- 数学Ⅱ｜微分と積分「区間にxを含む定積分と関数の決定」の基本例題解説ページです。
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問題｜区間にxを含む定積分と関数の決定
微分と積分 41等式 \(\displaystyle\int_a^x f(t)\,dt=x^2+3x-10\) を満たす関数 \(f(x)\) と定数 \(a\) を求める方法は？
高校数学Ⅱ｜微分と積分
解法のPoint
区間にxを含む定積分と関数の決定
Point：区間にxを含む定積分と関数の決定
\(\displaystyle\int_a^x f(t)\,dt=x^2+3x-10\)
① 定積分 \(\displaystyle\int_a^x f(t)\,dt\) の計算結果は \(x\) の関数であるので、両辺の関数を \(x\) で微分して \(f(x)\) を求める。
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,d\,}{\,dx\,}\displaystyle\int_a^x f(t)\,dt&=&(x^2+3x-10)^{\prime}
\\[5pt]~~~f(x)&=&2x+3\end{eqnarray}\)
② 区間が \([a~,~a]\) となるように \(x=a\) を代入し、方程式を解いて \(a\) の値を求める。
\(\displaystyle\int_a^a f(t)\,dt=a^2+3a-10\)
よって、\(a^2+3a-10=0\)
区間に \(x\) を含む定積分が条件の関数は、
\(\displaystyle\int_a^x f(t)\,dt=x^2+3x-10\)
① 定積分 \(\displaystyle\int_a^x f(t)\,dt\) の計算結果は \(x\) の関数であるので、両辺の関数を \(x\) で微分して \(f(x)\) を求める。
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,d\,}{\,dx\,}\displaystyle\int_a^x f(t)\,dt&=&(x^2+3x-10)^{\prime}
\\[5pt]~~~f(x)&=&2x+3\end{eqnarray}\)
② 区間が \([a~,~a]\) となるように \(x=a\) を代入し、方程式を解いて \(a\) の値を求める。
\(\displaystyle\int_a^a f(t)\,dt=a^2+3a-10\)
よって、\(a^2+3a-10=0\)
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詳しい解説｜区間にxを含む定積分と関数の決定
微分と積分 41
等式 \(\displaystyle\int_a^x f(t)\,dt=x^2+3x-10\) を満たす関数 \(f(x)\) と定数 \(a\) を求める方法は？
高校数学Ⅱ｜微分と積分
\(\displaystyle\int_a^x f(t)\,dt=x^2+3x-10~~~\cdots {\small [\,1\,]}\)
定積分 \(\displaystyle\int_a^x f(t)\,dt\) の計算結果は区間が \([a~,~x]\) より、\(x\) の関数となる
よって、\({\small [\,1\,]}\) の両辺の関数を \(x\) で微分すると、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,d\,}{\,dx\,}\displaystyle\int_a^x f(t)\,dt&=&(x^2+3x-10)^{\prime}
\\[5pt]~~~f(x)&=&(x^2)^{\prime}+3 \cdot (x)^{\prime}+(-10)^{\prime}\\[5pt]~~~&=&2x+3 \cdot 1+0\\[5pt]~~~&=&2x+3\end{eqnarray}\)
次に、\({\small [\,1\,]}\) の等式に \(x=a\) を代入すると、
\(\displaystyle\int_a^a f(t)\,dt=a^2+3a-10\)
区間 \([a~,~a]\) で変化がないので \(0\) となり、
\(\begin{eqnarray}~~~a^2+3a-10&=&0\\[3pt]~~~(a-2)(a+5)&=&0\\[3pt]~~~a&=&2~,~-5\end{eqnarray}\)
したがって、
\(f(x)=2x+3\)、\(a=2~,~-5\) となる
