区間にxを含む定積分と関数の決定

数研出版｜数学Ⅱ[709] p.232 練習33

　\(\displaystyle\int_a^x f(t)\,dt=x^2-3x+2~~~\cdots {\small [\,1\,]}\)

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定積分 \(\displaystyle\int_a^x f(t)\,dt\) の計算結果は区間が \([a~,~x]\) より、\(x\) の関数となる

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よって、\({\small [\,1\,]}\) の両辺の関数を \(x\) で微分すると、

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\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,d\,}{\,dx\,}\displaystyle\int_a^x f(t)\,dt&=&(x^2-3x+2)^{\prime}
\\[5pt]~~~f(x)&=&(x^2)^{\prime}-3 \cdot (x)^{\prime}+(2)^{\prime}\\[3pt]~~~&=&2x-3 \cdot 1+0\\[3pt]~~~&=&2x-3\end{eqnarray}\)
 
 
次に、\({\small [\,1\,]}\) の等式に \(x=a\) を代入すると、

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　\(\displaystyle\int_a^a f(t)\,dt=a^2-3a+2\)

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区間 \([a~,~a]\) で変化がないので \(0\) となり、

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\(\begin{eqnarray}~~~a^2-3a+2&=&0\\[3pt]~~~(a-1)(a-2)&=&0\\[3pt]~~~a&=&1~,~2\end{eqnarray}\)

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したがって、

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　\(f(x)=2x-3\)、\(a=1~,~2\) となる

数研出版｜高等学校数学Ⅱ[710] p.217 練習38
数研出版｜新編数学Ⅱ[711] p.210 練習34

　\(\displaystyle\int_a^x f(t)\,dt=x^2-x-2~~~\cdots {\small [\,1\,]}\)

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定積分 \(\displaystyle\int_a^x f(t)\,dt\) の計算結果は区間が \([a~,~x]\) より、\(x\) の関数となる

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よって、\({\small [\,1\,]}\) の両辺の関数を \(x\) で微分すると、

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\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,d\,}{\,dx\,}\displaystyle\int_a^x f(t)\,dt&=&(x^2-x-2)^{\prime}
\\[5pt]~~~f(x)&=&(x^2)^{\prime}-(x)^{\prime}+(-2)^{\prime}\\[3pt]~~~&=&2x-1+0\\[3pt]~~~&=&2x-1\end{eqnarray}\)
 
 
次に、\({\small [\,1\,]}\) の等式に \(x=a\) を代入すると、

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　\(\displaystyle\int_a^a f(t)\,dt=a^2-a-2\)

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区間 \([a~,~a]\) で変化がないので \(0\) となり、

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\(\begin{eqnarray}~~~a^2-a-2&=&0\\[3pt]~~~(a-2)(a+1)&=&0\\[3pt]~~~a&=&2~,~-1\end{eqnarray}\)

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したがって、

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　\(f(x)=2x-1\)、\(a=2~,~-1\) となる

東京書籍｜Advanced数学Ⅱ[701] p.229 問12

\({\small (1)}~\)\(\displaystyle\int_a^x f(t)\,dt=x^2-3x-4~~~\cdots {\small [\,1\,]}\)

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定積分 \(\displaystyle\int_a^x f(t)\,dt\) の計算結果は区間が \([a~,~x]\) より、\(x\) の関数となる

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よって、\({\small [\,1\,]}\) の両辺の関数を \(x\) で微分すると、

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\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,d\,}{\,dx\,}\displaystyle\int_a^x f(t)\,dt&=&(x^2-3x-4)^{\prime}
\\[5pt]~~~f(x)&=&(x^2)^{\prime}-3 \cdot (x)^{\prime}+(-4)^{\prime}\\[3pt]~~~&=&2x-3 \cdot 1+0\\[3pt]~~~&=&2x-3\end{eqnarray}\)
 
 
次に、\({\small [\,1\,]}\) の等式に \(x=a\) を代入すると、

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　\(\displaystyle\int_a^a f(t)\,dt=a^2-3a-4\)

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区間 \([a~,~a]\) で変化がないので \(0\) となり、

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\(\begin{eqnarray}~~~a^2-3a-4&=&0\\[3pt]~~~(a-4)(a+1)&=&0\\[3pt]~~~a&=&4~,~-1\end{eqnarray}\)

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したがって、

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　\(f(x)=2x-3\)、\(a=4~,~-1\) となる

 
 

\({\small (2)}~\)\(\displaystyle\int_1^x f(t)\,dt=x^3+ax-5~~~\cdots {\small [\,1\,]}\)

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定積分 \(\displaystyle\int_1^x f(t)\,dt\) の計算結果は区間が \([1~,~x]\) より、\(x\) の関数となる

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よって、\({\small [\,1\,]}\) の両辺の関数を \(x\) で微分すると、

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\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,d\,}{\,dx\,}\displaystyle\int_1^x f(t)\,dt&=&(x^3+ax-5)^{\prime}
\\[5pt]~~~f(x)&=&(x^3)^{\prime}+a \cdot (x)^{\prime}+(-5)^{\prime}\\[3pt]~~~&=&3x^2+a\end{eqnarray}\)
 
 
次に、\({\small [\,1\,]}\) の等式に \(x=1\) を代入すると、

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　\(\displaystyle\int_1^1 f(t)\,dt=1^3+a \cdot 1-5\)

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区間 \([1~,~1]\) で変化がないので \(0\) となり、

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\(\begin{eqnarray}~~~1+a-5&=&0\\[3pt]~~~a&=&4\end{eqnarray}\)

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したがって、

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　\(f(x)=3x^2+4\)、\(a=4\) となる

東京書籍｜Standard数学Ⅱ[702] p.236 問13

　\(\displaystyle\int_2^x f(t)\,dt=x^2-5x+2a~~~\cdots {\small [\,1\,]}\)

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定積分 \(\displaystyle\int_2^x f(t)\,dt\) の計算結果は区間が \([2~,~x]\) より、\(x\) の関数となる

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よって、\({\small [\,1\,]}\) の両辺の関数を \(x\) で微分すると、

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\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,d\,}{\,dx\,}\displaystyle\int_2^x f(t)\,dt&=&(x^2-5x+2a)^{\prime}
\\[5pt]~~~f(x)&=&(x^2)^{\prime}-5 \cdot (x)^{\prime}+(2a)^{\prime}\\[3pt]~~~&=&2x-5 \cdot 1+0\\[3pt]~~~&=&2x-5\end{eqnarray}\)
 
 
次に、\({\small [\,1\,]}\) の等式に \(x=2\) を代入すると、

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　\(\displaystyle\int_2^2 f(t)\,dt=2^2-5 \cdot 2+2a\)

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区間 \([2~,~2]\) で変化がないので \(0\) となり、

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\(\begin{eqnarray}~~~4-10+2a&=&0\\[3pt]~~~2a&=&6\\[3pt]~~~a&=&3\end{eqnarray}\)

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したがって、

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　\(f(x)=2x-5\)、\(a=3\) となる

東京書籍｜Standard数学Ⅱ[702] p.247 Training 23

　\(\displaystyle\int_{-1}^x f(t)\,dt=6x^2-3ax-a~~~\cdots {\small [\,1\,]}\)

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定積分 \(\displaystyle\int_{-1}^x f(t)\,dt\) の計算結果は区間が \([-1~,~x]\) より、\(x\) の関数となる

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よって、\({\small [\,1\,]}\) の両辺の関数を \(x\) で微分すると、

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\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,d\,}{\,dx\,}\displaystyle\int_{-1}^x f(t)\,dt&=&(6x^2-3ax-a)^{\prime}
\\[5pt]~~~f(x)&=&6 \cdot (x^2)^{\prime}-3a \cdot (x)^{\prime}+(-a)^{\prime}\\[3pt]~~~&=&6 \cdot 2x-3a \cdot 1+0\\[3pt]~~~&=&12x-3a\end{eqnarray}\)
 
 
次に、\({\small [\,1\,]}\) の等式に \(x=-1\) を代入すると、

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　\(\displaystyle\int_{-1}^{-1} f(t)\,dt=6 \cdot (-1)^2-3a \cdot (-1)-a\)

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区間 \([-1~,~-1]\) で変化がないので \(0\) となり、

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\(\begin{eqnarray}~~~6+3a-a&=&0\\[3pt]~~~2a&=&-6\\[3pt]~~~a&=&-3\end{eqnarray}\)

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したがって、

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　\(f(x)=12x+9\)、\(a=-3\) となる

東京書籍｜Standard数学Ⅱ[702] p.247 Training 24

　\(\displaystyle\int_a^x f(t)\,dt=3x^2+2x-5~~~\cdots {\small [\,1\,]}\)

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定積分 \(\displaystyle\int_a^x f(t)\,dt\) の計算結果は区間が \([a~,~x]\) より、\(x\) の関数となる

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よって、\({\small [\,1\,]}\) の両辺の関数を \(x\) で微分すると、

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\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,d\,}{\,dx\,}\displaystyle\int_a^x f(t)\,dt&=&(3x^2+2x-5)^{\prime}
\\[5pt]~~~f(x)&=&3 \cdot (x^2)^{\prime}+2 \cdot (x)^{\prime}+(-5)^{\prime}\\[3pt]~~~&=&3 \cdot 2x+2 \cdot 1+0\\[3pt]~~~&=&6x+2\end{eqnarray}\)
 
 
次に、\({\small [\,1\,]}\) の等式に \(x=a\) を代入すると、

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　\(\displaystyle\int_a^a f(t)\,dt=3a^2+2a-5\)

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区間 \([a~,~a]\) で変化がないので \(0\) となり、

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\(\begin{eqnarray}~~~3a^2+2a-5&=&0\\[3pt]~~~(3a+5)(a-1)&=&0\\[3pt]~~~a&=&-\displaystyle \frac{\,5\,}{\,3\,}~,~1\end{eqnarray}\)

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したがって、

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　\(f(x)=6x+2\)、\(a=-\displaystyle \frac{\,5\,}{\,3\,}~,~1\) となる