}^{1}(2x-1)\,dx~,~\)\(\displaystyle\int_{-1}^{0}(3x^2+2x)\,dx-\int_{2}^{0}(3x^2+2x)\,dx\) の計算方法は？
高校数学Ⅱ｜微分と積分
解法のPoint
定積分の性質を用いた計算
Point：定積分の性質を用いた計算
\(\displaystyle\int_{a}^{a}f(x)\,dx=0\)
\(\displaystyle\int_{a}^{b}f(x)\,dx=-\int_{b}^{a}f(x)\,dx\)
\(\begin{eqnarray}&&\displaystyle\int_{a}^{b}f(x)\,dx+\int_{a}^{b}g(x)\,dx\\[5pt]&=&\displaystyle\int_{a}^{b}\{f(x)+g(x)\}\,dx\end{eqnarray}\)
区間が \([a~,~b]~,~[b~,~c]\) で連続するとき、
\(\displaystyle\int_{a}^{b}f(x)\,dx+\int_{b}^{c}f(x)\,dx=\int_{a}^{c}f(x)\,dx\)
■ 区間 \([a~,~a]\) で変化のない場合
\(\displaystyle\int_{a}^{a}f(x)\,dx=0\)
結果は \(0\) となる。
■ 区間を逆にする場合
\(\displaystyle\int_{a}^{b}f(x)\,dx=-\int_{b}^{a}f(x)\,dx\)
マイナスと付けて、区間を逆にする。
■ 区間が \([a~,~b]\) で同じ場合
\(\begin{eqnarray}&&\displaystyle\int_{a}^{b}f(x)\,dx+\int_{a}^{b}g(x)\,dx\\[5pt]&=&\displaystyle\int_{a}^{b}\{f(x)+g(x)\}\,dx\end{eqnarray}\)
中の関数の和より、1つの積分にできる。
■ 関数が \(f(x)\) で同じで、区間が連続する場合
区間が \([a~,~b]~,~[b~,~c]\) で連続するとき、
\(\displaystyle\int_{a}^{b}f(x)\,dx+\int_{b}^{c}f(x)\,dx=\int_{a}^{c}f(x)\,dx\)
区間が \([a~,~c]\) の1つの定積分にできる。
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詳しい解説｜定積分の性質を用いた計算
微分と積分 38
\(\displaystyle\int_{2}^{3}(x+1)^2\,dx-\int_{2}^{3}(x-1)^2\,dx~,~\)\(\displaystyle\int_{1}^{1}(2x-1)\,dx~,~\)\(\displaystyle\int_{-1}^{0}(3x^2+2x)\,dx-\int_{2}^{0}(3x^2+2x)\,dx\) の計算方法は？
高校数学Ⅱ｜微分と積分
\(\begin{eqnarray}~~~~~~\displaystyle\int_{2}^{3}(x+1)^2\,dx-\int_{2}^{3}(x-1)^2\,dx\end{eqnarray}\)
区間が \([2~,~3]\) で同じなので、1つの定積分にまとめると、
\(\begin{eqnarray}~~~&=&\int_{2}^{3}\{(x+1)^2-(x-1)^2\}\,dx
\\[3pt]~~~&=&\int_{2}^{3}\{(x^2+2x+1)-(x^2-2x+1)\}\,dx
\\[3pt]~~~&=&\int_{2}^{3}(x^2+2x+1-x^2+2x-1)\,dx
\\[3pt]~~~&=&\int_{2}^{3}4x~\,dx
\\[5pt]~~~&=&\left[4 \cdot \displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}x^2\right]_{2}^{3}
\\[5pt]~~~&=&\Big[2x^2\Big]_{2}^{3}
\\[3pt]~~~&=&2 \cdot 3^2-2 \cdot 2^2
\\[3pt]~~~&=&18-8
\\[3pt]~~~&=&10\end{eqnarray}\)
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle\int_{1}^{1}(2x-1)\,dx
\\[5pt]~~~&=&0\end{eqnarray}\)
※ 区間が \([1~,~1]\) で変化がないので \(0\) となる。
\(\begin{eqnarray}~~~~~~\displaystyle\int_{-1}^{0}(3x^2+2x)\,dx-\int_{2}^{0}(3x^2+2x)\,dx\end{eqnarray}\)
後半の積分の区間を逆にすると、
\(\begin{eqnarray}~~~&=&\int_{-1}^{0}(3x^2+2x)\,dx+\int_{0}^{2}(3x^2+2x)\,dx\end{eqnarray}\)
関数が同じで、区間が \([-1~,~0]~,~[0~,~2]\) で連続するので、1つの定積分にまとめると、
\(\begin{eqnarray}~~~&=&\int_{-1}^{2}(3x^2+2x)\,dx
\\[5pt]~~~&=&\left[\,3 \cdot \displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}x^3+2 \cdot \displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}x^2\,\right]_{-1}^{2}
\\[5pt]~~~&=&\Big[\,x^3+x^2\,\Big]_{-1}^{2}
\\[5pt]~~~&=&(2^3+2^2)-\{(-1)^3+(-1)^2\}
\\[3pt]~~~&=&(8+4)-(-1+1)
\\[3pt]~~~&=&12-0
\\[3pt]~~~&=&12\end{eqnarray}\)
