このページは、「○○」の練習問題アーカイブページとなります。
この問題の解き方の詳細は↓
○○ で確認できます。
問題アーカイブ01
問題アーカイブ011次関数 \(f(x)=px+q\) について、
\(\displaystyle\int_{0}^{1}f(x)\,dx=-1~,~\)\(\displaystyle\int_{0}^{1}xf(x)\,dx=0\)
が同時に成り立つような定数 \(p~,~q\) の値を求めよ。
\(\displaystyle\int_{0}^{1}f(x)\,dx=-1~,~\)\(\displaystyle\int_{0}^{1}xf(x)\,dx=0\)
が同時に成り立つような定数 \(p~,~q\) の値を求めよ。
東京書籍｜Advanced数学Ⅱ[701] p.238 問題 18
\(\displaystyle\int_{0}^{1}f(x)\,dx=-1\) に \(f(x)=px+q\) を代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle\int_{0}^{1}(px+q)\,dx&=&-1
\\[5pt]~~~\left[\,p \cdot \displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}x^2+qx\,\right]_{0}^{1}&=&-1
\\[5pt]~~~\left[\,\displaystyle \frac{\,p\,}{\,2\,}x^2+qx\,\right]_{0}^{1}&=&-1
\end{eqnarray}\)
ここで、\(\displaystyle \frac{\,p\,}{\,2\,}x^2+qx\) に、
\(x=1\) を代入すると、
\(\begin{eqnarray}~&&\displaystyle \frac{\,p\,}{\,2\,} \cdot 1^2+q \cdot 1
\\[5pt]~&=&\displaystyle \frac{\,p\,}{\,2\,}+q
\end{eqnarray}\)
\(x=0\) を代入すると、
\(\begin{eqnarray}~&&\displaystyle \frac{\,p\,}{\,2\,} \cdot 0^2+q \cdot 0=0\end{eqnarray}\)
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,p\,}{\,2\,}+q-0&=&-1
\\[5pt]~~~\displaystyle \frac{\,p\,}{\,2\,}+q&=&-1\end{eqnarray}\)
両辺に \(2\) を掛けると、
\(\begin{eqnarray}~~~\left(\,\displaystyle \frac{\,p\,}{\,2\,}+q\,\right) {\, \small \times \,} 2&=&-1 {\, \small \times \,} 2
\\[5pt]~~~p+2q&=&-2~~~\cdots {\rm [\,A\,]}\end{eqnarray}\)
また、\(\displaystyle\int_{0}^{1}xf(x)\,dx=0\) に \(f(x)=px+q\) を代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle\int_{0}^{1}x(px+q)\,dx&=&0
\\[5pt]~~~\displaystyle\int_{0}^{1}(px^2+qx)\,dx&=&0
\\[5pt]~~~\left[\,p \cdot \displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}x^3+q \cdot \displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}x^2\,\right]_{0}^{1}&=&0
\\[5pt]~~~\left[\,\displaystyle \frac{\,p\,}{\,3\,}x^3+\displaystyle \frac{\,q\,}{\,2\,}x^2\,\right]_{0}^{1}&=&0
\end{eqnarray}\)
ここで、\(\displaystyle \frac{\,p\,}{\,3\,}x^3+\displaystyle \frac{\,q\,}{\,2\,}x^2\) に、
\(x=1\) を代入すると、
\(\begin{eqnarray}~&&\displaystyle \frac{\,p\,}{\,3\,} \cdot 1^3+\displaystyle \frac{\,q\,}{\,2\,} \cdot 1^2
\\[5pt]~&=&\displaystyle \frac{\,p\,}{\,3\,}+\displaystyle \frac{\,q\,}{\,2\,}
\end{eqnarray}\)
\(x=0\) を代入すると、
\(\begin{eqnarray}~&&\displaystyle \frac{\,p\,}{\,3\,} \cdot 0^3+\displaystyle \frac{\,q\,}{\,2\,} \cdot 0^2=0\end{eqnarray}\)
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,p\,}{\,3\,}+\displaystyle \frac{\,q\,}{\,2\,}-0&=&0
\\[5pt]~~~\displaystyle \frac{\,p\,}{\,3\,}+\displaystyle \frac{\,q\,}{\,2\,}&=&0\end{eqnarray}\)
両辺に \(6\) を掛けると、
\(\begin{eqnarray}~~~\left(\,\displaystyle \frac{\,p\,}{\,3\,}+\displaystyle \frac{\,q\,}{\,2\,}\,\right) {\, \small \times \,} 6&=&0 {\, \small \times \,} 6
\\[5pt]~~~2p+3q&=&0~~~\cdots {\rm [\,B\,]}\end{eqnarray}\)
\({\rm [\,B\,]}-{\rm [\,A\,]} {\, \small \times \,} 2\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~~~2p+3q&=&0\\~-\big{)}~~~2p+4q&=&-4\\\hline -q&=&4\\[3pt]~~~q&=&-4\end{eqnarray}\)
\({\rm [\,A\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~p+2 \cdot (-4)&=&-2\\[3pt]~~~p-8&=&-2\\[3pt]~~~p&=&6\end{eqnarray}\)
したがって、\(p=6~,~q=-4\) となる
問題アーカイブ02
問題アーカイブ02次の3つの条件を同時に満たす2次関数 \(f(x)\) を求めよ。
\(f(1)=-2~,~\)\(f^{\prime}(1)=1~,~\)\(\displaystyle\int_{-1}^{2}f(x)\,dx=-\displaystyle \frac{\,9\,}{\,2\,}\)
\(f(1)=-2~,~\)\(f^{\prime}(1)=1~,~\)\(\displaystyle\int_{-1}^{2}f(x)\,dx=-\displaystyle \frac{\,9\,}{\,2\,}\)
東京書籍｜Advanced数学Ⅱ[701] p.238 問題 19
この2次関数を、
\(f(x)=ax^2+bx+c~~~\cdots {\small [\,1\,]}\)
とおくと、微分すると、
\(\begin{eqnarray}~~~f^{\prime}(x)&=&a(x^2)^{\prime}+b(x)^{\prime}+(c)^{\prime}\\[3pt]~~~&=&a \cdot 2x+b \cdot 1+0\\[3pt]~~~&=&2ax+b~~~\cdots {\small [\,2\,]}\end{eqnarray}\)
\(f(1)=-2\) と \({\small [\,1\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~f(1)=a \cdot 1^2+b \cdot 1+c&=&-2\\[3pt]~~~a+b+c&=&-2~~~\cdots {\rm [\,A\,]}\end{eqnarray}\)
\(f^{\prime}(1)=1\) と \({\small [\,2\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~f^{\prime}(1)=2a \cdot 1+b&=&1\\[3pt]~~~2a+b&=&1~~~\cdots {\rm [\,B\,]}\end{eqnarray}\)
また、\(\displaystyle\int_{-1}^{2}f(x)\,dx=-\displaystyle \frac{\,9\,}{\,2\,}\) と \({\small [\,1\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle\int_{-1}^{2}(ax^2+bx+c)\,dx&=&-\displaystyle \frac{\,9\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~\left[\,a \cdot \displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}x^3+b \cdot \displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}x^2+cx\,\right]_{-1}^{2}&=&-\displaystyle \frac{\,9\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~\left[\,\displaystyle \frac{\,a\,}{\,3\,}x^3+\displaystyle \frac{\,b\,}{\,2\,}x^2+cx\,\right]_{-1}^{2}&=&-\displaystyle \frac{\,9\,}{\,2\,}
\end{eqnarray}\)
ここで、\(\displaystyle \frac{\,a\,}{\,3\,}x^3+\displaystyle \frac{\,b\,}{\,2\,}x^2+cx\) に、
\(x=2\) を代入すると、
\(\begin{eqnarray}~&&\displaystyle \frac{\,a\,}{\,3\,} \cdot 2^3+\displaystyle \frac{\,b\,}{\,2\,} \cdot 2^2+c \cdot 2
\\[5pt]~&=&\displaystyle \frac{\,8a\,}{\,3\,}+2b+2c
\end{eqnarray}\)
\(x=-1\) を代入すると、
\(\begin{eqnarray}~&&\displaystyle \frac{\,a\,}{\,3\,} \cdot (-1)^3+\displaystyle \frac{\,b\,}{\,2\,} \cdot (-1)^2+c \cdot (-1)
\\[5pt]~&=&-\displaystyle \frac{\,a\,}{\,3\,}+\displaystyle \frac{\,b\,}{\,2\,}-c
\end{eqnarray}\)
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,8a\,}{\,3\,}+2b+2c-\left(-\displaystyle \frac{\,a\,}{\,3\,}+\displaystyle \frac{\,b\,}{\,2\,}-c\right)&=&-\displaystyle \frac{\,9\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~\displaystyle \frac{\,8a\,}{\,3\,}+2b+2c+\displaystyle \frac{\,a\,}{\,3\,}-\displaystyle \frac{\,b\,}{\,2\,}+c&=&-\displaystyle \frac{\,9\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~3a+\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}b+3c&=&-\displaystyle \frac{\,9\,}{\,2\,}
\end{eqnarray}\)
\\[5pt]~~~\displaystyle \frac{\,8a\,}{\,3\,}+2b+2c+\displaystyle \frac{\,a\,}{\,3\,}-\displaystyle \frac{\,b\,}{\,2\,}+c&=&-\displaystyle \frac{\,9\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~3a+\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}b+3c&=&-\displaystyle \frac{\,9\,}{\,2\,}
\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
両辺に \(\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\) を掛けると、
\(\begin{eqnarray}~~~\left(\,3a+\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}b+3c\,\right) {\, \small \times \,} \displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}&=&-\displaystyle \frac{\,9\,}{\,2\,} {\, \small \times \,} \displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}
\\[5pt]~~~2a+b+2c&=&-3~~~\cdots {\rm [\,C\,]}\end{eqnarray}\)
\({\rm [\,B\,]}-{\rm [\,A\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~~~2a+b&=&1\\~-\big{)}~~~a+b+c&=&-2\\\hline a-c&=&3~~~\cdots {\rm [\,D\,]}\end{eqnarray}\)
\({\rm [\,C\,]}-{\rm [\,B\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~~~2a+b+2c&=&-3\\~-\big{)}~~~2a+b&=&1\\\hline 2c&=&-4\\[3pt]~~~c&=&-2\end{eqnarray}\)
\({\rm [\,D\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~a-(-2)&=&3\\[3pt]~~~a+2&=&3\\[3pt]~~~a&=&1\end{eqnarray}\)
\({\rm [\,B\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~2 \cdot 1+b&=&1\\[3pt]~~~b&=&1-2\\[3pt]~~~b&=&-1\end{eqnarray}\)
したがって、\(f(x)=x^2-x-2\) となる
