- 数学Ⅱ｜微分と積分「定積分が条件の関数の決定」の基本例題解説ページです。
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問題｜定積分が条件の関数の決定
高校数学Ⅱ｜微分と積分
解法のPoint
定積分が条件の関数の決定
定積分が条件の関数の決定は、
① 関数 \(f(x)\) を文字で表し、微分して導関数 \(f^{\prime}(x)\) を求める。
2次関数 \(f(x)=ax^2+bx+c\) より、
\(f^{\prime}(x)=2ax+b\)
② 関数の値、導関数の値、定積分の値より、連立方程式を立てる。
\(f(1)=2\) より、\(a+b+c=2\)
\(f^{\prime}(1)=4\) より、\(2a+b=4\)
\(\displaystyle\int_{-1}^{1}f(x)\,dx=4\) より、\(a+3c=6\)
③ 連立方程式を解き \(a~,~b~,~c\) を求め、\(f(x)\) を求める。
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詳しい解説｜定積分が条件の関数の決定
2次関数 \(f(x)\) が \(f(1)=2~,~\)\(f^{\prime}(1)=4~,~\)\(\displaystyle\int_{-1}^{1}f(x)\,dx=4\) を満たすとき、\(f(x)\) の求め方は？
高校数学Ⅱ｜微分と積分
この2次関数を、
\(f(x)=ax^2+bx+c~~~\cdots {\small [\,1\,]}\)
ととき、微分すると、
\(\begin{eqnarray}~~~f^{\prime}(x)&=&a(x^2)^{\prime}+b(x)^{\prime}+(c)^{\prime}\\[3pt]~~~&=&a \cdot 2x+b \cdot 1+0\\[3pt]~~~&=&2ax+b~~~\cdots {\small[\,2\,]}\end{eqnarray}\)
\(f(1)=2\) と \({\small [\,1\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~f(1)=a \cdot 1^2+b \cdot 1+c&=&2\\[3pt]~~~a+b+c&=&2~~~\cdots {\rm [\,A\,]}\end{eqnarray}\)
\(f^{\prime}(1)=4\) と \({\small [\,2\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~f^{\prime}(1)=2a \cdot 1+b&=&4\\[3pt]~~~2a+b&=&4~~~\cdots {\rm [\,B\,]}\end{eqnarray}\)
また、\(\displaystyle\int_{-1}^{1}f(x)\,dx=4\) と \({\small [\,1\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle\int_{-1}^{1}(ax^2+bx+c)\,dx&=&4
\\[5pt]~~~\left[\,a \cdot \displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}x^3+b \cdot \displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}x^2+cx\,\right]_{-1}^{1}&=&4
\\[5pt]~~~\left[\,\displaystyle \frac{\,a\,}{\,3\,}x^3+\displaystyle \frac{\,b\,}{\,2\,}x^2+cx\,\right]_{-1}^{1}&=&4
\end{eqnarray}\)
ここで、\(\displaystyle \frac{\,a\,}{\,3\,}x^3+\displaystyle \frac{\,b\,}{\,2\,}x^2+cx\) に、
\(x=1\) を代入すると、
\(\begin{eqnarray}~&&\displaystyle \frac{\,a\,}{\,3\,}\cdot 1^3+\displaystyle \frac{\,b\,}{\,2\,}\cdot 1^2+c\cdot 1
\\[5pt]~&=&\displaystyle \frac{\,a\,}{\,3\,}+\displaystyle \frac{\,b\,}{\,2\,}+c
\end{eqnarray}\)
\(x=-1\) を代入すると、
\(\begin{eqnarray}~&&\displaystyle \frac{\,a\,}{\,3\,}\cdot (-1)^3+\displaystyle \frac{\,b\,}{\,2\,}\cdot (-1)^2+c\cdot (-1)
\\[5pt]~&=&-\displaystyle \frac{\,a\,}{\,3\,}+\displaystyle \frac{\,b\,}{\,2\,}-c
\end{eqnarray}\)
\\[5pt]~~~\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}a+2c&=&4
\\[5pt]~~~\left(\,\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}a+2c\,\right) {\, \small \times \,} \displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}&=&4 {\, \small \times \,} \displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~a+3c&=&6 ~ ~ ~ \hspace{10pt}\cdots {\rm [\,C\,]}\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
\({\rm [\,B\,]}-{\rm [\,A\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~~~2a+b&=&4\\~-\big{)}~~~a+b+c&=&2\\\hline a-c&=&2~~~\cdots {\rm [\,D\,]}\end{eqnarray}\)
\({\rm [\,C\,]}-{\rm [\,D\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~~~a+3c&=&6\\~-\big{)}~~~a-c&=&2\\\hline 4c&=&4\\[3pt]~~~c&=&1\end{eqnarray}\)
\({\rm [\,D\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~a-1&=&2\\[3pt]~~~a&=&3\end{eqnarray}\)
\({\rm [\,B\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~2 \cdot 3+b&=&4\\[3pt]~~~b&=&4-6\\[3pt]~~~b&=&-2\end{eqnarray}\)
したがって、\(f(x)=3x^2-2x+1\) となる
