- 数学Ⅱ｜微分と積分「定積分で表された関数と微分」の基本例題解説ページです。
- 目次をクリックすると各セクションへ移動します。
問題｜定積分で表された関数と微分
微分と積分 40関数 \(f(x)=\displaystyle\int_a^x(2t^2-3t+1)\,dt\) を微分する方法は？
高校数学Ⅱ｜微分と積分
解法のPoint
定積分で表された関数と微分
Point：定積分で表された関数と微分
\(a\) を定数としたとき、区間 \([\,a~,~x\,]\) の定積分の計算結果は \(x\) の関数となる。
\(f(x)=\displaystyle\int_a^x g(t)\,dt\)
よって、両辺の関数をそれぞれ微分すると、
\(f^{\prime}(x)=\displaystyle \frac{\,d\,}{\,dx\,}\displaystyle\int_a^x g(t)\,dt=g(x)\)
定積分で表された関数の微分は、
\(a\) を定数としたとき、区間 \([\,a~,~x\,]\) の定積分の計算結果は \(x\) の関数となる。
\(f(x)=\displaystyle\int_a^x g(t)\,dt\)
よって、両辺の関数をそれぞれ微分すると、
\(f^{\prime}(x)=\displaystyle \frac{\,d\,}{\,dx\,}\displaystyle\int_a^x g(t)\,dt=g(x)\)
©︎ 2026 教科書より詳しい高校数学 yorikuwa.com
詳しい解説｜定積分で表された関数と微分
微分と積分 40
関数 \(f(x)=\displaystyle\int_a^x(2t^2-3t+1)\,dt\) を微分する方法は？
高校数学Ⅱ｜微分と積分
定積分 \(\displaystyle\int_0^x(2t^2-3t+1)\,dt\) の計算結果は、
区間が \([\,0~,~x\,]\) より、\(x\) の関数となるので、
\(\begin{eqnarray}~~~f(x)&=&\displaystyle\int_0^x(2t^2-3t+1)\,dt\end{eqnarray}\)
両辺の関数をそれぞれ微分すると、
\(\begin{eqnarray}~~~f^{\prime}(x)&=&\displaystyle \frac{\,d\,}{\,dx\,}\displaystyle\int_0^x(2t^2-3t+1)\,dt\\[5pt]~~~&=&2x^2-3x+1\end{eqnarray}\)
したがって、\(f^{\prime}(x)=2x^2-3x+1\)
