このページは、「定積分∫f(t)dtを含む関数」の練習問題アーカイブページとなります。
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定積分∫f(t)dtを含む関数 で確認できます。
問題アーカイブ01
数研出版｜数学Ⅱ[709] p.231 練習32
\(f(x)=3x^2-2\displaystyle\int_{-1}^1 f(t)\,dt~~~\cdots {\small [\,1\,]}\)
定積分 \(\displaystyle\int_{-1}^1 f(t)\,dt\) の計算結果は定数になるので、
定数 \(a\) を用いて、\(a=\displaystyle\int_{-1}^1 f(t)\,dt~~~\cdots {\small [\,2\,]}\)
\({\small [\,1\,]}\) より、
\(f(x)=3x^2-2a\)
よって、\(f(t)=3t^2-2a\) となるので、\({\small [\,2\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~a&=&\displaystyle\int_{-1}^1 f(t)\,dt
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\int_{-1}^1 (3t^2-2a)\,dt\end{eqnarray}\)
※ \(t\) の関数の定積分であるので、\(a\) は関数でなく数字と同じ扱いで計算する。
\(\begin{eqnarray}~~~\phantom{a}&=&\Big[\,3 \cdot \displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}t^3-2at\,\Big]_{-1}^1
\\[5pt]~~~&=&\Big[\,t^3-2at\,\Big]_{-1}^1
\\[5pt]~~~&=&(1^3-2a \cdot 1)-\{(-1)^3-2a \cdot (-1)\}
\\[3pt]~~~&=&(1-2a)-(-1+2a)
\\[3pt]~~~&=&1-2a+1-2a
\\[3pt]~~~&=&2-4a\end{eqnarray}\)
左辺も \(a\) であるので、
\(\begin{eqnarray}~~~a&=&2-4a
\\[3pt]~~~5a&=&2
\\[3pt]~~~a&=&\displaystyle \frac{\,2\,}{\,5\,}\end{eqnarray}\)
したがって、\({\small [\,1\,]}\) 、\({\small [\,2\,]}\) より、
\(f(x)=3x^2-\displaystyle \frac{\,4\,}{\,5\,}\)
問題アーカイブ02
\({\small (1)}~\) \(f(x)=4x+2\displaystyle\int_0^2 f(t)\,dt\)
\({\small (2)}~\) \(f(x)=3x^2+\displaystyle\int_{-1}^1 f(t)\,dt\)
数研出版｜高等学校数学Ⅱ[710] p.216 練習36
\({\small (1)}~\)
\(f(x)=4x+2\displaystyle\int_0^2 f(t)\,dt~~~\cdots {\small [\,1\,]}\)
定積分 \(\displaystyle\int_0^2 f(t)\,dt\) の計算結果は定数になるので、
定数 \(a\) を用いて、\(a=\displaystyle\int_0^2 f(t)\,dt~~~\cdots {\small [\,2\,]}\)
\({\small [\,1\,]}\) より、
\(f(x)=4x+2a\)
よって、\(f(t)=4t+2a\) となるので、\({\small [\,2\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~a&=&\displaystyle\int_0^2 f(t)\,dt
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\int_0^2 (4t+2a)\,dt\end{eqnarray}\)
※ \(t\) の関数の定積分であるので、\(a\) は関数でなく数字と同じ扱いで計算する。
\(\begin{eqnarray}~~~\phantom{a}&=&\Big[\,4 \cdot \displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}t^2+2at\,\Big]_0^2
\\[5pt]~~~&=&\Big[\,2t^2+2at\,\Big]_0^2
\\[5pt]~~~&=&(2 \cdot 2^2+2a \cdot 2)-0
\\[3pt]~~~&=&8+4a\end{eqnarray}\)
左辺も \(a\) であるので、
\(\begin{eqnarray}~~~a&=&8+4a
\\[3pt]~~~-3a&=&8
\\[3pt]~~~a&=&-\displaystyle \frac{\,8\,}{\,3\,}\end{eqnarray}\)
したがって、\({\small [\,1\,]}\) 、\({\small [\,2\,]}\) より、
\(f(x)=4x-\displaystyle \frac{\,16\,}{\,3\,}\)
\({\small (2)}~\)
\(f(x)=3x^2+\displaystyle\int_{-1}^1 f(t)\,dt~~~\cdots {\small [\,1\,]}\)
定積分 \(\displaystyle\int_{-1}^1 f(t)\,dt\) の計算結果は定数になるので、
定数 \(a\) を用いて、\(a=\displaystyle\int_{-1}^1 f(t)\,dt~~~\cdots {\small [\,2\,]}\)
\({\small [\,1\,]}\) より、
\(f(x)=3x^2+a\)
よって、\(f(t)=3t^2+a\) となるので、\({\small [\,2\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~a&=&\displaystyle\int_{-1}^1 f(t)\,dt
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\int_{-1}^1 (3t^2+a)\,dt\end{eqnarray}\)
※ \(t\) の関数の定積分であるので、\(a\) は関数でなく数字と同じ扱いで計算する。
\(\begin{eqnarray}~~~\phantom{a}&=&\Big[\,3 \cdot \displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}t^3+at\,\Big]_{-1}^1
\\[5pt]~~~&=&\Big[\,t^3+at\,\Big]_{-1}^1
\\[5pt]~~~&=&(1^3+a \cdot 1)-\{(-1)^3+a \cdot (-1)\}
\\[3pt]~~~&=&(1+a)-(-1-a)
\\[3pt]~~~&=&1+a+1+a
\\[3pt]~~~&=&2+2a\end{eqnarray}\)
左辺も \(a\) であるので、
\(\begin{eqnarray}~~~a&=&2+2a
\\[3pt]~~~-a&=&2
\\[3pt]~~~a&=&-2\end{eqnarray}\)
したがって、\({\small [\,1\,]}\) 、\({\small [\,2\,]}\) より、
\(f(x)=3x^2-2\)
問題アーカイブ03
数研出版｜高等学校数学Ⅱ[710] p.229 章末問題A 7
数研出版｜新編数学Ⅱ[711] p.221 章末問題B 12
\(f(x)=x^2+2\displaystyle\int_0^1 f(t)\,dt~~~\cdots {\small [\,1\,]}\)
定積分 \(\displaystyle\int_0^1 f(t)\,dt\) の計算結果は定数になるので、
定数 \(a\) を用いて、\(a=\displaystyle\int_0^1 f(t)\,dt~~~\cdots {\small [\,2\,]}\)
\({\small [\,1\,]}\) より、
\(f(x)=x^2+2a\)
よって、\(f(t)=t^2+2a\) となるので、\({\small [\,2\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~a&=&\displaystyle\int_0^1 f(t)\,dt
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\int_0^1 (t^2+2a)\,dt\end{eqnarray}\)
※ \(t\) の関数の定積分であるので、\(a\) は関数でなく数字と同じ扱いで計算する。
\(\begin{eqnarray}~~~\phantom{a}&=&\Big[\,\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}t^3+2at\,\Big]_0^1
\\[5pt]~~~&=&\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,} \cdot 1^3+2a \cdot 1\right)-0
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}+2a\end{eqnarray}\)
左辺も \(a\) であるので、
\(\begin{eqnarray}~~~a&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}+2a
\\[5pt]~~~-a&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}
\\[5pt]~~~a&=&-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\end{eqnarray}\)
したがって、\({\small [\,1\,]}\) 、\({\small [\,2\,]}\) より、
\(f(x)=x^2-\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\)
問題アーカイブ04
東京書籍｜Advanced数学Ⅱ[701] p.228 問10
東京書籍｜Standard数学Ⅱ[702] p.235 問11
\(f(x)=3x+2\displaystyle\int_0^2 f(t)\,dt~~~\cdots {\small [\,1\,]}\)
定積分 \(\displaystyle\int_0^2 f(t)\,dt\) の計算結果は定数になるので、
定数 \(a\) を用いて、\(a=\displaystyle\int_0^2 f(t)\,dt~~~\cdots {\small [\,2\,]}\)
\({\small [\,1\,]}\) より、
\(f(x)=3x+2a\)
よって、\(f(t)=3t+2a\) となるので、\({\small [\,2\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~a&=&\displaystyle\int_0^2 f(t)\,dt
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\int_0^2 (3t+2a)\,dt\end{eqnarray}\)
※ \(t\) の関数の定積分であるので、\(a\) は関数でなく数字と同じ扱いで計算する。
\(\begin{eqnarray}~~~\phantom{a}&=&\Big[\,3 \cdot \displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}t^2+2at\,\Big]_0^2
\\[5pt]~~~&=&\Big[\,\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}t^2+2at\,\Big]_0^2
\\[5pt]~~~&=&\left(\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,} \cdot 2^2+2a \cdot 2\right)-0
\\[3pt]~~~&=&6+4a\end{eqnarray}\)
左辺も \(a\) であるので、
\(\begin{eqnarray}~~~a&=&6+4a
\\[3pt]~~~-3a&=&6
\\[3pt]~~~a&=&-2\end{eqnarray}\)
したがって、\({\small [\,1\,]}\) 、\({\small [\,2\,]}\) より、
\(f(x)=3x-4\)
問題アーカイブ05
東京書籍｜Standard数学Ⅱ[702] p.247 Training 22
\(f(x)=2x+5\displaystyle\int_0^5 f(t)\,dt~~~\cdots {\small [\,1\,]}\)
定積分 \(\displaystyle\int_0^5 f(t)\,dt\) の計算結果は定数になるので、
定数 \(a\) を用いて、\(a=\displaystyle\int_0^5 f(t)\,dt~~~\cdots {\small [\,2\,]}\)
\({\small [\,1\,]}\) より、
\(f(x)=2x+5a\)
よって、\(f(t)=2t+5a\) となるので、\({\small [\,2\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~a&=&\displaystyle\int_0^5 f(t)\,dt
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\int_0^5 (2t+5a)\,dt\end{eqnarray}\)
※ \(t\) の関数の定積分であるので、\(a\) は関数でなく数字と同じ扱いで計算する。
\(\begin{eqnarray}~~~\phantom{a}&=&\Big[\,2 \cdot \displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}t^2+5at\,\Big]_0^5
\\[5pt]~~~&=&\Big[\,t^2+5at\,\Big]_0^5
\\[5pt]~~~&=&(5^2+5a \cdot 5)-0
\\[3pt]~~~&=&25+25a\end{eqnarray}\)
左辺も \(a\) であるので、
\(\begin{eqnarray}~~~a&=&25+25a
\\[3pt]~~~-24a&=&25
\\[3pt]~~~a&=&-\displaystyle \frac{\,25\,}{\,24\,}\end{eqnarray}\)
したがって、\({\small [\,1\,]}\) 、\({\small [\,2\,]}\) より、
\(f(x)=2x-\displaystyle \frac{\,125\,}{\,24\,}\)
