- 数学Ⅱ｜微分と積分「定積分∫f(t)dtを含む関数」の基本例題解説ページです。
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問題｜定積分∫f(t)dtを含む関数
微分と積分 39等式 \(f(x)=3x^2-2x+\displaystyle\int_0^2 f(t)\,dt\) を満たす関数 \(f(x)\) を求める方法は？
高校数学Ⅱ｜微分と積分
解法のPoint
定積分∫f(t)dtを含む関数
Point：定積分∫f(t)dtを含む関数
\(f(x)=3x^2-2x+\displaystyle\int_0^2 f(t)\,dt\)
① 定積分の計算結果が定数であることより、定数 \(a\) を用いて表す。
\(a=\displaystyle\int_0^2 f(t)\,dt\) より、
\(f(x)=3x^2-2x+a\)
② \(f(t)\) の関数を代入して、\(a=\displaystyle\int_0^2 f(t)\,dt\) の定積分を計算する。
\(\begin{eqnarray}~~~a&=&\displaystyle\int_0^2 (3t^2-2t+a)\,dt
\\[5pt]~~~&=&4+2a\end{eqnarray}\)
③ 左辺が \(a\) であることより、方程式として \(a\) の値を求め、\(f(x)\) を求める。
\(a=4+2a~\Leftrightarrow ~a=-4\)
よって、\(f(x)=3x^2-2x-4\)
定積分 \(\displaystyle\int_0^2 f(t)\,dt\) を含む関数は、
\(f(x)=3x^2-2x+\displaystyle\int_0^2 f(t)\,dt\)
① 定積分の計算結果が定数であることより、定数 \(a\) を用いて表す。
\(a=\displaystyle\int_0^2 f(t)\,dt\) より、
\(f(x)=3x^2-2x+a\)
② \(f(t)\) の関数を代入して、\(a=\displaystyle\int_0^2 f(t)\,dt\) の定積分を計算する。
\(\begin{eqnarray}~~~a&=&\displaystyle\int_0^2 (3t^2-2t+a)\,dt
\\[5pt]~~~&=&4+2a\end{eqnarray}\)
③ 左辺が \(a\) であることより、方程式として \(a\) の値を求め、\(f(x)\) を求める。
\(a=4+2a~\Leftrightarrow ~a=-4\)
よって、\(f(x)=3x^2-2x-4\)
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詳しい解説｜定積分∫f(t)dtを含む関数
微分と積分 39
等式 \(f(x)=3x^2-2x+\displaystyle\int_0^2 f(t)\,dt\) を満たす関数 \(f(x)\) を求める方法は？
高校数学Ⅱ｜微分と積分
\(f(x)=3x^2-2x+\displaystyle\int_0^2 f(t)\,dt~~~\cdots {\small [\,1\,]}\)
定積分 \(\displaystyle\int_0^2 f(t)\,dt\) の計算結果は定数になるので、
定数 \(a\) を用いて、\(a=\displaystyle\int_0^2 f(t)\,dt~~~\cdots {\small [\,2\,]}\)
\({\small [\,1\,]}\) より、
\(f(x)=3x^2-2x+a\)
よって、\(f(t)=3t^2-2t+a\) となるので、\({\small [\,2\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~a&=&\displaystyle\int_0^2 f(t)\,dt
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\int_0^2 (3t^2-2t+a)\,dt\end{eqnarray}\)
※ \(t\) の関数の定積分であるので、\(a\) は関数でなく数字と同じ扱いで計算する。
\(\begin{eqnarray}~~~\phantom{a}&=&\Big[\,3 \cdot \displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}t^3-2 \cdot \displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}t^2+at\,\Big]_0^2
\\[5pt]~~~&=&\Big[\,t^3-t^2+at\,\Big]_0^2
\\[5pt]~~~&=&(2^3-2^2+a \cdot 2)-0
\\[3pt]~~~&=&8-4+2a
\\[3pt]~~~&=&4+2a\end{eqnarray}\)
左辺も \(a\) であるので、
\(\begin{eqnarray}~~~a&=&4+2a
\\[3pt]~~~-a&=&4
\\[3pt]~~~a&=&-4\end{eqnarray}\)
したがって、\({\small [\,1\,]}\) 、\({\small [\,2\,]}\) より、
\(f(x)=3x^2-2x-4\)
